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CONTAGEM E PROBABILIDADE
ÍNDICE.
1. POTÊNCIA FATORIAL
2. FÓRMULAS PRINCIPAIS DO CÁLCULO COMBINATÓRIO
3. TIPOS DE AGRUPAMENTOS
4. ARRANJOS SIMPLES
5. ARRANJO COM REPETIÇAO
6. PERMUTAÇOES SIMPLES E COM ELEMENTOS REPETIDOS
7. COMBINAÇÕES SIMPLES
8. COMBINAÇOES COM REPETIÇÃO
9. RECONHECIMENTO DO TIPO DE AGRUPAMENTO
10. PERMUTAÇÃO CIRCULAR
11. BINÕMIO DE NEWTON
12. NÚMEROS BINOMIAIS
13. BINOMIAIS COMPLEMENTARES
14. IGUALDADE DE BINÕMIOS
15. TRIÃNGULO DE PASCAL
16. FÓRMULAS DO BINÕMIO DE NEWTON
17. TERMO GERAL
18. NOÇÕES BÁSICAS DE PROBABILIDADES
19. EXPERIMENTO ALEATÓRIO – ESPAÇO AMOSTRAL – EVENTOS
20. OPERAÇÕES COM EVENTOS ALEATÓRIOS
21. PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES
22. PROBABILIDADE
23. EVENTOS COMPLEMENTARES
24. EVENTOS EQUIPROVAVEIS
25. PROBABILIDADE CONDICIONAL.
26. TEOREMA DA SOMA E O TEOREMA DA COMPLEMENTAÇÃO
27. EVENTOS INDEPENDENTES.
CONTAGEM E PROBABILIDADE
FATORIAL
DEFINIÇÃO.
Sendo n N ( números inteiros positivos), chamamos fatorial de
n ao produto dos n sucessivos números inteiros de 1 até n. Representa-
se pelo símbolo! logo após o número. Portanto, dado um número n ( n N ),
define-se fatorial de n como sendo n!^ ^ n ( n ^1 )( n ^2 )...^3.^2.^1
OBSERVAÇÕES:
I. No caso em que n for igual a zero ou igual a um , temos por
convenção 0! = 1! = 1;
II. Não podemos somar, subtrair, multiplicar nem dividir fatoriais,
porém, podemos simplificá-los; pois, por exemplos:
Exemplos:
Simplifique as expressões abaixo:
nn
n n
nn
n
6) n n
n
n n n
n
n 4 2 ( 2 2 )!
n n n
n n n
n
n
o produto de p fatores sucessivos, sendo x o menor fator. Em símbolos
p
x. Podemos escrever:
x x ( x 1 )( x 2 )...( x p 1 )
p
Exemplos:
3
4
POTÊNCIA FATORIAL GENERALIZADA.
DEFINIÇÃO/1:
Dados três números inteiros e positivos n , h e x , sendo n ^1 , deno-
mina-se potência fatorial generalizada decrescente de ordem n , do nú-
mero x , o produto dos n números de uma seqüência cujo maior termo é
x , sendo h a diferença entre dois números consecutivos e representa-se
por
nh x
,
. Podemos escrever.
( )( 2 )...( )
( , ) x x x h x h x nh h
n h , onde n é a quantidade de
termos.
Exemplos:
- (^2 )(^4 )(^6 )
( 4 , 2 ) x x x x x
( 2 , 4 )
( 6 , 2 )
4) 5 (^3 ,^1 ) 5 ( 5 1 )( 5 2 ) 5. 4. 3 60
DEFINIÇÃO/2:
Dados três números inteiros e positivos n , h e x , sendo n 1 , deno-
mina-se potência fatorial generalizada crescente de ordem n , do núme-
ro x , o produto dos n números de uma seqüência cujo menor termo é
x , sendo h a diferença entre dois números consecutivos e representa-se
por
nh x
,
. Podemos escrever.
( )( 2 )...( )
, x x x h x h x nh h
n h , onde n é a quantidade de
termos.
