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Capítulo 2: Determinantes
CAPÍTULO 2: DETERMINANTES 2.1 DEFINIÇÃO DE DETERMINANTE A definição de determinante de uma matriz quadrada A , denotado por det( A ) , pode ser dada de diversas maneiras. Aqui vai ser adotada uma definição que ajuda ao cálculo do determinante e está baseada em termos de determinantes de matrizes de menor ordem; em outras palavras, dar-se-á uma definição recursiva. Definição 2.1:
1. Se A =[ α ]é uma matriz de ordem 1 × 1 , entãodet( A ) = α.
2. O menor M (^) ij é o determinante da sub-matriz de ordem ( n − 1 )×( n − 1 ), obtida a partir da matriz A pela retirada da i -ésima linha e da j -ésima coluna da matriz. 3. O cofator Ci (^) j associado ao menor M (^) ij é definido como Ci (^) j = ( − 1 ) i + jMi j. 4. Sendo
n n nn
n
n
a a a
a a a
a a a
L
M M O M
L
L
1 2
21 22 2
11 12 1 A uma matriz quadrada de ordem n × n , com n > 1 , então o
determinante da matriz A é dado por i i i i in i n
n det( A ) = (^) ∑ j = 1 ai (^) jCij = a 1 C 1 + a 2 C 2 + L+ a C para qualquer i = 1 , 2 ,K, n fixo, denominado o desenvolvimento de Lagrange do determinante pelos cofatores da i-ésima linha de A , ou, equivalentemente, j j j j nj n j
n det( A )= (^) ∑ i = 1 ai (^) jAij == a 1 C 1 + a 2 C 2 + L+ a C para qualquer^ j = 1 , 2 ,K, n fixo, denominado o desenvolvimento de Lagrange do determinante pelos cofatores da j-ésima coluna de A. Estas fórmulas para o determinante são conhecidas como o desenvolvimento de Lagrange. Cabe salientar que em ambos desenvolvimentos, a escolha do i fixo ou do j fixo produz o mesmo valor para det( A ). Exemplo 2.1: Seja A = (^) ca db . Tem-se que M (^) 11 = det([ d ])= d , M (^) 12 = det([ c ])= c , M (^) 21 = det([ b ])= b , M (^) 22 = det([ a ])= a , e então C 11 (^) = ( − 1 )^1 +^1 M 11 = d , C (^) 12 = (− 1 )^1 +^2 M 12 =− c , C (^) 21 = (− 1 )^2 +^1 M 21 =− b , C (^) 22 = (− 1 )^2 +^2 M 22 = a. Se i = 1 , det( A ) = (^) ∑ j =^21 a 1 jC 1 j = a 11 C 11 + a 12 C 12 = ad + b (− c )= ad − bc.
Se i = 2 , det( A ) = (^) ∑ j =^21 a 2 jC 2 j = a 21 C 21 + a 22 C 22 = c (− b )+ da = ad − bc.
Capítulo 2: Determinantes
Se j = 1 , det( A ) = (^) ∑ i =^21 ai 1 Ci 1 = a 11 C 11 + a 21 C 21 = ad + c (− b )= ad − bc.
Se j = 2 , det( A )= (^) ∑ i =^21 ai 2 Ci 2 = a 12 C 12 + a 22 C 22 = b (− c )+ da = ad − bc. Como foi afirmado na definição, note que os quatro somatórios fornecem o mesmo valor para odeterminante
det (^) ca^ db = ad − b c.
Exemplo 2.2 Seja
31 32 33
21 22 23
11 12 13 a a a
a a a
a a a A. Para calcular det( A ) , vai ser utilizada, neste exemplo, a seguinte
expressão 11 11 12 12 13 13
3 det( A )= (^) ∑ j = 1 a 1 j C 1 j = aC + a C + aC conhecida pelo nome de desenvolvimento do determinante pelos cofatores da primeira linha. Assim M (^) 11 = (^) aa 3222 aa 3323 = a 22 a 33 − a 23 a 32 , M 12 (^) = (^) aa 3121 aa 3323 = a 21 a 33 − a 23 a 31 , M 13 (^) = aa 3121 aa 3222 = a 21 a 32 − a 22 a 31 , e então C 11 (^) = ( − 1 )^1 +^1 M 11 = a 22 a 33 − a 23 a 32 , C 12 (^) = ( − 1 )^1 +^2 M 12 =− a 21 a 33 + a 23 a 31 ,
Logo C^13^^ =^ (^ −^1 )^1 +^3 M^13 = a^21 a^32 − a^22 a^31.
det( )
11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32
11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 31
11 11 12 12 13 13
3 1 1 1 a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a
j ajCj aC aC aC = + + − − −
A = (^) ∑= = + +
Devido à dificuldade deste desenvolvimento algébrico, existe uma maneira de lembrá-lo, conhecida como a regra de Sarrus
Capítulo 2: Determinantes
2. O determinante da matriz identidade é igual a 1, ou seja, det( I )= 1. 3. O determinante de uma matriz diagonal é igual ao produto dos elementos da diagonal principal, ou
seja, se
d nn
d
d
L
M M O M
L
L
22
11 D , então
nn nn
d d d d
d
d = = ⋅L ⋅ L
M M O M
L
L
(^221122)
11
0 0
det (D).
