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Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Impulso, quantidade de movimento e choques
QUESTÕES PARA DISCUSSÃO
Q8.1 Para dividir um tronco de lenha usando um martelo e uma cunha, um martelo pesado é mais eficiente do que um martelo leve? Por quê?
Q8.2 Suponha que você agarre uma bola de beisebol e a seguir seja convidado a agarrar uma bola de boliche que possui o mesmo momento linear ou a mesma energia cinética da bola de beisebol. O que você escolheria? Explique.
Q8.3 Quando gotas de chuva caem do céu, em que se transforma a energia cinética das gotas no momento em que elas colidem com o solo? Sua resposta também seria válida para o caso da famosa maçã de Newton?
Q8.4 Um carro possui a mesma energia cinética quando ele se desloca a 30 m/s do norte para o sul e quando ele se desloca a 30 mis do norte para o leste. O momento linear é o mesmo nos dois casos? Explique.
Q8.5 Um caminhão acelera ao descer um elevado. Um sistema de referência inercial está fixo no solo com origem em um poste. Um segundo sistema de referência inercial está fixo no interior de um carro da polícia que está descendo o elevado com velocidade constante. O momento linear do caminhão é o mesmo nos dois sistemas? Explique. A taxa de variação do momento linear do caminhão é a mesma nos dois sistemas? Explique.
Q8.6 Quando um caminhão grande e pesado colide com um automóvel, é mais provável que os ocupantes do automóvel se machuquem mais do que os ocupantes do caminhão. Por quê?
Q8.7 Uma senhora segurando uma pedra grande está em pé sobre uma camada de gelo horizontal sem atrito. Ela lança a pedra com uma velocidade v 0 formando um ângulo θ acima da horizontal. Considere o sistema constituído pela mulher juntamente com a pedra. Existe conservação do momento linear do sistema? Por que sim ou por que não? Nenhum componente do momento linear do sistema é conservado? Novamente, por que sim ou por que não?
Q8.8 No Exemplo 8.7 (Seção 8.4), no qual os dois cavaleiros da Figura 8.9a ficam colados após a colisão, a colisão é inelástica porque K 2 < K 1. No Exemplo 8.5 (Seção 8.3), a colisão é inelástica? Explique.
Q8.9 Em uma colisão completamente inelástica entre dois corpos, quando eles permanecem unidos após a colisão, podemos achar um valor igual a zero para a energia cinética final do sistema? Caso sua resposta seja afirmativa, forneça um exemplo em que isso ocorre. Quando a energia cinética final do sistema for igual a zero, qual deve ser o momento linear inicial do sistema? A energia cinética inicial do sistema é igual a zero? Explique.
Q8.10 Como a energia cinética é dada por
K m v e o momento linear é dado por p m v , é
fácil mostrar que
2
p
K
m
. Então, como é possível existir um
evento para o qual o momento linear do sistema seja constante, porém a energia cinética total do sistema seja variável?
Q8.11 Em cada um dos Exemplos 8.10, 8.11, 8.12 e 8.13 (Seção 8.5), verifique se os vetores velocidade relativa antes e depois da colisão possuem o mesmo módulo. Em cada um desses casos o que ocorre com a direção e o sentido do vetor velocidade relativa?
Q8.12 A probabilidade de um copo quebrar quando ele cai sobre um piso de concreto é maior do que quando ele cai sobre um piso de madeira. Por quê? (Tome como referência a Figura 8.3.)
Q8.13 Na Figura 8.18, a energia cinética da espaçonave depois de sua interação com Saturno é maior do que antes da interação. De onde provém este aumento de energia? Descreva o evento em termos da conservação da energia.
Q8.14 Uma metralhadora dispara sobre uma placa de aço. A força média oriunda do impacto da bala quando a bala é refletida é maior ou menor do que a força quando a bala se amassa e fica colada na placa? Explique.
Q8.15 Uma força resultante de 4 N atua durante 0,25 s sobre um corpo que estava inicialmente em repouso fazendo-o atingir uma velocidade final igual a 5 m/s. Como uma força resultante de 2 N poderia produzir a mesma velocidade final?
Q8.16 Uma força resultante com um componente x
dado por F , atua sobre um corpo durante o intervalo de
tempo de t 1 a t 2. O componente x do momento linear possui o
mesmo valor para t 1 , e para t 2 , porém F não é igual a zero
em nenhum instante entre t 1 e t 2. O que você pode afirmar a
respeito do gráfico de F contra t?
Q8.17 Um jogador de tênis bate em uma bola de tênis com uma raquete. Considere o sistema bola e raquete. O momento linear total desse sistema é o mesmo imediatamente antes e imediatamente depois da batida? O momento linear total do sistema imediatamente depois da batida é o mesmo que o momento linear total do sistema dois segundos depois, quando a bola está no ponto superior de sua trajetória no ar? Explique qualquer diferença entre as duas situações.
Q8.18 No Exemplo 8.4 (Seção 8.3) considere o sistema rifle e bala. Qual é a velocidade do centro de massa do sistema depois do disparo? Explique.
Q8.19 Um ovo é libertado do alto de um edifício e cai até atingir o solo. À medida que o ovo cai, o que ocorre com o momento linear do sistema ovo e Terra?
Q8.20 Uma senhora está em pé no meio da superfície sem atrito de um lago gelado. Ela poderia se locomover atirando objetos, mas suponha que ela não possua nada para atirar. Ela poderia se locomover até a margem do lago sem jogar nada?
Q8.21 Em um ambiente com gravidade igual a zero,
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pode uma espaçonave movida por foguete atingir uma velocidade maior do que a velocidade relativa com a qual o combustível queimado é expelido?
Q8.22 Estima-se que a Supenova 1987A, a uma distância de 170.000 anos-luz da Terra, tenha emitido 10 neutrinos. Porém dois grandes detectores na Terra detectaram apenas 19 deles. Forneça pelo menos duas razões para explicar por que o número de neutrinos detectados foi muito menor do que o número emitido.
EXERCÍCIOS
SEÇÃO 8.2 MOMENTO LINEAR E IMPULSO
8.1 ( a ) Qual é o módulo do momento linear de um caminhão de 10.000 kg que se desloca com velocidade de 12,0 m/s? ( b ) Qual deve ser a velocidade de um carro esportivo de 2000 kg para que ele tenha ( i ) o mesmo momento linear do caminhão? ( ii ) a mesma energia cinética?
8.2 No Exemplo 8.1 (Seção 8.2), mostre que o barco de massa 2m possui, ao chegar na linha final, um momento linear
2 vezes maior do que o momento linear do barco de massa
m.
8.3 ( a ) Mostre que a energia cinética K e o módulo do momento linear p de uma partícula de massa m são relacionados
por
2
p
K
m
. ( b ) Um cardeal ( Richmondena cardinalis ) com
massa de 0.040 kg e uma bola de beisebol de 0.145 kg possuem a mesma energia cinética. Qual desses corpos possui o maior momento linear? Qual é a razão entre o módulo do momento linear do cardeal e o módulo do momento linear da bola de beisebol? ( c ) Um homem com 700 N e uma garota com 450 N possuem o mesmo momento linear. Quem possui a maior energia cinética? Qual é a razão entre a energia cinética do homem e a energia cinética da garota?
8.4 Uma bola de futebol com massa igual a 0.420 kg se desloca com velocidade de 4,50 m/s formando um ângulo de 20.0° no sentido anti-horário em relação ao eixo +0x (Figura 8.30). Quais são os componentes x e v do momento linear? 4,50 m/s
m = 0,420 kg
FIGURA 8.30 Exercício 8.4.
8.5 Uma bola de beisebol com massa igual a 0.145 kg se desloca ao longo do eixo +0 y com velocidade de 1.30 m/s, e uma bola de ténis com massa igual a 0,0570 kg se desloca no sentido -O y com velocidade de 7.80 m/s. Determine o módulo, a direção e o sentido do vetor momento linear total do sistema constituído pelas duas bolas.
8.6 Uma bola de golfe com massa igual a 0.045 kg se desloca ao longo do eixo +0x com velocidade de 9.00 m/s, e uma bola de beisebol com massa igual a 0.145 kg se desloca no sentido -O y com velocidade de 7.00 m/s. Determine o módulo, a direção e o
sentido do vetor momento linear total do sistema constituído pelas duas bolas.
8.7 Força sobre uma bola de golfe. Uma bola de golfe de 0.0450 kg que estava inicialmente em repouso passa a se deslocar a 25.0 m/s depois de receber um impulso do taco. Se o taco e a bola permaneceram em contato durante 2.00 ms, qual é a força média do taco sobre a bola? O efeito do peso da bola durante seu contato com o taco é importante? Por que sim ou por que não?
