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CONTAGEM A análise combinatória é a matéria que desenvolve métodos para fazer a contagem com eficiência. Os problemas de contagem estão presentes no cotidiano, por exemplo, no planejamento de pratos em um cardápio, a combinação de números em um jogo de loteria, nas placas dos veículos, entre inúmeras outras situações. A ideia é a seguinte: Imagine que você tenha 3 calças, 5 camisas e 2 sapatos e queira saber quantas são as combinações possíveis utilizando essas peças. Para isso basta efetuar a multiplicação, assim: 5. 3. 2 = 30 possibilidades de combinações. Esse é chamado de princípio multiplicativo. Exemplo 1. Quantos números de dois algarismos distintos podemos formar com os dígitos: 3, 5, 7 e 6? Então são 4 possibilidades para as dezenas, são quatro dígitos diferentes, e para as unidades serão 3, pois não queremos repetidos, portanto:
- 3 = 12 números de dois algarismos distintos. Muitos problemas de Análise combinatória podem ser resolvidos utilizando o fatorial (n!), que é a multiplicação de números consecutivos: 4!= 4.3.2.1= 24. Exemplo 2. Calcule o valor de: 5! 5.4.3.2.
- 1 120 Essa propriedade utilizada na análise combinatória é a permutação , significa mudar a ordem, pense: De quantas maneiras distintas sete pessoas podem sentar em sete poltronas? Temos uma permutação de sete elementos, então: 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5.040 maneiras. Outras propriedades são: combinação e arranjo. A combinação é a formação de um grupo não ordenado. Vamos pensar dentro da contagem: Em uma turma de 30 alunos, 6 serão sorteados para uma viagem. Quantas possibilidades possíveis para esse sorteio? Lembre-se que a ordem do sorteio não importa. Já arranjo forma grupos específicos, vejamos uma situação: Na formação de senhas para clientes, um banco disponibiliza oito dígitos entre: 0, 2, 3,
4, 5, 7, 9, 8. Sabendo que cada senha é formada por três dígitos distintos, qual o número de senha? Lembre-se, aqui é importante a ordem dos elementos: A8,3= 8! 8!- 3! 8! 5! 8.7.6.5! 5!
- 6 336 senhas. MÉDIA
Média aritmética
A média aritmética é a mais conhecida entre as médias. Talvez o local onde ela é mais encontrada seja em salas de aula. Muitos professores a utilizam para calcular a nota final obtida por um aluno. As médias são utilizadas quando temos um conjunto de dados e queremos estimar um valor que represente esses dados. A média pode ser entendida como um valor central de determinados dados. Existem dois tipos de média aritmética: simples e ponderada.
Média aritmética simples
A média aritmética simples é obtida dividindo a soma de todos os valores que temos pela quantidade de valores. Geralmente expressamos a média pelo símbolo X¯¯¯¯. Suponhamos que existam uma quantidade n de dados (x 1 , x 2 , x 3 , ..., xn). A média entre esses dados será:
X¯¯¯¯=x 1 +x 2 +x 3 +...+xnn
Exemplo: Um aluno obteve as seguintes notas durante um bimestre: 9.2, 8.5 e 8.4. Qual será a média de suas notas? Temos 3 notas. Basta somá-las e dividir este resultado por 3:
X¯¯¯¯= 9 , 2 + 8 , 5 + 8 , 43 = 26 , 13 = 8 , 7
A média será 8.