Exemplos:
( 2 )( 4 )( 6 )
4 , 2 x x x x x
5 5 ( 5 4 ) 5. 9 45
2 , 4
8 8 ( 8 2 )( 8 4 )( 8 6 )( 8 8 )( 8 10 )
6 , 2
5 5 ( 5 1 )( 5 2 ) 5. 6. 7 210
3 , 1
EXERCÍCIOS:
1) Calcular
6 6. 5. 4 120
3
2) Calcular
5 5. 4. 3. 2. 1. 0 .( 1 ) 0
7
3) Calcular
4 4. 5 20
2
4) Calcular
5 5
1
5) Provar que
5 n! n ( n 1 )( n 2 )... 2. 1 n!
n
6) Provar que
6 4! 6 6 ( 6 2 ) 6. 4 24 4! 4. 3. 2. 1
2 , 2 2 , 2
7) Calcular
4 4 .( 4 4 )( 4 8 ).( 4 12 ) 4. 0 .( 4 )( 8 ) 0
4 , 4
COEFICIENTES BINOMIAIS.
DEFINIÇÃO.
Dados dois números inteiros maiores que 1, n , e k , sendo n k , deno-
mina-se coeficiente binomial de classe (^) k do número n ao quociente da
potência fatorial decrescente da ordem (^) k do número n pelo fatorial de (^) k ,
ou seja:
k
nn n n k
k
n
k
Em símbolos, temos
( )
k
n
k
n k ^
OBSERVAÇÕES:
I. O coeficiente binomial é também chamado número combinatório;
II. O símbolo
k
n lê-se: coeficiente binomial de n sobre k onde n é o
numerador e k é o denominador do coeficiente binomial.
Exemplos:
COEFICIENTES BINOMIAIS COMPLEMENTARES
DEFINIÇÃO:
Sejam dois coeficientes binomiais de mesmo numerador. Se a
soma de seus denominadores for igual ao numerador comum, então eles
denominar-se-ão COEFICIENTES BINOMIAIS COMPLEMENTARES.
n k
n
k
n
Exemplos:
e
k
n
e
n k
n
(( n k )
n
e
n 5
n
PROPRIEDADE.
Dois coeficientes binomiais complementares são iguais. ( )
k
n
n k
n
Exemplos:
1) Calcular
Resolução:
Aplicando a propriedade, temos: 120
^
2) Resolver a equação )
n
n
Resolução:
Para que os coeficientes binomiais sejam iguais, basta que o
numerador comum seja igual a soma dos denominadores. Logo
n 7
FÓRMULAS PRINCIPAIS DO CÁLCULO COMBINATÓRIO
TIPOS DE AGRUPAMENTOS
Existem dois tipos de agrupamentos, aquele em que a ordem dos elemen
tos:
I. É importante
II. Não é importante.
Os agrupamentos em que a ordem dos elementos é importante, são cha-
dos ARRANJO S ou PERMUTAÇÕES.
ARRANJOS SIMPLES.
Sendo A um conjunto com “ n” elementos distintos e “p” um número
natural de modo que p n , chamamos de arranjos simples dos n elemen-
tos de A, tomados p a p , os agrupamentos ordenados de “p” elementos
diferentes que é possível formar com os elementos de A.
Indicamos o número de arranjos de “ n” elementos p a p , por An^ , p
Para dar uma idéia do que seja um arranjo simples, vejamos o seguinte
Exemplo: Consideremos um conjunto A = { a, b, c } e os seguintes agru-
pamentos de 2 elementos de A , esquematizando a árvore de possibilidades.
b
a c → ab , ac
a
b c → ba , bc
a
c b → ca, cb
Observe que nesses agrupamentos a ordem faz a diferença, pois, ab ≠ ba
O termo simples significa que não há repetição de elementos em cada
arranjo.
Para calcular a quantidade de agrupamentos chamados arranjos simples
usa-se a fórmula:
,
n p
n
An p
, onde:
n → é o número total de elementos
p → é o número de elementos em cada grupo.
Exemplos:
1) Calcular A6,
Resolução:
A
8) Resolva a seguinte equação: An,2 + An,3 = An+1, 2
Resolução:
[( 1 ) 2 ]!
2 3 2 2 3 2 2
n n n n n n n n n n n
n
n nn
n
nn n n
n
nn n
n
n
n
n
n
n
n 0 ou n 3 Como n 0 não satisfaz, temos S = {3}.
9) Resolva A2n+1, 2 = 18n
Resolução:
n n
n n n n n
n n n
n 18 ( 2 1 )!
[( 2 1 ) 2 ]!
2
n n nn . Como n 0 não satisfaz, temos S={4}.