8.8 Força sobre uma bola de beisebol. Uma bola de beisebol possui massa igual a 0.145 kg. ( a ) Sabendo que a velocidade da bola arremessada é de 45.0 m/s e a velocidade da bola rebatida é de 55.0 m/s na mesma direção, mas em sentido contrário, calcule o módulo da variação do momento linear e do impulso aplicado pelo bastão sobre a bola. ( b ) Se o bastão e a bola permaneceram em contato durante 2.00 ms, qual é o módulo da força média do bastão sobre a bola?
8.9 Um disco de hóquei de 0.160 kg se move sobre uma superfície horizontal com gelo e sem atrito. No instante t = 0, o disco de hóquei se move da esquerda para a direita a 3.00 m/s. ( a ) Determine o módulo, a direção e o sentido da velocidade do disco de hóquei depois que ele sofreu a ação de uma força de 25.0 N aplicada durante 0.050 s da esquerda para a direita, ( b ) Se em vez dessa fosse aplicada uma força de 12.0 N de t = 0 a t= 0.050 s da direita para a esquerda, qual seria a velocidade final do disco de hóquei?
8.10 Um motor de um sistema de manobra orbital em
um ônibus espacial exerce uma força igual a (26.700 N)ˆ j
durante 3.90 s, ejetando uma quantidade de massa de combustível desprezível em relação à massa de 95.000 kg do ônibus espacial, ( a ) Qual é o impulso da força durante 3.90 s? ( b ) Qual é a variação do momento linear do ônibus espacial referente a esse impulso? ( c ) Qual é a variação da velocidade do ônibus espacial referente a esse impulso? ( d ) Por que não podemos calcular a variação da energia cinética do ônibus espacial?
8.11 O bastão de um treinador de beisebol exerce sobre uma bola de beisebol de 0,145 kg uma força dada por:
F 1.60 10^7 N s t 6.00 10^9 N s^2^ t^2 i ˆ
entre os instantes t = 0 e t = 2.50 ms. Para t = 0, a velocidade da
bola de beisebol é dada por v 40.0 i ˆ^ 5.0 ˆ j m s.
( a ) Ache o impulso exercido pelo bastão sobre a bola, sabendo que o bastão e a bola permaneceram em contato durante 2.50 ms. ( b ) Ache o impulso exercido pela gravidade sobre a bola durante esse intervalo de tempo, ( c ) Ache o módulo da força média do bastão sobre a bola durante esse intervalo de tempo. ( d ) Ache o momento linear e a velocidade da bola de beisebol para t = 2.50 ms.
8.12 Uma bola de beisebol de 0.145 kg é golpeada por um bastão. Logo após o impacto, a bola se desloca a 50.0 m/s horizontalmente da esquerda para a direita e abandona o bastão
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8.22 Daniel (massa de 65.0 kg) e Rebeca (massa de 45.0 kg) estão praticando patinação sobre uma pista de gelo. Enquanto está parado amarrando o cordão de seu patim, Daniel é atingido por Rebeca, que se deslocava a 13.0 m/s antes de colidir com ele. Depois da colisão, a velocidade de Rebeca possui módulo igual a 8.00 m/s e forma um ângulo de 53.1° com a direção de sua velocidade inicial. Ambos se movem sobre a superfície horizontal sem atrito da pista de gelo. ( a ) Qual é a velocidade de Daniel depois da colisão? ( b ) Qual é a variação da energia cinética total dos dois patinadores em virtude da colisão?
8.23 Carlos e Maria estão patinando juntos sobre uma pista de gelo com velocidade de 3.00 m/s. Carlos pergunta a Maria quanto ela pesa. Aborrecida, Maria empurra Carlos de modo que ela se acelera até atingir 4.00 m/s e ele diminui sua velocidade para 2.25 m/s no mesmo sentido. O atrito, no sentido da física, é desprezível nesse drama. Se o peso de Carlos é igual a 700 N, qual o peso de Maria?
8.24 Um vagão de carga aberto na parte superior possui massa de 24.000 kg e se desloca sem atrito ao longo de um trilho horizontal. Está chovendo torrencialmente e as gotas caem verticalmente. No início, o vagão está vazio e se desloca com velocidade de 4.00 m/s. Qual será a velocidade do vagão depois de acumular 3000 kg de água da chuva?
8.25 Um disco de hóquei B está em repouso sobre uma superfície lisa de gelo quando é atingido por outro disco de hóquei A que estava inicialmente se movendo a 40.0 m/s e que passa a se mover sofrendo um desvio de 30.0° da sua direção original (Figura 8.33). O disco de hóquei B passa a se mover com velocidade formando um ângulo de 45.0° com a direção original de A. As massas dos discos são iguais, ( a ) Calcule o módulo da velocidade de cada disco de hóquei depois da colisão, ( b ) Qual a fração da energia cinética inicial do disco de hóquei A que foi dissipada durante a colisão?
A 40.0 m/s A 30°
B 45°
FIGURA8.33 Exercício 8.25.
SEÇÁO 8.4 COLISÕES INELÁSTICAS
8.26 Sobre a superfície oleosa sem atrito de um balcão de uma lanchonete, um sanduíche de 0.500 kg se movendo a 3. m/s da direita para a esquerda colide com um sanduíche de queijo grelhado de 0.250 kg se movendo a 1.20 m/s da esquerda para a direita. ( a ) Sabendo que os dois sanduíches ficam grudados, qual é a velocidade final? ( b ) Qual é a quantidade de energia mecânica dissipada durante a colisão?
8.27 O seu carro esportivo de 1050 kg, estacionado no alto de uma ladeira sem ter sido puxado o freio de mão, rola ladeira abaixo e passa a se deslocar com velocidade de 15.0 m/s de leste para oeste em uma estrada horizontal. O motorista de um caminhão que se desloca de oeste para leste decide parar o carro
fazendo o caminhão de 6320 kg colidir com o carro. Os dois veículos ficam engavetados após a colisão, ( a ) Sabendo que o caminhão se deslocava com velocidade igual a 10.0 m/s quando ele colidiu frontalmente com seu carro, qual é a velocidade comum dos veículos (módulo, direção e sentido da velocidade) logo após a colisão? ( b ) Qual deveria ser a velocidade do caminhão para que os dois veículos ficassem parados logo após a colisão? ( c ) Calcule a variação da energia cinética total do sistema dos dois veículos para a situação descrita na parte ( a ) e para a situação descrita na parte ( b ). Em qual das duas situações ocorre a maior variação da energia cinética total?
8.28 Em um campo de futebol com lama, um zagueiro de 110 kg se choca com um jogador meio-de-campo de 85 kg. Imediatamente antes da colisão, o zagueiro se desloca com velocidade de 8.8 m/s do sul para o norte e o outro jogador se desloca com velocidade de 7.2 m/s do oeste para o leste. Qual é a velocidade (módulo, direção e sentido) com a qual os dois jogadores se movem unidos após a colisão?
8.29 Em Dálias, depois de uma tempestade de neve, um automóvel de 1400 kg se deslocando a 35.0 km/h de leste para oeste colide em um cruzamento com uma caminhonete de 2800 kg se deslocando a 50.0 km/h do norte para o sul. Se os dois veículos ficam engavetados após a colisão, determine o módulo, a direção e o sentido da velocidade após a colisão. Despreze o atrito entre os veículos e o gelo da estrada.
8.30 Em um cruzamento da cidade de São Paulo, um pequeno carro compacto com massa de 950 kg que se deslocava de oeste para leste colide com uma picape com massa de 1900 kg que se deslocava do sul para o norte avançando o sinal vermelho (Figura 8.34). Em virtude da colisão, os dois veículos ficam engavetados. e após a colisão eles se deslocam a 16.0 m/s na direção a 24.0° nordeste. Calcule o módulo da velocidade de cada veículo antes da colisão. Estava chovendo muito durante a colisão e o atrito entre os veículos e a estrada pode ser desprezado.
24.0° 16.0 m/s
FIGURA 8.34 Exercício 8.30.
8.31 Uma bala de 5.00 g é disparada horizontalmente sobre um bloco de madeira que está em repouso sobre uma superfície horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre a superfície e o bloco é igual a 0.20. A bala fica cravada na madeira e observa-se que o bloco desliza 0.230 m até parar. Qual era a velocidade inicial da bala?
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8.32 Um pêndulo balístico. Uma bala de 12.0 g é disparada com velocidade de 380 m/s sobre um pêndulo balístico com massa igual a 6.00 kg, suspenso por uma corda de comprimento igual a 70.0 cm. (Veja o Exemplo 8.8 na Seção 8.4.) Calcule ( a ) a altura vertical atingida pelo pêndulo; ( b ) a energia cinética inicial da bala: ( c ) a energia cinética inicial da bala e do pêndulo imediatamente depois de a bala ficar retida no pêndulo.