A) 8, B) 8, C) 8, D) 7, E) 7, PROBABILIDADE Probabilidade é um ramo da Matemática em que as chances de ocorrência de experimentos são calculadas. É por meio de uma probabilidade , por exemplo, que podemos saber desde a chance de obter cara ou coroa no lançamento de uma moeda até a chance de erro em pesquisas. Para compreender esse ramo, é extremamente importante conhecer suas definições mais básicas, como a fórmula para o cálculo de probabilidades em espaços amostrais equiprováveis, probabilidade da união de dois eventos, probabilidade do evento complementar etc. Experimento aleatório É qualquer experiência cujo resultado não seja conhecido. Por exemplo: ao jogar uma moeda e observar a face superior, é impossível saber qual das faces da moeda ficará voltada para cima, exceto no caso em que a moeda seja viciada (modificada para ter um resultado mais frequentemente). Suponha que uma sacola de supermercado contenha maçãs verdes e vermelhas. Retirar uma maçã de dentro da sacola sem olhar também é um experimento aleatório. Ponto amostral
Um ponto amostral é qualquer resultado possível em um experimento aleatório. Por exemplo: no lançamento de um dado, o resultado (o número que aparece na face superior) pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Então, cada um desses números é um ponto amostral desse experimento. Espaço amostral O espaço amostral é o conjunto formado por todos os pontos amostrais de um experimento aleatório , ou seja, por todos os seus resultados possíveis. Dessa maneira, o resultado de um experimento aleatório, mesmo que não seja previsível, sempre pode ser encontrado dentro do espaço amostral referente a ele. Como os espaços amostrais são conjuntos de resultados possíveis, utilizamos as representações de conjuntos para esses espaços. Por exemplo: O espaço amostral referente ao experimento “lançamento de um dado” é o conjunto Ω, tal que: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Esse conjunto também pode ser representado pelo diagrama de Venn ou, dependendo do experimento, por alguma lei de formação. O número de elementos dos espaços amostrais é representado por n(Ω). No caso do exemplo anterior, n(Ω) = 6. Lembre-se de que os elementos de um espaço amostral são pontos amostrais , ou seja, resultados possíveis de um experimento aleatório. Evento Os eventos são subconjuntos de um espaço amostral. Um evento pode conter desde zero a todos os resultados possíveis de um experimento aleatório, ou seja, o evento pode ser um conjunto vazio ou o próprio espaço amostral. No primeiro caso, ele é chamado de evento impossível. No segundo, é chamado de evento certo. Ainda no experimento aleatório do lançamento de um dado, observe os seguintes eventos : A = Obter um número par:
P = 1
P = 0,1666…
P = 16,6%
Outro exemplo: qual a probabilidade de obtermos um número par no lançamento de um dado? Os números pares possíveis em um dado são 2, 4 e 6. Logo, n(E) = 3. P = n(E) n(Ω) P = 3 6 P = 0, P = 50% Observe que as probabilidades sempre resultarão em um número dentro do intervalo 0 ≤ x ≤ 1. Isso acontece porque E é um subconjunto de Ω. Dessa maneira, E pode conter desde zero até, no máximo, o mesmo número de elementos que Ω. DESVIO PADRÃO E VARIANCIA Imagine a seguinte situação: o dono de uma microempresa pretende saber, em média, quantos produtos são produzidos por cada funcionário em um dia. O chefe tem conhecimento que nem todos conseguem fazer a mesma quantidade de peças, mas pede que seus funcionários façam um registro de sua produção em uma semana de trabalho. Ao fim desse período, chegou-se à seguinte tabela:
Para saber a produção média de seus funcionários, o chefe faz o cálculo da média aritmética de produção, isto é, a soma do número de peças produzido em cada dia dividida pela quantidade analisada de dias. A partir desse cálculo, temos a produção diária média de cada funcionário. Mas se observarmos bem a tabela, veremos que há valores distantes da média. O funcionário B , por exemplo, produz uma média de 12,8 peças por dia. No entanto, houve um dia em que ele produziu 16 peças e outro dia em que ele confeccionou apenas 10 peças. Será que o processo utilizado pelo dono da empresa é suficiente para o seu propósito? Para esse exemplo, ficou fácil concluir que há uma grande variação entre a produção de cada funcionário. Mas e se essa fosse uma grande empresa, com mais de mil funcionários, ou se fosse observada a produção em um ano, será que conseguiríamos definir essa variação com tanta facilidade? O estudo da Estatística apresenta medidas de dispersão que permitem a análise da dispersão dos dados. Inicialmente veremos a variância , uma medida de dispersão que mostra