4. O determinante de uma matriz triangular superior é igual ao produto dos elementos da diagonal
principal, ou seja, se
mn
n
n
u
u u
u u u
L
M M O M
L
L
11 12 1 U , então
nn mn
n
n u u u u
u u
u u u = = ⋅L ⋅ L
M M O M
L
L
(^2221122)
11 12 1
0 0
det (U)^0.
5. O determinante de uma matriz triangular inferior é igual ao produto dos elementos da diagonal
principal, ou seja, se
ln ln l mn
l l
l
L
M M O M
L
L
1 2
21 22
11
L , então
nn n n mn
l l l l l l
l l
l = = ⋅ ⋅L ⋅ L
M M O M
L
L
11 22 1 2
21 22
11 0
det (L).
6. Se uma matriz quadrada A possui uma linha ou coluna nula, então det( A ) = 0. 7. Dada uma matriz quadrada A , tem-se que det( At^ )= det( A ). 8. O determinante de uma matriz quadrada A muda de sinal quando são permutadas duas linhas ou duas colunas de A ; 9. Se B é formada a partir de uma matriz quadrada A mediante a multiplicação de uma linha ou
coluna de A por um escalar α , então
det( B )= αdet( A ).
Nesses termos, det(α A )= α n det( A ), sendo A de ordem n × n.
10. O determinante do produto de duas matrizes A e B das mesmas ordens é igual ao produto dos determinantes dessas matrizes, ou seja,
Capítulo 2: Determinantes det( A B )= det( A )det( B ).
11. Se uma matriz A possui duas linhas ou colunas proporcionais, então det( A )= 0. 12. Se, numa matriz quadrada A , uma linha (ou coluna) é obtida a partir da combinação linear das demais linhas (ou colunas) então (^) det( A ) = 0. 13. Se, numa matriz quadrada A , adiciona-se a uma linha (ou coluna) uma combinação linear de outras linhas (ou colunas, respectivamente), então o determinante da matriz resultante é igual ao determinante da matriz A.
Exemplo 2.5: O valor de 0 0 0 2
31
pode ser calculado como segue
3 31 ( 2 ) 2 4 ,pelaprop. 4.
,pelaprop.8,poisforampermutadasaprimeiraeterceiralinhas 0 0 0 2
31 31
Exemplo 2.6: O valor de 2 6 10
é zero, pela prop. 11, pois a terceira linha é o dobro da primeira.
Uma forma comum de calcular o determinante de uma matriz A é usar as operações elementares para reduzir a matriz a uma matriz triangular superior, como pode ser visto nos dois exemplos seguintes.
Exemplo 2.7: Vai ser calculado o determinante 2 8 6 1
11 ( 3 )( 13 ) 39 ,pelaprop. 4.
− LLL 432 −+− LLL 111 L 4 − L L 4 + L
Exemplo 2.8: Vai ser calculado o determinante 0 0
31 32
32 31 31
21 21 21 −
Capítulo 2: Determinantes Também, observe que A adj ( A ) = (^) ca db − dc − ab = ad 0 − bc ad^0 − bc =( ad − bc ) I =det( A ) I. Similarmente, verifica-se que adj ( A ) A =det( A ) I.
Exemplo 2.10: Vai-se determinar a matriz de cofatores cof ( A )e a matriz adjunta adj ( A ), sendo
A.
Tem-se que
cof ( A ).
Logo, ( )
adj ( A ) cof ( A ) t.
Pode-se verificar que det( A ) =− 3. Também, observe que
A A = − ⋅ I = A ⋅ I
⋅ = ( 3 ) det( ) 0 0 3
adj ( ).
Similarmente, verifica-se que adj ( A )⋅ A =det( A )⋅ I.