SEÇÁO 8.5 COLISÕES ELÁSTICAS
8.33 Um cavaleiro de 0.150 kg se move a 0.80 m/s da esquerda para a direita sobre um trilho de ar horizontal sem atrito. Ele colide frontalmente com um cavaleiro de 0.300 kg que se move a 2.20 m/s da direita para a esquerda. Supondo colisão elástica. determine o módulo, a direção e o sentido de cada cavaleiro depois da colisão.
8.34 Uma bola de gude de 10.0 g se desloca com velocidade de 0.400 m/s da direita para a esquerda sobre uma pista horizontal sem atrito e colide frontalmente com outra bola de gude de 30.0 g que se desloca com velocidade de 0.200 m/s da esquerda para a direita (Figura 8.35). ( a ) Determine o módulo, a direção e o sentido de cada bola de gude depois da colisão. (Como a colisão é frontal, todos os movimentos ocorrem ao longo da mesma linha reta.) ( b ) Calcule a variação do momento linear (isto é, o momento linear depois da colisão menos o momento linear antes da colisão) para cada bola de gude. Compare os valores obtidos para cada bola de gude. ( c ) Calcule a variação de energia cinética (isto é, a energia cinética depois da colisão menos a energia cinética antes da colisão) para cada bola de gude. Compare com os valores obtidos para cada bola de gude.
0.200 m/s 0.400 m/s
30.0 g 10.0 g
FIGURA 8.35 Exercício 8.34.
8.35 Forneça os detalhes dos cálculos de a e de fï do Exemplo 8.13 (Seção 8.5).
8.36 Os reatores nucleares do Canadá usam moderadores de água pesada, nos quais ocorrem colisões elásticas entre nêutrons e dêuterons de massa 2,0 u. (Veja o Exemplo 8. l l da Seção 8.5). ( a ) Qual a velocidade de um nêutron, expressa em função de sua velocidade inicial, depois de uma colisão frontal com um dêuteron que estava inicialmente em repouso? ( b ) Qual é sua energia cinética, expressa como uma fração de sua energia cinética inicial? ( c ) Quantas colisões sucessivas iguais a essa seriam necessárias para reduzir a velocidade de um nêutron ale 1/59.000 do seu valor original?
8.37 Você está controlando um acelerador de partículas, enviando um feixe de 1.50.10^7 m/s de prótons (massa m ) sobre um alvo gasoso de um elemento desconhecido. Seu detector
mostra que alguns prótons são rebatidos diretamente para trás depois de uma colisão com um núcleo do elemento desconhecido. Todos esses prótons são rebatidos para trás com velocidade igual 1.20.10^7 m/s. Despreze as velocidades iniciais dos núcleos dos alvos e suponha que as colisões sejam elásticas, ( a ) Calcule a massa do núcleo do elemento desconhecido. Expresse sua resposta em função da massa m do próton. ( b ) Qual é a velocidade do núcleo do elemento desconhecido imediatamente depois dessa colisão?
SEÇÃO 8.6 CENTRO DE MASSA
8.38 As massas e as coordenadas dos centros de massa de três blocos de chocolate são dadas por: (l) 0.300 kg, (0.200 m, 0.300 m); (2) 0.400 kg, (0.100 m, -0.400m); (3) 0.200 kg, (-0.300 m, 0.600 m). Calcule as coordenadas do centro de massa do sistema constituído por esses três blocos de chocolate.
8.39 Determine a posição do centro de massa do sistema constituído pelo Sol e por Júpiter. (Como a massa de Júpiter é muito maior do que as massas dos demais planetas, esta resposta fornece essencialmente a posição do centro de massa do sistema solar.) A posição desse centro de massa está dentro ou fora do Sol? Use os dados do Apêndice F.
8.40 Um utilitário de 1200 kg se desloca a 12.0 m/s ao longo de um elevado retilíneo. Outro carro de 1800 kg, e se deslocando a 20.0 m/s, tem seu centro de massa situado a uma distância de 40.0 m na frente do centro de massa do utilitário (Figura 8.36). ( a ) Calcule a posição do centro de massa do sistema constituído pelos dois carros, ( b ) Calcule o módulo do momento linear total do sistema usando os dados acima, ( c ) Calcule a velocidade do centro de massa do sistema, ( d ) Calcule o módulo do momento linear total do sistema usando a velocidade do centro de massa do sistema. Compare sua resposta com o resultado obtido no item ( b ).
8.41 Em um dado instante, o centro de massa de um sistema de duas partículas está localizado sobre o eixo Ox no ponto x =
2.0 m e possui velocidade igual a (5.0 m/s) i ˆ. Uma das partículas
está sobre a origem. A outra partícula possui massa de 0.10 kg e está em repouso sobre o eixo Ox no ponto x = 8.0 m. ( a ) Qual é a massa da partícula que está sobre a origem? ( b ) Calcule o momento linear total do sistema, ( c ) Qual é a velocidade da partícula que está sobre a origem?
8.42 No Exemplo 8.15 (Seção 8.6) Rui puxa a corda atingindo uma velocidade de 0.70 m/s. Qual é a velocidade de Jaime?
8.43 Um sistema possui duas partículas. No instante t = 0 uma das partículas está na origem; a outra, com massa igual a 0.50 kg, está sobre o eixo Oy no ponto x = 6.0 m. Para t = 0, o centro de massa do sistema está sobre o eixo O y no ponto y = 2.4 m. A velocidade do centro de massa do sistema é dada por
(0,75 m/s )t^2 i ˆ.
( a ) Calcule a massa total do sistema, ( b ) Ache a aceleração do centro de massa em função do tempo, ( c ) Calcule a força externa resultante que atua sobre o
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PROBLEMAS
8.56 Uma bola de aço de massa igual a 40.0 g é largada de uma altura de 2.00 m sobre uma barra de aço horizontal. A bola é rebatida até uma altura de 1.60 m. ( a ) Calcule o impulso comunicado para a bola durante a colisão, ( b ) Sabendo que a bola permanece em contato com a barra durante 2.00 ms, calcule a força média exercida sobre a bola durante a colisão.
8.57 A força resultante que atua sobre um disco de 2.00 kg durante seu lançamento é igual a
t^2 i ˆ^ t ˆ j , onde = 25.0 N/s^2 , = 30.
N e = 5.0 N/s. Sabendo que o disco estava inicialmente em repouso, qual é sua velocidade depois que a força resultante atuou durante 0.500 s? Expresse sua resposta em termos dos
vetores unitários i ˆ^ eˆ j.
8.58 Imediatamente antes de colidir com a raquete, uma bola de tênis pesando 0.560 N possui uma velocidade igual a
20.0 m s i ˆ^ 4.0 m s ˆ j. Durante os 3.00 ms em que a
raquete ficou em contato com a bola, a força resultante é
constante e igual a 380 N i ˆ^110 N ˆ j ,
( a ) Quais são os componentes x e y do impulso da força resultante que atuam sobre a bola? ( b ) Quais são os componentes x e y da velocidade final da bola?
8.59 Três vagões conectados estão se movendo em uma estrada de ferro e se acoplam com um quarto vagão, que estava inicialmente em repouso. Os quatro vagões continuam se movendo e se acoplam com um quinto vagão, que estava inicialmente em repouso. Esse processo continua até que a velocidade final do conjunto de vagões seja igual a um quinto da velocidade inicial dos três vagões. Todos os vagões são idênticos. Desprezando o atrito, quantos vagões existem no conjunto final de vagões?
8.60 Um automóvel conversível com massa igual a 1500 kg se desloca do norte para o sul. e um veículo utilitário com massa igual a 2000 kg se desloca do leste para o oeste. Qual é a velocidade de cada carro, sabendo que o momento linear total do sistema dos dois carros é igual a 8000 kg. m/s formando um ângulo de 60.0° no sentido da rotação do sul para o oeste?
8.61 Três discos de hóquei idênticos possuindo imãs que se repelem estão sobre uma mesa de ar horizontal. Eles são mantidos unidos, e a seguir são libertados simultaneamente. O módulo da velocidade em cada instante é sempre o mesmo para os discos. Um deles se move do leste para o oeste. Determine a direção e o sentido da velocidade de cada um dos outros discos.
8.62 As esferas A (massa 0.020 kg), B (massa 0.030 kg) e C (massa 0.050 kg) se aproximam da origem deslizando sobre uma mesa de ar sem atrito (Figura 8.37). As velocidades de A e de B são indicadas na figura. Todas as três esferas atingem a origem no mesmo instante e ficam coladas, ( a ) Quais devem ser os componentes x e y da velocidade inicial de C para que os três objetos unidos se
desloquem a 0.50 m/s no sentido do eixo +0x após a colisão? ( b ) Se C possui a velocidade encontrada no item ( a ), qual é a variação da energia cinética do sistema das três esferas ocasionada pela colisão?