quão distantes os valores estão da média. Nesse caso, como estamos analisando todos os valores de cada funcionário, e não apenas uma “amostra”, trata-se do cálculo da variância populacional (var). O cálculo da variância populacional é obtido através da soma dos quadrados da diferença entre cada valor e a média aritmética, dividida pela quantidade de elementos observados. Observe o cálculo simplificado para esse exemplo: Observação: se estivéssemos trabalhando com a variância amostral , dividiríamos pela quantidade de elementos observados subtraída de um (– 1). Nesse exemplo, teríamos: 5 dias – 1 = 4 dias. Vamos então calcular a variância populacional para cada funcionário: Variância → Funcionário A: var (A) = (10 – 10)² + (9 – 10)² + (11 – 10)² + (12 – 10)² + (8 – 10)² 5
dp(C) = √var (C) dp(C) = √1, dp(C) ≈ 1, Desvio Padrão → Funcionário D: dp(D) = √var (D) dp(D) = √6, dp(D) ≈ 2, Podemos ver a utilização do desvio padrão na apresentação da média aritmética, informando o quão “confiável” é esse valor. Isso é feito da seguinte forma: média aritmética (x) ± desvio padrão (dp) Se o dono da empresa de nosso exemplo pretende concluir seu relatório com a produção média diária de seus funcionários, ele fará da seguinte forma: Funcionário A: 10,0 ± 1,41 peças por dia Funcionário B: 12,8 ± 2,32 peças por dia Funcionário C: 10,4 ± 1,36 peças por dia Funcionário D: 11,0 ± 2,45 peças por dia ESTATISTICA A estatística é o campo da matemática que relaciona fatos e números em que há um conjunto de métodos que nos possibilita coletar dados e analisá-los, assim sendo possível realizar alguma interpretação deles. A estatística é dividida em duas partes: descritiva e inferencial. A estatística descritiva é caracterizada pela organização, análise e apresentação dos dados, enquanto a estatística inferencial tem como característica o estudo de uma amostra de determinada população e, com base nela, a realização de análises e a apresentação de dados. Leia também: O que é margem de erro de uma pesquisa? Princípios da estatística Veremos, a seguir, os principais conceitos e princípios da estatística. Com base neles, será possível definir conceitos mais sofisticados. População ou universo estatístico
A população ou universo estatístico é o conjunto formado por todos elementos que participam de um determinado tema pesquisado. Exemplos de universo estatístico a) Em uma cidade, todos os habitantes pertencem ao universo estatístico. b) Em um dado de seis faces, a população é dada pelo número de faces. {1, 2, 3, 4, 5, 6} Dado estatístico O dado estatístico é um elemento que pertence ao conjunto da população , obviamente esse dado deve estar envolvido com o tema da pesquisa. População Dado estatístico Dado de seis faces 4 mpeões Brasileiros de Mountain Bike Henrique Avancini Amostra Chamamos de amostra o subconjunto formado com base no universo estatístico. Uma amostra é utilizada quando a população é muito grande ou infinita. Em casos em que coletar todas as informações do universo estatístico é inviável por motivos financeiros ou logísticos, também se faz necessário a utilização de amostras. A escolha de uma amostra é de extrema importância para uma pesquisa, e ela deve representar de maneira fidedigna a população. Um exemplo clássico da utilização das amostras em uma pesquisa é na realização do censo demográfico do nosso país. Variável Em estatística, a variável é o objeto de estudo, isto é, o tema que a pesquisa pretende estudar. Por exemplo, ao estudar-se as características de uma cidade, o número de habitantes pode ser uma variável, assim como o volume de chuva em determinado período ou até mesmo a quantidade de ônibus para o
Na tabela de distribuição de frequência absoluta, devemos colocar a frequência em que cada dado aparece, ou seja, a quantidade de vezes que ele aparece. Vamos construir a tabela de distribuição de frequência absoluta das idades, em anos, dos alunos de uma determinada classe. Distribuição de frequências absolutas Idade Frequência (F) 8 2 9 12 10 12 11 14 12 1 Total (FT)
Da tabela podemos obter as seguintes informações: na classe temos 2 alunos com a idade de 8 anos, 12 alunos com 9 anos, e mais 12 alunos com 10 anos, e assim sucessivamente, alcançando o total de 41 alunos. Na tabela de distribuição de frequências acumuladas , devemos somar a frequência da linha anterior (na tabela de distribuição de frequência absoluta). Vamos construir a tabela de distribuição de frequência acumulada das idades da mesma classe do exemplo anterior, veja: Distribuição de frequências acumuladas Idade Frequência (F)
Total (FT)