10) Simplifique
1 , 3
. , 2
n
n
A
nA
Resolução:
[( 1 ) 3 ]!
2
2
n
n
n n
nn
n n
nn n
n
n nn n
n
nn n n
n
n
n
nn
ARRANJOS COM REPETIÇÃO:
Arranjo com repetição é um grupo de “ p” elementos de um dado con-
junto com “n” elementos distintos, onde a mudança de ordem determina
grupos diferentes podendo porém, ter elementos repetidos. O número “ p”
é a classe, ou seja, é a quantidade de vezes que o elemento pode ser repeti-
do. Indica-se por ARn,p.
Para calcular a quantidade de agrupamentos envolvendo arranjos com
repetição, usa-se a fórmula:
p ARn (^) , p n
Exemplos:
1) Calcular o número de arranjos com repetição de classe 3 com o con-
junto A = {a, b}
Solução: n = 2 e p = 3
AR2,3 = 2
3
= 8 = { (a, a, a) (b, b, b) (a, a, b) (b, b, a) (a, b, b) (b, a, a)
({a, b, a) (b, a, b)}.
2) Quantas placas de automóveis compostas de duas letras nas duas pri-
meiras posições, seguidas por quatro algarismos nas demais posições
(sendo o alfabeto com 26 letras e os algarismos do sistema decimal)
podem ser formadas?
Resolução:
Como as letras e os algarismos podem ser repetidos, temos:
2 4
AR 26 , 2 AR 10 , 4 placas.
3) Considerando o conjunto E = {a, b, c}, calcular o número de arranjos
com repetição de classe 2.
Solução: n = 3 e p = 2
AR3,2 = 3
2
= 9 = { (a, a) (a, b) (a, c) (b, a) ( b, b) (b, c) (c, a) (c, b)
(c, c) } = 9 arranjos.
PERMUTAÇÕES SIMPLES E COM ELEMENTOS REPETIDOS.
Quando montamos grupos com todos os elementos disponíveis, dizemos
que estamos permutando os “n” elementos entre si. Neste caso, trata-se de
Permutação, e representa-se por Pn.
As permutações são agrupamentos formados pelos mesmos elementos,
portanto, só diferem entre si pela ordem dos mesmos.
Por exemplo. Se A = { 1, 2, 3}, as permutações simples de seus elemen
tos são: 123, 132, 213, 231, 312 e 321.
Para o cálculo de permutações, usamos as fórmulas:
Pn = n! → Para permutações com elementos distintos
!. !. !...!
, ,,...!
a b c z
n P
abc z n
→ Para permutações com elementos repe tidos.
Exemplos:
1) P 5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120
2) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra AMOR?
Resolução:
Anagramas são palavras obtidas efetuando-se todas as trocas possíveis
entre as letras de uma palavra dada, com ou sem significado. Logo, co-
mo a palavra AMOR tem 4 letras distintas, temos:
P 4 = 4! = 4.3.2.1 = 24 anagramas.
3) Quantos números com 5 algarismos distintos podemos formar com os
dígitos (1, 2, 3, 4, 5}?
Resolução:
P 5 = 5! =5. 4.3.2.1 = 120 números.
3) Com oito pessoas, quantas comissões de três pessoas podem ser
formadas?
Resolução:
Como os elementos de cada grupo são distintos e um grupo difere do
outro apenas pela natureza dos elementos e não pela ordem dos mes-
mos, implica que se trata de combinações simples. Logo, temos:
C comissões.
4) Um baralho comum possui 52 cartas. De quantas formas distintas um
jogador pode receber 5 cartas?
Resolução:
Como não interessa a ordem dos elementos, trata-se combinações sim-
ples. Logo, temos:
C formas distintas
receber 5 cartas.
5) Quantos subconjuntos de 18 elementos possui o conjunto de 20 ele-
mentos?
Resolução:
Como a escolha dos 18 elementos independe da ordem, trata-se de
combinações simples. Logo; temos:
C subconjuntos.
COMBINAÇÕES COM REPETIÇÃO.
Chama-se combinação com repetição, classe “p” dos “n” elementos
desse conjunto, a todo grupo formado por “p” elementos, distintos ou não;
em qualquer ordem. Para se calcular a quantidade de agrupamentos envol-
vendo Combinação com repetição, usa-se a fórmula:
!