Y
B
VB = 0.50 M/S
VA = 1.50 M/S
A X
VC C
FIGURA 8.37 Problema 8.62.
8.63 Um carrinho de estrada de ferro impulsionado manualmente se move ao longo de um trilho horizontal sem atrito e com resistência do ar desprezível. Nos casos a seguir, o carrinho possui massa total (carro mais tudo que está em seu interior) igual a 200 kg e se desloca a 5.00 m/s de oeste para leste. Calcule a velocidade final do carrinho em cada caso. supondo que ele não abandone os trilhos, ( a ) Um corpo com 25.0 kg de massa é lançado lateralmente para fora com velocidade de módulo igual a 2. m/s em relação à velocidade inicial do carrinho, ( b ) Um corpo com 25.0 kg de massa é lançado para fora do carrinho em sentido contrário ao do seu movimento e com velocidade de módulo igual a 5.00 m/s em relação à velocidade inicial ao carrinho, ( c ) Um corpo com 25.0 kg de massa é lançado para dentro do carrinho com velocidade de módulo igual a 6.00 m/s em relação ao solo e com sentido contrário ao da velocidade inicial do carrinho.
8.64 Um vagão está cheio de areia e se desloca com uma velocidade inicial de 15,0 m/s sobre trilhos horizontais. Despreze o atrito com os trilhos. A massa total do vagão cheio de areia é igual a 85.000 kg. A porta do vagão não está bem fechada e a areia começa a escoar para fora pela parte inferior. Depois de 20 minutos, 13.000 kg escaparam do vagão. Qual é então a velocidade do vagão? (Compare sua análise com aquela que você usou para resolver o Exercício 8.24.)
8.65 Em uma corrida envolvendo automóveis clássicos, um carro Nash Metropolitan 1955 com 840 kg se desloca com velocidade de 9.0 m/s, seguido de um carro Packard Clipping 1957 com 1620 kg roncando com uma velocidade de 5.0 m/s. ( a ) Qual dos dois carros possui a maior energia cinética? Qual é a razão entre a energia cinética do Nash e a energia cinética do Packard. ( b ) Qual dos dois carros possui o maior módulo do momento linear? Qual a razão entre o módulo do momento linear do Nash e o módulo do momento linear do Packard. ( c ) Seja F N a força resultante necessária para fazer parar o Nash em um intervalo de tempo t 1 , e seja F P a força resultante necessária para fazer parar o Packard no mesmo
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intervalo de tempo. Qual das duas é maior, F N ou F P? Qual é a razão F N / F P. ( d ) Seja F N a força resultante necessária para fazer parar o Nash em uma dada distância d, e seja F P a força resultante necessária para fazer parar o Packard na mesma distância. Qual das duas é maior, F N ou F P? Qual é a razão F N / F P?
8.66 Um soldado dispara sua pistola automática de 8 tiros com a taxa máxima de 1000 disparos por minuto. Cada bala possui massa igual a 7.45 g e velocidade igual a 293 m/s em relação ao solo no momento em que a bala sai do cano da arma. Calcule a força média de recuo da arma durante esse disparo.
8.67 Uma armação contendo um prato estica a mola onde ela está suspensa até uma distância de 0,050 m. Um pedaço de massa pegajosa de 0.200 kg é largado do repouso a uma altura de 30.0 cm em relação ao prato (Figura 8.38). Ache a distância máxima que o prato pode se mover para baixo a partir da posição de equilíbrio inicial.
FIGURA 8.38 Problema 8.67.
8.68 Uma bala de 8.00 g disparada por um rifle penetra e fica retida em um bloco de 0.992 kg ligado a uma mola e apoiado sobre uma superfície horizontal sem atrito (Figura 8.39). O impacto produz uma compressão de 15.0 cm na mola. A calibração mostra que uma força de 0.750 N comprime a mola 0.250 cm. ( a ) Calcule o módulo da velocidade do bloco imediatamente após o impacto. ( b ) Qual era a velocidade inicial da bala?
V
FIGURA 8.39 Problema 8.68. 8.69 Uma bala ricocheteando. Uma pedra de 0.100 kg está em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito. Uma bala de 6.00 g, se deslocando horizontalmente a 350 m/s, colide com a pedra e ricocheteia ao longo da superfície com velocidade de 250 m/s em uma direção ortogonal à sua velocidade inicial. ( a ) Determine o módulo, a direção e o sentido da velocidade da pedra após o impacto, ( b ) A colisão é perfeitamente elástica?
8.70 Um duble de cinema (massa 80.0 kg) está em pé sobre a borda de uma janela situada a 5.0 m acima do piso (Figura 8.40). Segurando uma corda amarrada a um candelabro, ele oscila para baixo para atingir o vilão do filme (massa 70.
kg), que está em pé diretamente abaixo do candelabro. (Suponha que o centro de massa do duble se mova para baixo 50 m. Ele larga a corda no instante em que atinge o vilão.) ( a ) Com que velocidade os dois adversários engalfinhados começam a deslizar ao longo do piso? ( b ) Sabendo que o coeficiente de atrito cinético entre seus corpos e o piso é dado por (^) C = 0.250, até que distância eles deslizam ao longo do piso?
5.00 m m = 80.0 kg
m = 70.0 kg
FIGURA 8.40 Problema 8.70.
8.71 Uma bala de 4.00 g é disparada horizontalmente com velocidade de 400 m/s contra um bloco de madeira de 0. kg, inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal. A bala atravessa o bloco e emerge com uma velocidade reduzida para 120 m/s. O bloco desliza ao longo da superfície até uma distância de 45.0 cm da sua posição inicial, ( a ) Qual é o coeficiente de atrito cinético entre o bloco superfície? ( b ) Qual é a diminuição da energia cinética da bala? ( c ) Qual é a energia cinética do bloco no instante em que a bala emerge do bloco?
8.72 Uma bala de 5.00 g atravessa um bloco de madeira de 1.00 kg suspenso por um fio de comprimento igual a 2.000 m. O centro de massa do bloco sobe até uma altura de 0.45 cm. Sabendo que a velocidade inicial da bala era de 450 m/s, ache a velocidade da bala no instante em que ela emerge do bloco.
8.73 Um nêutron de massa m colide frontalmente com um núcleo de massa M , que está inicialmente em repouso, ( a ) Mostre que se a energia cinética inicial do nêutron era de K 0 a energia cinética que ele perde durante a colisão é dada por 4mMK 0 /( M + m )^2_._ ( b ) Para qual valor de M o nêutron incidente perde a maior energia?
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8.82 Um jovem de 45.0 kg está em pé sobre uma canoa de 60.0 kg e comprimento igual a 5.00 m. Ele caminha a partir de um ponto situado a 1.00 m de uma das extremidades da canoa até atingir a outra extremidade da canoa (Figura 8.42). Desprezando a resistência da água ao movimento da canoa, qual a distância que a canoa se move nesse processo?
8.83 Você está em pé sobre um bloco de concreto apoiado sobre um lago congelado. Suponha que não exista atrito entre o bloco e a superfície do lago congelado. Você possui um peso cinco vezes menor do que o peso do bloco. Se você caminhar para a frente com velocidade de 2.00 m/s, com que velocidade o bloco se moverá em relação ao gelo?
8.84 Um projétil de 20,0 kg é disparado com velocidade de 80.0 m/s formando um ângulo de 60,0° acima da horizontal. No ponto mais elevado de sua trajetória o projétil explode se dividindo em dois fragmentos de mesma massa, um dos quais cai verticalmente com velocidade inicial igual a zero. Despreze a resistência, ( a ) Supondo um solo horizontal, qual é a distância entre o ponto inicial do disparo e o ponto onde o segundo fragmento atinge o atinge o solo? ( b ) Qual é a quantidade de energia libertada na explosão? 1.00 m 3.00 m 1.00 m
INÍCIO FIM
FIGURA 8.42 Problema 8.82.
8.85 Uma reação nuclear. A fissão, o processo que fornece energia para um reator nuclear, ocorre quando um núcleo pesado é dividido em dois núcleos com pesos médios. Uma dessas reações ocorre quando um nêutron colide com um núcleo de 235 U (urânio) dividindo-o em um núcleo de 141 Ba (bário) e um núcleo de 92 Kr (criptônio). Nessa reação, dois nêutrons também são emitidos do núcleo de 235 U original. Antes da colisão, a configuração é indicada na Figura 8.43a. Depois da colisão o núcleo de 141 Ba se move no sentido do eixo +0 z e o núcleo de 92 Kr se move no sentido do eixo -O z. Os três nêutrons passam a se mover no plano xy como mostra a Figura 8.43b. Sabendo que o módulo da velocidade do nêutron original é de 3.0.10^3 m/s e que o módulo da sua velocidade final é de 2.0.10^3 m/s com as direções indicadas, quais são as velocidades dos outros dois nêutrons e o que você pode afirmar sobre as velocidades dos núcleos 141 Ba e 92 Kr? (A massa do núcleo de (^141) Ba é aproximadamente igual a 2.3.10-25 (^) kg e a do núcleo de (^92) Kr é aproximadamente igual a 1.5.10-25 (^) kg.)