Na tabela de distribuição de frequências relativas, utiliza-se a porcentagem em que cada dado aparece. Novamente faremos os cálculos baseados na tabela de distribuição de frequência absoluta. Sabemos que 41 corresponde a 100% dos alunos da classe, logo, para determinar a porcentagem de cada idade, basta dividirmos a frequência da idade por 41 e multiplicarmos o resultado por 100, para, assim, escrevermos na forma de porcentagem. 2 : 41 = 0,048 · 100 → 4,8% 12 : 41 = 0,292 · 100 → 29,2% 12 : 41 = 0,292 · 100 → 29,2% 14 : 41 = 0,341 · 100 → 34,1% 1 : 41 = 0,024 · 100 → 2,4% Distribuição de frequências relativas Idade Frequência (F) 8 4,8% 9 29,2% 10 29,2%
Total (FT)
Analisando a tabela de distribuição de frequência em classes, podemos ver que, na turma do terceiro ano, temos 1 estudante que possui altura entre 1,40 m e 1,50 m, assim como temos 4 estudantes com altura entre 1,50 e 1,60 m, e assim sucessivamente. Podemos observar também que os estudantes possuem altura entre 1,40 m e 1,90 m, a diferença entre essas medidas, ou seja, entre a maior altura e a menor altura da amostra, é chamada de amplitude. A diferença entre o limite superior e o limite inferior de uma classe é chamada de amplitude da classe , assim, a segunda, que possui 4 alunos com alturas entre 1,50 metro (inclusos) e 1,60 metro (não inclusos), possui amplitude de: 1,60 – 1, 0,10 metro Veja também: Medidas de dispersão: amplitude e desvio Medidas de posição As medidas de posição são utilizadas em casos em que é possível construir-se um rol numérico com os dados ou uma tabela de frequência. Essas medidas indicam a posição dos elementos em relação ao rol. As três principais medidas de posição são: Média Considere o rol com os elementos (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , …, an), a média aritmética desses n elementos é dada por: Exemplo Em um grupo de dança, as idades dos integrantes foram coletadas e representadas no rol a seguir: (18, 20, 20, 21, 21, 21, 22, 22, 25, 30)
Vamos determinar a idade média dos integrantes desse grupo de dança. De acordo com a fórmula, devemos somar todos os elementos e dividir esse resultado pela quantidade de elementos do rol, assim: Portanto, a idade média dos integrantes é de 22 anos. Para saber mais sobre essa medida de posição, leia nosso texto: Média. Mediana A mediana é dada pelo elemento central de um rol que possui uma quantidade ímpar de elementos. Caso o rol possua uma quantidade par de elementos, devemos considerar os dois elementos centrais e calcular a média aritmética entre eles. Exemplo Considere o rol a seguir. ( 2, 2, 3, 3, 4 , 5, 6, 7, 9 ) Veja que o elemento 4 divide o rol em duas partes iguais, logo, ele é o elemento central. Exemplo Calcule a mediana das idades do grupo de dança. Lembre-se de que o rol das idades desse grupo de dança é dado por: ( 18, 20, 20, 21 , 21, 21 , 22, 22, 25, 30 ) Veja que o número de elementos desse rol é igual a 10, logo, não é possível dividir o rol em duas partes iguais.
média aritmética. Temos duas importantes medidas de dispersão: Variância (σ 2 ) Vamos chamar de variância a média aritmética dos quadrados da diferença entre cada elemento do rol e a média aritmética desse rol. A variância é representada por: σ 2 . Considere o rol (x 1 , x 2 , x 3 , …, xn) e que ele possua média aritmética x. A variância é dada por: Desvio-padrão (σ) O desvio-padrão é dado pela raiz da variância, ele nos indica o quanto um elemento está disperso em relação à média. O desvio padrão é denotado por σ. Exemplo Determine o desvio-padrão do conjunto de dados (4, 7, 10). Veja que, para isso, é necessário determinar-se primeiro a variância, e que, para tanto, é necessário antes o cálculo da média desses dados. Substituindo esses dados na fórmula da variância, temos:
Para determinar o desvio-padrão, devemos extrair a raiz da variância. Leia mais: Medidas de dispersão: variância e desvio- padrão Para que serve a estatística? Vimos que a estatística está relacionada a problemas de contagem ou organização de dados. Além disso, ela tem um importante papel no desenvolvimento de ferramentas que possibilitam o processo de organização de dados, com em tabelas. A estatística está presente também em diversos campos da ciência , com base na coleta de dados e em seu tratamento, é possível trabalhar modelos matemáticos que permitem maior desenvolvimento na área estudada. Alguns campos em que a estatística é fundamental: economia, meteorologia, marketing, esportes, sociologia e geociências. Na meteorologia, por exemplo, os dados são coletados em determinado período, depois de organizados, eles são tratados, e assim, com base neles, constrói-se um modelo matemático que nos permite afirmar sobre o clima de dias anteriores com maior grau de