( 1 )! , 1 , p
n p CRn (^) p Cn p p
(^)
Observações:
I. Enquanto que, nos arranjos e nas permutações, a ordem em que ficam
dispostos os elementos dentro do grupo, diferencia os agrupamentos;
nas combinações, essa ordem não tem importância. Duas combinações
são iguais desde que possuam os mesmos elementos.;
II. Nas combinações completas levamos em consideração o conceito de
multiplicidade dos elementos de um conjunto. Assim,
( a, a, b ) # (a, b, b) porque no primeiro conjunto “a” tem multiplicidade
dois e “b” multiplicidade um; e no segundo conjunto, “a” tem multi-
plicidade um e “b”, dois.
Exemplos:
1) Quantas são as combinações completas de cinco elementos tomados
3 a 3?
Resolução:
35
- 4!
- 4!
3 !. 4!
7!
3 !( 7 3 )!
7!
, 1 , 5 , 3 7 , 3
CR (^) np Cn p p CR C
2) Calcule uma combinação com repetição classe 3 do conjunto (a, b)
Resolução:
4 3 !. 1
- 3!
3 !. 1!
4!
3 !( 4 3 )!
4! , 1 , 2 , 3 4 , 3
CR (^) np Cn p p CR C
3) Quantos produtos binários diferentes podem ser obtidos, utilizando
como fatores os seguintes números primos: 2, 3, 5 e 7?
Resolução:
10
3 !.
- 3!
2 !. 3!
5!
2 !( 5 2 )!
5!
, 1 , 4 , 2 5 , 2
CR (^) np Cn p p CR C
Os pares são: { (2,2) (2, 3) (2, 5) ( 2, 7) (3, 3) ( 3, 5) ( 3, 7) (5, 5)
RECONHECIMENTO DO TIPO DE AGRUPAMENTO.
Quando tentamos resolver um problema de análise combinatória, nos
deparamos com a seguinte questão: os agrupamentos mencionados no pro-
blema são arranjos ou combinações? Para eliminar essa dúvida, devemos
agir da seguinte maneira: construímos um dos agrupamentos sugeridos pelo
problema e, a seguir, mudamos a ordem de apresentação dos elementos des
se agrupamento:
I. Se com essa mudança na ordem dos elementos obtivermos um agrupa-
mento diferente do original, então esse agrupamento é um arranjo.
II. Se com essa mudança na ordem dos elementos obtivermos um agrupa-
mento igual ao original, então esse agrupamento é uma combinação.
Exemplos:
1) Quantos triângulos ficam determinados por cinco pontos distintos e
não colineares A, B, C, D e E de uma circunferência?
PERMUTAÇÃO CIRCULAR
CONCEITUAÇÃO
Uma reunião de presidentes de países da América do Sul será
realizada em uma mesa redonda Participarão dessa reunião os presi-
dentes da Argentina (A), do Brasil (B), do Chile (C), do Paraguai (P)
e do equador (E). Uma preocupação do Itamaraty é com a disposição
dos presidentes em torno da mesa. Em quantas ordens diferentes po-
dem ser dispostos os presidentes em volta da mesa?
Para podermos raciocinar, vamos imaginar uma determinada
disposição,como mostrada ao lado.
A
E B
P C
Tal disposição dos elementos A, B, C, P e E em torno da mesa
é uma permutação circular desses cinco elementos. Note que, se gi-
rarmos no sentido horário:
I. Partindo de “A” , obteremos a permutação em linha ABCPE;
II. Partindo de “B” , obteremos a permutação em linha BCPEA;
III. Partindo de “C”, obteremos a permutação em linha CPEAB;
IV. Partindo de “P”, obteremos a permutação em linha PEABC
V. Partindo de “E”, obteremos a permutação em linha EABCP.
Isto é, as cinco permutações em linha ABCPE, BCPEA, CPEAB;
PEABC e EABCP, correspondem a uma única permutação circular.
ABCPE A
BCPEA
CPEAB E B
PEABC
EABCP
P C
A partir dessa correspondência, podemos relacionar o número de
permutações em linha com o número de permutações circulares dos
elementos A, B, C, P e E, através da seguinte regra de três:
Número de permutações Número de permutações simples em linha de cinco circulares de cinco elementos elementos distintos distintos
5! x 4!
x
Indicando o número de permutações circulares de cinco elementos
distintos por PC ( 5 ), temos pC ( 5 ) 4 ! 4. 3. 2. 1 24
Portanto, os cinco presidentes podem ocupar os ligares em volta da
mesa em 24 disposições diferentes.