Nêutron em repouso
Nêutron
Figura 8.43 - Problema 8.85.
8.86 Referencial do centro de massa. Um disco de hóquei A (com massa igual a mA ) se deslocando com velocidade
vA ao longo do eixo +0x sobre uma mesa de ar horizontal sem
atrito, sofre uma colisão frontal elástica com um disco de hóquei B (massa mB ) inicialmente em repouso. Depois da colisão, os dois discos se movem ao longo do eixo +0x. ( a ) Calcule a velocidade do centro de massa do sistema dos dois discos antes da colisão, ( b ) Considere um sistema de coordenadas cuja origem é localizada no centro de massa e que se move com ele. Esse sistema de coordenadas constitui um sistema de referência inercial?
( c ) Quais são as velocidades iniciais uA 1 e uB 1 neste
referencial do centro de massa? Qual é o momento linear total do sistema nesse referencial do centro de massa? ( d ) Use a lei da conservação do momento linear e a lei da conservação da energia, aplicando-as para o referencial do centro de massa, para obter relações entre o momento linear final e o momento linear inicial de cada disco de hóquei, e portanto entre a velocidade final e a velocidade inicial de cada disco de hóquei. Os seus resultados mostrarão que problemas envolvendo uma colisão frontal elástica em uma dimensão podem ser descritos de modo muito simples em relação ao referencial do centro de massa. ( e ) Considere mA = 0.400 kg, mB = 0.200 kg e vA1 = 6. m/s. Usando o resultado da parte ( d ), determine as velocidades
do centro de massa uA 1 e uB 1 e a seguir transforme as
velocidades para o sistema estacionário para achar as velocidades finais dos discos. Os seus resultados concordam com os obtidos nas Equações (8.24) e (8.25)?
8.87 O coeficiente de restituição e de uma colisão frontal é definido como a razão entre a velocidade relativa depois da colisão e a velocidade relativa antes da colisão, ( a ) Qual é o valor de e para uma colisão completamente inelástica? ( b ) Qual é o valor de e para uma colisão elástica? ( c ) Uma bola é largada de uma altura h sobre uma superfície estacionária e retorna até uma altura H 1. Mostre que:
H 1
h
( d ) Uma bola de basquete enchida com a pressão apropriada possui um coeficiente de restituição igual a 0.85. Se essa bola é largada de uma altura de 1.2 m acima de um piso de madeira até que altura ela retorna?
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( e ) Quando a bola é rebatida depois da primeira colisão com o solo, a altura atingida é H 1. Supondo que e seja constante, mostre que a altura atingida quando a bola é rebatida depois de n colisões com o solo é dada por: 2 n
H n h
( f ) Supondo que e seja constante, qual a altura atingida por uma bola de basquete enchida com a pressão apropriada e largada de uma altura de 1.2 m?
8.88 Energia de ligação da molécula de hidrogênio. Quando dois átomos de hidrogênio de massa m se combinam para formar a molécula diatômica do hidrogênio (H 2 ), a energia potencial do sistema depois da combinação é igual a - , onde é uma grandeza positiva denominada energia de libação da molécula. ( a ) Mostre que em uma colisão envolvendo somente dois átomos de hidrogênio é impossível formar uma molécula de H 2 , porque não poderia ocorrer simultaneamente conservação do momento linear e conservação da energia. { Sugestão: Se você provar que essa afirmação é válida em um dado sistema de referência, então ela será válida em qualquer sistema de referência. Você sabe por quê?} ( b ) Em uma colisão envolvendo três átomos de hidrogênio, uma molécula de H 2 , pode ser formada. Suponha que antes da colisão cada um dos três átomos se aproximem com velocidade igual a 1.00.10^3 m/s e que as direções dessas velocidades formem entre si ângulos iguais a 120°. de modo que a cada instante os átomos estejam sobre os vértices de um triângulo equilátero. Calcule a velocidade do átomo de hidrogênio que sobra depois da colisão e a velocidade da molécula de H,. A energia de ligação da molécula de H 2 , é dada
por = 7.23.10-19^ J e a massa do átomo de hidrogênio é igual a 1.67.10-27^ kg.
8.89 Uma carroça com massa total de 300 kg com duas caixas de ouro estava em repouso no alto de uma ladeira com inclinação de 6.0° e a uma distância de 50 m da base (Figura 8.44). Um bandido a separa dos cavalos que a puxavam, planejando fazer a carroça rolar ladeira abaixo e continuar se deslocando no terreno horizontal até cair em uma ribanceira, no fundo da qual os outros bandidos da quadrilha esperavam. Porém, Zorro (massa 75.0 kg) e Tonto (massa 60.0 kg) aguardavam no alto de uma árvore situada a uma distância de 40 m da ribanceira. Eles saltaram verticalmente sobre a carroça no instante em que ela passava embaixo da árvore, ( a ) Sabendo que dispunham de apenas 5,0 s para pegar o ouro e pular da carroça antes que ela caísse na ribanceira, teriam eles conseguido realizar a tarefa? Despreze o atrito de rolamento, ( b ) Quando os dois heróis pulam para o interior da carroça, a energia cinética do sistema carroça mais heróis é conservada? Caso não seja conservada, de quanto ela aumenta ou diminui?
FIGURA 8.44 Problema 8.89.
*8.90 Na Seção 8.7 consideramos um foguete disparado no espaço sideral onde não existe gravidade nem resistência do ar. Suponha agora que o foguete esteja sendo acelerado verticalmente a partir da superfície terrestre. Continue desprezando a resistência do ar e suponha que o foguete atinja uma altura não muito elevada de modo que o valor de g possa ser considerado constante. ( a ) Como a Equação (8.37) se modifica com a presença da força da gravidade? ( b ) Deduza uma expressão análoga à Equação (8.39) para a aceleração a do foguete, ( c ) Qual seria a aceleração do foguete no Exemplo 8. (Seção 8.7) supondo que ele esteja próximo da superfície terrestre em vez de estar no espaço sideral? Despreze a resistência do ar. ( d ) Calcule a velocidade do foguete no Exemplo 8. (Seção 8.7) 90 s depois de ele ser disparado da superfície terrestre em vez de estar no espaço sideral. Despreze a resistência do ar. Como suas respostas se comparam com as velocidades obtidas no Exemplo 8.17?
*8.91 Um Foguete com muitos estágios. Suponha que o primeiro estágio de um foguete com dois estágios possua massa total de 12.000 kg, sendo de 9000 kg a massa do combustível. A massa total do segundo estágio é igual a 1000 kg, sendo de 700 kg a massa do combustível. Suponha que a velocidade relativa vex do material expelido seja constante e despreze qualquer efeito da gravidade. (O último efeito é pequeno durante o período da combustão quando a taxa de consumo de combustível é elevada.) ( a ) Suponha que a massa total do combustível transportado pelo foguete com dois estágios seja utilizada em um foguete com um único estágio com a mesma massa total de 13.000 kg. Para um foguete partindo do repouso, qual seria, em termos de vex, sua velocidade no momento em que o combustível termina? ( b ) Para um foguete com dois estágios, qual seria sua velocidade no momento em que o combustível do primeiro estágio termina, sabendo que o primeiro estágio transporta o segundo até esse ponto? A seguir, essa velocidade toma-se a velocidade inicial do segundo estágio. Nesse ponto, o segundo estágio se separa do primeiro, ( c ) Qual é a velocidade final do segundo estágio? ( d ) Qual deve ser o valor de vex para que o segundo estágio atinja uma velocidade final igual a 7.00 km/s?
*8.92 A equação F=-vex ( dm/dt ) para a força de propulsão de um foguete também pode ser aplicada para um avião movido a hélice. De fato, existem duas contribuições para a força de propulsão: uma positiva e outra negativa. A contribuição positiva resulta do ar que é empurrado para trás, afastando-o da hélice (logo dm/dt < 0 ), com uma velocidade vex relativa à hélice. A contribuição negativa resulta da mesma quantidade de ar que escoa para a frente da hélice (logo dm/dt > 0), com uma velocidade v igual à velocidade do avião através do ar. ( a ) Escreva uma equação para a força de propulsão resultante desenvolvida pela hélice de um avião em termos de v, vex e do valor absoluto |dm/dt|. ( b ) Para um Cessna 182 (um avião monomotor) voando a 130 km/h, 150 kg de ar fluem através da hélice em cada segundo c a hélice desenvolve uma propulsão resultante igual a 1300 N. Calcule o incremento do módulo da velocidade (em km/h) que a hélice fornece para o ar.
