Baixe contagem, 11 ano, matemática a e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!
CONTAGEM
1. Resolva as seguintes equações ∀𝑛 ∈ ℕ:
2. Quantos números ímpares de cinco algarismos se podem escrever, utilizando os algarismos
do número 67090?
(A) 12 (B) 24 (C) 36 (D) 48
3. Um grupo de amigos, o Rui, a Inês, o Tiago e a Marta foram dar um passeio ao Parque das
Nações. Sabe-se que o Rui e a Marta são namorados.
Os quatro amigos vão sentar-se de forma alinhada, ou seja, uns ao lado dos outros, num
banco do parque que tem quatro lugares.
3.1. De quantas maneiras se podem sentar no banco os quatro amigos?
3.2. Sabendo que a Inês gosta de ficar sentada nos extremos do banco, de quantas
formas diferentes se podem sentar os quatro amigos?
3.3. Os namorados gostam muito de ficar um ao lado do outro. Satisfazendo este desejo,
determine o número de maneiras de os quatro amigos se sentarem no banco.
4. Num frigorífico, dispomos de 20 cavidades para guardar ovos, dispostas em duas filas de 10
cavidades cada. Temos meia dúzia de ovos de codorniz, idênticos, e meia dúzia de
ovos de galinha, também idênticos.
De quantas formas podemos guardar os ovos, um por cavidade, se quisermos que os ovos
de codorniz fiquem juntos, na mesma fila?
(A) 10 ×
14
6
(B) 5 ×
14
6
(C) 10 ×
10
6
(D)
10
6
×
10
6
FICHA DE TRABALHO 6
Curso: CIÊNCIAS E TECNOLOGIAS E CIÊNCIAS SOCIOECONÓMICAS
Disciplina: MATEMÁTICA A
Ano: 11 .º
Data: fevereiro de 202 6 Ano Letivo: 2025 - 2026
5. Uma caixa de madeira, como a representada na figura, é
constituída por quinze divisórias iguais, destinadas a guardar
cápsulas de café.
Pretende-se distribuir 12 cápsulas de café nessa caixa, de modo
que cada divisória não seja ocupada por mais do que uma cápsula.
Indique em qual das opções se encontra uma expressão que permite determinar de quantas
maneiras distintas pode ser feita essa distribuição, sabendo que quatro cápsulas são
vermelhas, indistinguíveis entre si, seis são pretas, também indistinguíveis entre si, e das
restantes uma é azul e a outra é cinzenta.
(A) 𝐶
4
× 𝐶
6
× 𝐶
2
5 11
15
(B) 𝐴
4
× 𝐴
6
× 𝐴
2
5 11
15
(C) 𝐶
6
× 𝐶
4
× 𝐶
2
× 12!
15 9 5
(D) 𝐶
4
× 𝐶
6
× 𝐴
2
15 11 5
6. Utilizando apenas os algarismos do conjunto 𝐴 =
{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6
}
, quantos números de quatro
algarismos se podem escrever que sejam:
6.1. ímpares?
6.2. pares de algarismos diferentes?
6.3. múltiplos de 5 e menores do que 4000?
7. Uma turma tem 25 alunos, sendo 15 raparigas e 10 rapazes. De quantas maneiras pode ser
escolhido o delegado e subdelegado de turma:
7.1. sem quaisquer restrições?
7.2. de forma que sejam do mesmo género?
7.3. de forma que sejam de géneros diferentes?
8. De um grupo de 120 alunos de uma escola secundária, sabe-se que:
- a quarta parte não pratica desporto;
- metade são rapazes que praticam desporto;
- a terça parte são raparigas.
Pretende-se formar uma comissão de cinco destes alunos para organizar uma atividade
escolar. Quantas comissões diferentes se podem formar com:
8.1. exatamente dois rapazes que pratiquem desporto?
8.2. pelo menos três raparigas que não pratiquem desporto?
6.1. 3 × 6
3
6.2. 3 × 𝐴
3
5
6.3. 3 × 6
2
× 1 = 108
2
25
2
2
10
15
7.3. 15 × 10 × 2 = 300
8.1. Vamos organizar os dados numa tabela.
Rapazes Raparigas Total
Não praticam
desporto
20 10
1
4
× 120 = 30
Praticam
desporto
1
2
× 120 = 60 30 90
Total 80
1
3
× 120 = 40
120
Pretende-se formar uma comissão de cinco alunos com exatamente dois rapazes que pratiquem desporto.
Existem 60 rapazes que praticam desporto e pretende-se escolher dois, ou seja, existem maneiras de o
fazer e para cada uma destas maneiras existem maneiras diferentes de escolher os restantes três alunos de
entre os outros 60 que não são rapazes que praticam desporto.
O número pedido é.
8.2. Pretende-se formar uma comissão de cinco alunos com pelo menos três raparigas que não pratiquem desporto,
ou seja, com exatamente três raparigas que não pratiquem desporto ou com exatamente quatro raparigas
nestas condições ou, ainda, com exatamente cinco. Existem 10 raparigas que não praticam desporto, portanto
existem 110 alunos que não são raparigas que praticam desporto. O número pedido é:
10
3
× 𝐶
110
2
10
4
× 𝐶
110
1
10
5
9. Para que a soma dos números saídos seja 6, ou se retiram três bolas com o número 2, ou se retiram uma bola com
o número 1, uma bola com o número 2 e uma bola com o número 3. No primeiro caso, temos de escolher três bolas
com o número 2, de entre cinco, pelo que existem 𝐶
5
3
maneiras diferentes de o fazer. No segundo caso, temos de
escolher uma bola com o número 1, de entre quatro, uma bola com o número 2, de entre cinco, e uma bola com o
número 3, de entre três, pelo que existem 4 × 5 × 3 maneiras diferentes de o fazer. O número pedido é 𝐶
5
3
+ 4 × 5 × 3.
10. Por três pontos não colineares passa uma única circunferência e nenhuma circunferência passa por três pontos
colineares. O número de maneiras de escolher 3 pontos de entre os 7 é 𝐶
7
3
Contudo, é necessário subtrair o número de casos em que os três pontos não definem uma circunferência
(correspondem às situações em que os três pontos escolhidos estão sobre a reta 𝑟), ou seja, 𝐶
4
3
ou os três pontos
escolhidos estão sobre a reta 𝑠, ou seja, 𝐶
3
3
Assim, a expressão 𝐶
7
3
4
3
- 1 ) é uma resposta correta a este problema.
11. Como a Carlota e o Vasco não querem fazer parte da comissão em simultâneo, então podemos calcular o número de
todas as comissões diferentes subtraindo o número de comissões em que a Carlota e o Vasco fazem parte.
Como não interessa a ordem dos elementos da comissão, então existem 𝐶
12
3
× 𝐶
9
2
comissões diferentes constituídas
por 3 raparigas das 12, 𝐶
12
3
, e 2 rapazes dos 9, 𝐶
9
2
Por outro lado, o número de comissões diferentes em que a Carlota e o Vasco fazem parte resulta de considerar o
número de conjuntos de 2 raparigas das 11 disponíveis, ou seja 𝐶
11
2
, e selecionar 1 rapaz dos 8 disponíveis, isto é
8
1
= 8. Logo, o número de comissões em que fazem parte a Carlota e o Vasco é 𝐶
11
2
× 8.
Assim, subtraindo os dois valores, obtemos o número de comissões em que a Carlota e o Vasco não fazem parte em
simultâneo: 𝐶
3
12
× 𝐶
2
2
× 8
9 11
60
2
C
60
3
C
60 60
2 3
C C =60 569 400