CÁLCULO DO NÚMERO DE PERMUTAÇÕES CIRCULARES DE n
ELEMENTOS DISTINTOS
Seja { a 1 , a 2 , a 3 an }um conjunto com n elementos. O número de
permutações circulares desses n elementos é indicado por PC ( n ) é
calculado como apresentamos a seguir:
Consideremos uma determinada permutação circular desses n ele-
mentos. Por exemplo: a 1
an a 2
an 1 a 3
a 4
Tal permutação circular corresponde a n permutações em linha, se
girarmos no sentido horário. São elas:
Partindo de a 1 , temos a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ,, an 1 , an
Partindo de a 2 , temos a 2 , a 3 , a 4 , an 1 , an , a 1
Partindo de a 3 , temos a 3 , a 4 , an 1 , an , a 1 , a 2
Partindo de an , temos an , a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , an 1
Vemos então que n permutações simples em linha correspondem a
uma única permutação circular.
Podemos por isso relacionar o número de permutações simples em
lina com o número de permutações circulares de n elementos distintos,
através da seguinte regra de três:
Número de permutações Número de permutações simples em linha de cinco circulares de cinco elementos elementos distintos distintos
n 1
n! PC ( n )
( 1 )! ( 1 )!
! ( 1 )! ( ) ()
n P n n
nn
n
n PC (^) n Cn
6) Num parque de diversões, uma roda gigante apresenta n cadeiras que
devem ser pintadas uma de cada cor e todas com cores diferentes en-
tre si. Sabendo que as cores podem ser apresentadas em 720 dispo-
sições diferentes, determine n.
Resolução:
PC (^) ( n ) 720 ( n 1 )! 720 ( n 1 )! 6 ! n 1 6 n 7.
7) Quatro homens e três mulheres vão se sentar em torno de uma mesa
redonda. Em quantas disposições diferentes isso pode ser feito, se
pessoas do mesmo sexo devem permanecer juntas?
Resolução:
4 PC ( 4 ). 3 PC ( 3 ) 4. 3 !. 3. 2 ! 4. 3. 2. 3. 2 144 .Logo, são possíveis 144 disposi-
ções.
8) Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro fi-
lhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda.
Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em
torno da mesa de modo que o pai e mãe fiquem juntos?
Resolução:
2 PC ( 5 ) 2 ( 5 1 )! 2. 4 ! 2. 4. 3. 2 48 .Logo, são possíveis 48 disposições
9) Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro fi-
lhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda.
Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em
torno da mesa de modo que o pai e mãe fiquem juntos e dois filhos
briguentos não fiquem juntos?
Resolução:
2 PC ( 5 ) PC ( 5 ) 2 ( 5 1 )!( 5 1 )! 2. 4 ! 4 ! 2. 4. 3. 2 4. 3. 2 24 .Logo, são
possíveis 24 posições diferentes.
10) O número de maneiras diferentes segundo os quais um casal, dois
filhos e uma filha podem sentar-se em torno de uma mesa circular,
com a condição de que os dois filhos não fiquem juntos, e:
Resolução:
PC ( 5 ) 2 PC ( 4 )( 5 1 )! 2 ( 4 1 )! 4 ! 2. 3 !. 4. 3. 2 2. 3. 2 12 .Logo, são
possíveis 12 maneiras diferentes.
EXERCÍCIOS DE COMBINATÓRIA
1) Resolva (n +1)! = 20(n – 1)!
2) Calcule o valor de n na equação: n
n
n n 7 ( 1 )!
3) Obter “n” tal que: 25
n
n n
4) Simplifique:
2 [( 1 )! ]
n
n n
5) Simplifique:
n
n n
6) Simplifique:
n
n n
7) Obter n tal que 10
n
n
8) Obter n tal que 6
n
n n
9) Obter n tal que 4
n
n n
10) Um rapaz possui cinco camisas e duas calças. De quantas maneiras
diferentes ele poderá se vestir?
11) Num grupo de cinco rapazes e quatro moças, de quantos modos dis-
tintos podem ser escolhidos um rapaz para presidente e uma moça pa
ra secretária de grêmio estudantil?
- Calcular o valor da função para^8 !
( 4 )!. ( )
, 3
n n
n C f n
n