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PROBLEMAS DESAFIADORES
8.94 No dia do aniversário de sua tia Maria, você deseja diverti-la puxando a toalha da mesa sobre a qual se encontra o bolo. A mesa possui raio r = 0,90 m e o bolo está em repouso sobre a toalha no centro da mesa. A toalha da mesa possui o mesmo tamanho do topo da mesa. Você puxa rapidamente a beirada da toalha. O bolo permanece em contato com a toalha durante um tempo t depois que você começa a puxar. A seguir o bolo desliza um pouco e para (conforme você espera) em virtude do atrito entre a mesa e o bolo. O coeficiente
de atrito cinético entre o bolo e a toalha de mesa é (^) C1 = 0.30 e o coeficiente de atrito cinético entre a mesa e o bolo é (^) C2 = 0.40. Aplique o teorema do impulso-momento linear (Equação 8.9) e o teorema do trabalho-energia (Equação 6-6) a fim de calcular o valor máximo de t para que o bolo não caia sobre o solo. ( Sugestão: Suponha que o bolo percorra uma distância d quando ainda está sobre a toalha de mesa e, portanto, a uma distância r - d da borda da mesa. Suponha que as forças de atrito sejam independentes da velocidade relativa entre as superfícies em contato. Você poderá facilmente realizar esse truque puxando uma folha de papel sob um copo com água, mas tenha disponível um pano para enxugar a água se for preciso!).
8.95 Na Seção 8.6 calculamos o centro de massa considerando objetos compostos por um número finito de massas puntiformes ou objetos que por simetria pudessem ser representados por um número finito de massas puntiformes. Para um objeto cuja distribuição de massas não permite uma determinação simples do centro de massa mediante considerações de simetria, as somas indicadas nas Equações (8.28) devem ser generalizadas para integrais:
x cm xdm
M
y cm ydm
M
onde x e y são as coordenadas de uma pequena porção do objeto de massa dm. A integração é feita sobre o volume total do objeto. Considere uma barra delgada de comprimento L , massa M, e seja A a área da seção reta da barra. Suponha um sistema de coordenadas com origem na extremidade esquerda da barra e com o eixo +0.v ao longo da barra, ( a ) Sabendo que a densidade = M / V do objeto é uniforme, integre as relações anteriores para mostrar que a coordenada x do centro de massa da barra coincide com o seu centro, ( b ) Sabendo que a densidade varia linearmente com x, ou seja, = x, onde é uma constante positiva, determine a coordenada .ï do centro de massa da barra.
8.96 Use o método do Problema Desafiador 8.95 para determinar as coordenadas x e y do centro de massa de uma placa metálica semicircular com densidade uniforme e espessura t. Chame de a o raio da placa. Então, a massa da placa é:
M a t
Use o sistema de coordenadas indicado na Figura 8.45.
y x
a t
FIGURA 8.45 Problema Desafiador 8.96.
8.97 Um quarto de uma corda de comprimento l está suspensa no ar apoiada na borda de uma mesa sem atrito. A corda possui uma densidade linear (massa por unidade de comprimento) uniforme ("lambda"), e sua extremidade que está sobre a mesa é mantida em repouso por uma pessoa. Qual é trabalho realizado por essa pessoa para puxar a corda lentamente e elevar a parte suspensa até que a corda fique inteiramente sobre a mesa? Resolva o problema usando dois métodos, como se segue, ( a ) Ache a força necessária que a pessoa deve realizar para elevar a corda e a partir daí calcule o trabalho realizado. Note que essa força é variável porque a cada instante diferentes frações da corda ficam suspensas na borda da mesa. ( b ) Suponha que o segmento da corda que inicialmente estava suspenso na borda da mesa possui toda a sua massa concentrada em seu centro de massa. Calcule o trabalho necessário para elevar essa massa até a altura da mesa. Talvez você ache esse método mais simples do que o usado na pane ( a ). Como as duas respostas se comparam e por que você obtém esse resultado?
*8.98 Uma gota de chuva com massa variável. No problema da propulsão de um foguete, a massa é variável. Outro problema com massa variável é fornecido por uma gota de chuva caindo no interior de uma nuvem que contém muitas gotas minúsculas. Algumas dessas gotículas aderem sobre a gota que cai, fazendo, portanto, aumentar sua massa à medida que ela cai. A força sobre a gota de chuva é dada por
ex
dp dv dm
F m v
dt dt dt
Suponha que a massa da gota de chuva dependa da distância x percorrida durante sua queda. Então, m = k x, onde k é uma constante, portanto: dm / dt = kV. Como Fext = mg , obtemos:
dv
m g m v k v
dt
Ou, dividindo por k :
x g x dv v^2
dt
Essa equação diferencial possui uma solução da forma v = at. onde a é uma aceleração constante. Considere a velocidade inicial da gota igual a zero.
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( a ) Usando a solução proposta para v, determine a aceleração a. ( b ) Calcule a distância percorrida pela gota até o instante t = 3.00 s. ( c ) Sabendo que k = 2.00 g / m , ache a massa da gota de chuva para t = 3.00 s. Para muitos outros aspectos intrigantes deste problema veja o artigo de K. S. Krane, Amer. Jour. Phys. Vol. 49 (1981), p. l 13-117.
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Gabarito – Exercícios Pares resolvidos Cortesia: Editora Pearson
8-2: Veja o Exercício 8-3(a); o navio quebra-gelo tem a mesma energia cinética, assim o barco com massa maior tem um valor maior de
momento dado por um fator de ( 2 m )/( m ) 2.
8-4: Da Eq. (8-2),
( 0. 420 )( 4. 50 / )sen 20. 0 0. 6646 /.
( 0. 420 )( 4. 50 / )cos 20. 0 1. 78 /
p mv kg m s kgm s
p mv kg ms kg ms
o y y
o x x
8-6: Da Eq. (8-2), py = -(0.145 kg)(7.00 m/s) = -1. kg•m/s, e px = (0.045 kg)(9.00 m/s) = 0.405 kg•m/s, então que o momento total tem o módulo de :
p px^2 p^2 y ( 0. 405 kgm / s )^2 ( 1. 015 kgm / s )^21. 09 kgm / s ,
e está em um ângulo de arctan 68 ,
. 405
(^1). (^015) o usando o valor
da função arco-tangente no quarto quadrante ( px > 0, py < 0 ).
8-8: ( a ) O valor da velocidade variou de: (45.0 m/s) – (-55.0 m/s) = 100.0 m/s, e portanto a variação do momento é: (0.145 kg)(100.0 m/s) = 14.500 kg m/s, ou 14. kg m/s para três algarismos significativos. Este é também o módulo do impulso. ( b )Da Eq. (8-8), o módulo da força média aplicada é:
- 25 10.
- 00 10
x^3 s x N
kgm s
8-10: ( a ) F
t = (1.04 x 10^5 kg m/s)ˆ j.
( b ) (1.04 x 10^5 kg m/s)ˆ j.
( c )
j m s j
kg
x kgm s
( d ) A velocidade inicial do ônibus espacial é desconhecida e, a variação no quadrado da velocidade não é o quadrado da variação da velocidade.
8-12: A variação no momento da bola na direção x (considerada ser positiva e para a direita) é (0.145 kg)(-(65.
m/s) cos 30o^ – 50.0 m/s) = -15.41 kg m/s, então a componente x da força média é
x^3 s x N
kg m s
e a componente y da força é :
( 0. 145 )( 65. 0 / )sen 303
x^3 s x N
kg m s o
8-14: O impulso dado ao jogador é em direção oposta mas de mesmo módulo que aquele dado ao disco, então a velocidade do jogador é
- 27 /, ( 75. 0 )
cm s kg
(^) kg ms na direção oposta
ao disco.
8-16: O momento final é (0.250 kg)(-0.120 m/s) + (0.350 kg)(0.650 m/s) = 0.1975 kg m/s,
considerando a direção positiva como sendo para a direita.
( a ) Antes da colisão, o disco B estava em repouso, então todo o momento é devido ao movimento do disco A e
790 /.
250
1975 / (^1) kg s
kgms m
v P A
A
( b )
( 0. 250 )( 0. 7900 /) 2
1
( 0. 350 )( 0. 650 /) 2
( 0. 250 )( 0. 120 / )^1 2
1
2
1 2
1 2
1
2
2 2
2 1 22 22 21
J
kg ms
kg ms kg ms
K K K mAvA mBvB mavA
Observe que algarismos significativos extras foram mantidos nos cálculos intermediários a fim de se evitar erros de arredondamento.
8-18: Faça a direção do movimento da bala ser na direção positiva. O momento total da bala, rifle, e o gás deve ser zero, então: (0.00720 kg)(601 m/s- 1.85 m/s) + (2.80 kg)(-1.85 m/s) + pgas = 0, e pgas = 0.866 kg m/s. Observe que a velocidade da bala é encontrada subtraindo-se a velocidade do rifle da velocidade da bala relativo ao rifle.
8-20: Na ausência da força de atrito, a componente horizontal do sistema chapéu-adversário é conservada, e a velocidade do recuo é
( 4. 50 )( 22. 0 / )cos 36. 9
m s
kg
kg m s o
8-22: Faça direção original do movimento de Rebecca ser na direção x ( a ) Da conservação da componente x do momento, temos: (45.0 kg)(13.0 m/s) = (45.0 kg)(8.0 m/s) cos 53.1º + (65.0 kg) vx, então vx = 5.67 m/s. Se o movimento final de Rebecca for considerado como tendo uma componente y positiva, então
- 43 /. ( 65. 0 )
( 45. 0 )( 8. 0 / )sin 53. 1 m s kg
kg m s v
o y
A velocidade final de Daniel é v (^) x^2 v^2 y ( 5. 67 m / s )^2 ( 4. 43 m / s )^27. 20 m / s ,
e sua direção é arctan 38 o
- 67
4.^43 a partir do eixo x , e o
qual é 91.1º a partir da direção do movimento final de Rebecca. K = (^2 2) ( 45. 0 )( 13. 0 /) 2 2
( 65. 0 )( 7. 195 /)^1 2
- 0 ( 8. 0 /)^1 2
(^1) kg ms kg ms kg ms
= -680 J. Observe que algarismos significativos extras foram mantidos durante os cálculos intermediários a fim de se evitar erros de arredondamento.
8-24: O momento original é (24,000 kg) (4.00 m/s) = 9.60 x 104 kg m/s, a massa final é 24,000 kg + 3000 kg = 27,000 kg, e portanto a velocidade final é :
- 56 /.
- 70 10
4
4 m s x kg
x kgm s
8-26: ( a ) De
( ),. 1 2
11 22 (^1 1221212) m m mv mv mv mv m m vv mv mv
Considerando as velocidades como positivas e para a direita, v 1 = -3.00 m/s and v 2 = 1.20 m/s, então v = -1.60 m/s.
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( b )
( 0. 250 )( 1. 20 /) 2
( 0. 500 )( 3. 00 /)^1 2
1
21 (^0.^5000.^250 )(^1.^60 /) 2 2
2
J
kg ms kg ms
K kg kg ms
8-28: Considere o norte como sendo a direção positiva do eixo x e o leste a direção y (estas escolhas são arbitrárias). Então, o momento final é o mesmo que o momento inicial (para um campo suficientemente enlameado), e as componentes da velocidade são :
m s kg
kg m s v
m s kg
kg m s v
y
x
Portanto, o módulo da velocidade é:
( 5. 0 m / s )^2 ( 3. 1 m / s )^25. 9 m / s , em um
ângulo de arctan 32 o
do leste para o norte.
8-30: Como o caminhão não tinha nenhuma componente inicial de momento, o momento inicial do carro deve ser a componente x do momento.Portanto:
( 16. 0 / )cos( 90 24 ) 950
( ) cos
m s
m s kg
kg
m
m m v m
P
v
o o
ca r
ca r tru ck ca r
x ca r
Analogamente, ( 16. 0 / )sin 66 21. 9 /. 1900
vtruck ms o ms
8-32: ( a ) A velocidade final da combinação bala-bloco é:
( 380 / ) 0. 758 ./.
- 012
m s m s kg
x kg V
A energia é conservada após a colisão, então
( ) , 2
( m M ) gy m M V^2 e
2
2 2 m cm m s
m s g
V
y
( b )
K 1 mv x kg m s J
( c ) Da parte
( a ), 6. 012 ( 0. 758 /) 1. 73. 2
(^1 ) K 2 kg ms J
8-34: ( a ) Na notação do exemplo 8-10, com a bola de gude maior (que se move originalmente para a direita) denotada como sendo A, temos (3.00)vA2 + (1.00)vB2 = 0.200 m/s. A velocidade relativa mudou de direção, então vA2 – vB2 = -0. m/s. Somando-se estas, eliminamos vB2 resultando em (4.00)vA2 = -0.400 m/s, or vA2 = -0.100 m/s, com o sinal negativo indicando uma velocidade final à esquerda. Isto pode ser substituído em qualquer uma das duas relações acima, resultando em: vB2 = 0.500 m/s; ou , a segunda das relações acima pode ser multiplicado por 3,00 e ser subtraída da primeira resultando em: (4.00)vB2 = 2.00 m/s, que é o mesmo resultado. ( b ) PA = -0.009 kg m/s, PB = 0.009 kg m/s
( c ) KA = -4.5 x 10-4, KB = 4.5 x 10-4. Como a colisão é elástica, os números têm o mesmo valor.
8-36: ( a ) Utilizando a Eq. (8-24),
. 3
u u
u u v
vA
( b ) A energia cinética é proporcional ao quadrado da
velocidade, então.
K
K A
( c ) O valor da velocidade é reduzido por um fator de 3
1 após de
cada colisão, então após N colisões de N, a velocidade é N 3
1
de seu valor original. Para se encontrar N, considere que
ln( 3 )
ln( 59 , 000 )
ln( 3 ) ln( 59 , 000 )
N
N
or
N
N
como o inteiro mais próximo. Naturalmente, utilizar o logaritmo em qualquer a base conduz ao mesmo resultado.
8-38: Da Eq. (8-28),
( 0. 90 )
( 0. 30 )( 0. 30 ) ( 0. 40 )( 0. 40 ) ( 0. 20 )( 0. 60 )
- 044 , ( 0. 90 )
( 0. 30 )( 0. 20 ) ( 0. 40 )( 0. 10 ) ( 0. 20 )( 0. 30 )
m kg
y kg m kg m kg m
m kg
x kg m kg m kg m
cm
cm
8-38: Da Eq. (8-28),
( 0. 90 )
( 0. 30 )( 0. 30 ) ( 0. 40 )( 0. 40 ) ( 0. 20 )( 0. 60 )
- 044 , ( 0. 90 )
( 0. 30 )( 0. 20 ) ( 0. 40 )( 0. 10 ) ( 0. 20 )( 0. 30 )
m kg
y kg m kg m kg m
m kg
x kg m kg m kg m
cm
cm
8-40: ( a ) Medidas a partir da traseira do carro, a posição do centro da massa é, (da Eq. (8-28)):
m
kg kg
kg m
o qual esta 16.0 m atrás do carro líder.
( b ) (1200 kg)(12.0 m/s) + (1800 kg)(20.0 m/s) = 5.04 x 10^4 kg m/s.
( c ) Da Eq. (8-30),
- 8 /. ( 1200 1800 )
( 1200 )( 12. 0 /) ( 1800 )( 20. 0 /) ms kg kg
kg m s kg ms vcm
( d ) (1200 kg + 1800 kg)(16.8m/s) = 5.04 x 10^4 kg m/s.
8-42: Como no exemplo 8-15 o centro da massa permanece em repouso, então existe um momento resultante nulo, e os valores das velocidades estão relacionadas por: m 1 v 1 = m 2 v 2 , ou v 2 = (m 1 /m 2 )v 1 = (60.0 kg/90. kg)(0.70 m/s) = 0.47 m/s.
8-44: ( a ) pz = 0, então Fz = 0. A componente x da força
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
v 02 2 gy 9. 9 m / s. A velocidade após a colisão é:
(^0) kg kg m s m s
kg v m m
m v (^) s s v
s
( b ) O momento não é conservado durante a queda. Do teorema trabalho-energia, a distância x é encontrada de:
m totalv kmtotalgx ou
2 2 m m s
m s g
v x k
Observe que, para se evitar erros de arredondamento, foram utilizados algarismo significativos extras V na parte ( b ).
8-72: A velocidade do bloco depois que a bala passou pelo bloco (mas antes que o bloco começasse a se levantar; o que supõe-se grande força grande aplicada em um pequeno intervalo de tempo, uma situação características das balas) é:
V 2 gy 2 ( 9. 80 m / s^2 )( 0. 45 x 102 m ) 0. 297 m / s.
A velocidade final v da bala é então:
( 0. 297 / ) 390. 6 /,
00 10
00 450 / 3
0
0
m s m s x kg
kg m s
V m
M v m
mv MV m
P v
ou 390 m/s para dois algarismos significativos.
8-74: ( a ) Mesmo que uma das massas não seja conhecida, a análise da seção (8-5) que leva a Eq. (8-26) , continua válida, e v red = 0.200 m/s + 0.050 m/s = 0.250 m/s. A massa mred pode ser encontrada tanto das considerações de energia como de momento. Da conservação de momento
temos: 0. 024. ( 0. 250 / )
kg m s
kg ms m s mred
Como verificação note que:
( 0. 024 )( 0. 250 / ) 8. 010 , 2
( 0. 040 )( 0. 050 /)^1 2
1
( 0. 040 )( 0. 200 /) 8. 010 , 2
1
2 2 4 2
2 4 1
K kg ms kg ms x J
K kg ms x Jand
então K 1 = K 2 , como deve ser para uma colisão perfeitamente elástica.
8-76: ( a ) A velocidade relativa de aproximação antes da colisão é a velocidade relativa com a qual as bolas se separam após a colisão. Antes da colisão, as bolas estão se aproximando com velocidade relativa 2v , e após a colisão estão recuando com velocidade 2v. No limite em que a bola maior tem uma massa muito maior, sua velocidade depois que a colisão permanecerá inalterada (o limite como sendo mA >> mB na Eq. (8-24)), e portanto a bola menor movimentar-se a para cima com velocidade 3v. ( b ) Com três vezes a velocidade, a bola irá retornar a uma altura nove vezes maior que a altura inicial.
8-78: ( a ) Para as direções x e y, respectivamente, e sendo m a massa comum de um próton, temos:
0 sin sin
cos cos
2 2
1 2 2
A B
A A
mv mv
mv mv mv
ou
0 sin sin.
cos cos
2 2
1 2 2
A B
A A B
v v
v v v
( b ) Após um pouco de álgebra:
2 cos( ).
2 (cos cos sen sen )
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1 A B A B
A A B A B v v v v
v v v v v
( c ) Para uma colisão perfeitamente elástica temos:
2
2 2
2 1
2 1
2 2
2 2
2
mvA 1 mvA mvB orvA vA vA vB
Substituindo no resultado acima, temos: cos ( + ) = 0.
( d ) O único ângulo positivo com coseno zero é: ( 90 ).
o
8-80: Desde que a massa é proporcional ao peso, os pesos dados podem ser usados para determinar as velocidades a partir da conservação do momento. Considerando a direção positiva como sendo para a esquerda, temos:
- 105 /, 1000
( 800 )( 5. 00 /)cos 30. 0 ( 600 )( 7. 00 /)cos 36. (^9) ms N
v N ms o N ms^ o
8-82: O truque aqui deve observar que a configuração final é a mesma como se a canoa (suposta ser simétrica) fosse girada sobre seu centro da massa. Inicialmente, o centro da massa está
a uma distância m
kg
kg m
(^45.^0 )(^1.^5 ) do centro do
canoa, então ao girar sobre este ponto a canoa se movimentaria 2 x 0.643 m = 1.29 m.
8-84: O truque aqui é perceber que o centro da massa continuará a se mover no trajetória parabólica original, “aterrizando” na posição original (área) prevista para o projétil. Desde que a explosão ocorre no ponto o mais alto da trajetória, e um fragmento é dado possuir velocidade zero após a explosão, nenhum fragmento possuirá uma componente vertical de velocidade imediatamente após a explosão, e o segundo fragmento possui duas vezes a velocidade que o projétil tinha antes da explosão. ( a ) Os fragmentos aterrizam em posições simétricas do alvo original. Alguns aterrizam em , 2
(^1) R enquanto outros em
sen 120 848. ( 9. 80 / )
sen 2 2
2
2 0
2 (^0) m m s
m s g
v R o^ ( b )^ Em
termos da massa m do fragmento original e, a velocidade v antes da explosão, temos:
. 2
2
2 1 v so K mv mv mv
m K mv andK
A velocidade v está relacionada a v 0 por v 0 cos 0 , então
( 20. 0 )(( 80 /)cos 60. 0 ) 1. 60 10. 2
1 cos 2
(^1 ) 0
2 2 K mv 0 kg ms x J o
8-86: ( a ) Com o bloco B inicialmente em repouso, temos:
A 1.
A B
A
cm v
m m
m
v
( b ) Desde que não existe uma força externa, o centro da massa move-se com velocidade constante, e assim um referencial que se movimenta com o centro da massa é um sistema de referencial inercial ( c ) As velocidades possuem apenas a componente x , que são:
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
1 1 1 ,^1 A 1. A B
A A B cm A B
B A A cm m m v
m v u v m m
m u v v
Então, Pcm = mAuA1 = mBuB1 = 0. Desde que antes da colisão existe momento zero no centro de massa, após a colisão não pode existir momento, então o momento de cada bloco após a colisão deve ter a direção invertida. A única maneira de conservar a energia cinética é se o momento de cada um tiver o mesmo valor, então no referencial do centro de massa os blocos variam de direção mas conservam as mesmas velocidades. Simbolicamente: uA2 = -uA1, uB2 = -B. ( d ) Todas as velocidades possuem apenas componentes na direção x, isto é:
00 /.
00 /, 4. 00 /, 2. 00 /,
00 / 4. 00 /,
600
400
00 / 2. 00 /,
600
200
2
2 2 2
1 1
v m s
u msu msandv ms
u ms m su s ms
B
A B A
A B
A equação (8-24) prediz:
2 1
vA vA , e a Eq. (8-25) prediz:
vB 2 vA 1 as quais estão de acordo com o acima.
8-88: ( a ) A diminuição da energia potencial (-∆ <0) significa que a energia cinética aumenta. No referencial do centro de massa dos dois átomos de hidrogênio, o momento resultante é necessariamente nulo e após os átomos se combinarem e terem uma velocidade comum, esta velocidade deve ser zero em módulo, uma situação evitada por uma energia cinética necessariamente positiva. ( a ) O momento inicial é zero antes da colisão, e deve ser zero após a colisão. Denote a velocidade inicial comum como v 0 , a velocidade final do átomo do hidrogênio como v , a velocidade final da molécula do hidrogênio como V , a massa comum dos átomos do hidrogênio como m e a massa do hidrogênio molecular como 2m. Após a colisão, as duas partículas devem mover-se em direções opostas, e portanto conservar o momento, v = 2V. Da conservação de energia, temos:
2 2 0
2 0
2 2
2 0
2 2
m
v
V
mV mV mv
mV mv mv
do qual V = 1.203 x 10^4 m/s, ou 1.20 x 10^4 m/s para dois algarismos significativos e, a velocidade do átomo de hidrogênio é v = 2.41 x 10^4 m/s.
8-90: ( a ) Incluindo a força extra a Eq. (8-37) fica:
mg ,
dt
dm
v
dt
dv
m ex
onde a direção positiva é considerada para cima (normalmente um sinal de bom planejamento). ( b ) Aplicando um fator de massa m , encontramos:
g.
dt
dm
m
v
dt
dv
a ex
( c ) 20 m/s – 9.80 m/s^2 = 10.2 m/s^2.
( d ) 3327 m/s – (9.80 m/s^2 )(90 s) = 2.45 km/s, a qual é aproximadamente três quartos da velocidade encontrada no Exemplo 8-17.
8-92: ( a ) Temos duas contribuições : Fnet , Fnet vex | dm / dt | v | dm / dt |, orFnet ( vex v (| dm / dt |. ( b ) Fnet / | dm / dt | ( 1300 N )/( 150 kg / s ) 8. 66 m / s 31 km / h. Esta é igual a vex – v.
8-94: O impulso aplicado ao bolo é J = (^) k1mgt = mv , onde m é a massa do bolo e v é a sua velocidade depois que o impulso foi aplicado. A distância d que o bolo se move durante este
tempo é então.
d k 1 gt Enquanto deslizando sobre a
mesa, o bolo deve perder sua energia cinética devido ao atrito,
ou seja.
k 2 mg ( r d ) mv^2 Simplificando e substituindo
para v temos: , 2
2
2 r d g^1 t k
k e substituindo para d em
termos de t^2 resulta:
( ), 2
1 2 2
2 1 2
2 1 1
2 k k k
k k
k r gt k gt
o qual dá t = 0.59 s.
8-96: Por simetria, xcm = 0. Utilizando coordenadas polar plana conduz a uma integração mais fácil e também utilizando o
Teorema de Pappus^3
2
2 a
a
ycm é o mais facial
de todos, mas o método do Problema 8-95 envolve Coordenadas
cartesianas.Para a coordenada x , ,
dm pt a^2 x^2 dx
que
é uma função par de x , então xdx 0.
Para a coordenada y , dm pt 2 a^2 y^2 dy , e o range de
integração vai de 0 até a , então
0
y a y dy
M
pt
y
a cm
Fazendo as substituições
M p at u a y du y temos:
[ ]
3
2
2 0 1 2 2 2
a
u
a
u du
a
y a
cm a
8-98: ( a ) Para uma aceleração constante a , a velocidade para baixo é v = at e a distância x que a gota caiu é
x at^ Substituindo na equação diferencial, temos:
atg ata at a t
a solução não nula é.
g
a