O resultado obtido nos dois últimos exemplos pode ser generalizado: Propriedade 2.3: Seja A uma matriz quadrada. Então tem-se a seguinte igualdade, A ⋅ adj ( A )= adj ( A )⋅ A =det( A )⋅ I ,
conhecida como a identidade de Cramer , Prova:
Considere o produto
n n nn
n
n
n n nn
n
n
a a a
a a a
a a a
A A A
A A A
A A A
adj L
M M O M
L
L
L
M M O M
L
L
1 2
21 22 2
11 12 1
1 2
12 22 2
11 21 1 ( A ) A.
Observe que o elemento j , k de tal produto é da forma
δ jk = a 1 kA 1 j + a 2 kA 2 j +L+ ankA nj.
Capítulo 2: Determinantes
Se, na matriz A , a j -ésima coluna
nj
j
j
a
a
a M
2
1 a (^) j é substituída pela k -ésima coluna
nk
k
k k a
a
a M
2
1 a , formando a
matriz B (^) jk , tem-se quedet( Bjk )= (^) det(0, A ),sese k ≠ kj =. j ,Por outro lado, calculando o det( B (^) jk )mediante o desenvolvimento pelos cofatores da (^) k -ésima coluna, tem-se que
det( B jk )= a 1 k A 1 j + a 2 kA 2 j +L+ ankAnj = δ jk ,
desde que os cofatores dessa coluna não mudam em relação à matriz A. Assim,
A I A
A
A
A A = ⋅
⋅ = det( ) 0 0 det( )
0 det( ) 0
det( ) 0 0 ( ) 1 2
21 22 2
11 12 1
L
M M O M
L
L
L
M M O M
L
L
n n nn
n
n adj
Similarmente, pode-se provar que adj ( A )⋅ A =det( A )⋅ I.
A igualdade anterior nos fornece um resultado importante: Propriedade 2.4: Seja A uma matriz quadrada. Se det( A )≠ 0 , então a matriz A é invertível e A −^1 =det(^1 A ) adj ( A ).
A propriedade anterior fornece uma condição suficiente para saber quando uma matriz possui matriz inversa e também dá uma maneira de calcular tal inversa.
Exemplo 2.11: Sendo A = (^) ca db , tem-se que adj ( A ) = (^) − dc − ab e det( A )= ad − bc. Se
det( A )= ad − bc ≠ 0 , então A −^1 = ad^1 − bc − dc − ab .
Exemplo 2.6: Sendo
A , tem-se que
adj ( A ) e det( A ) =− 3. Logo,
−
− (^2323)
1 1
( )^1
det( )
1 A
A (^) A adj (^).
A pesar da identidade de Cramer determinar a matriz inversa de qualquer matriz quadrada invertível, o método que fornece tal identidade é imprático, pois requer o cálculo de n^2^ + 1 determinantes de ordem ( n − 1 )×( n − 1 ). Em termos de complexidade computacional, pode-se dizer que a identidade de Cramer é de ordem n ⋅ ( n !). Inclusive com o uso de supercomputadores, esta complexidade gera tempos computacionais impressionantes; por exemplo, utilizando um computador com uma velocidade de 3 gigaflops por segundo, seriam necessárias pelo menos duas décadas para calcular a inversa de uma matriz ordem 20 × 20.
Capítulo 2: Determinantes Área de um triângulo no plano cartesiano dadas as coordenadas dos seus três vértices: Se um triângulo no plano cartesiano tem seus vértices nos pontos
A = ( x 1 , y 1 ), B = ( x 2 , y 2 )e C = ( x 3 , y 3 ), então ele tem área igual a
21 det( A^^ ) sendo
3 3
2 2
1 1 x y
x y
x y A. Para fins de ilustração, veja a
figura ao lado.
Volume de um paralelepípedo determinado por três vetores no espaço cartesiano:
Se
3
2
1 u
u
u u ,
3
2
1 v
v
v v e
3
2
1 w
w
w w são três vetores com ponto
inicial na origem de coordenadas do espaço cartesiano, então o volume do paralelepípedo determinado por estes três vetores é
det( A ) , sendo
3 3 3
2 2 2
1 1 1 u v w
u v w
u v w A. Veja a figura ao lado.
Produto vetorial de dois vetores de ordem 3:
Se
3
2
1 u
u
u u e
3
2
1 v
v
v v são dois vetores de ordem 3, o produto vetorial de u e v , denotado por u × v ,
define-se como 1 2 3
1 2 3 3 3
2 2
1 1 v v v
u u u u v
u v
u v i j k k
j
i u × v = = , sendo
i ,
j e
k. Em termos dos
cofatores, usando os vetores i , j e k , tem-se que
× = − + = −
2 2
1 1
3 3
1 1
3 3
2 2
2 2
1 1 3 3
1 1 3 3
2 2
u v
u v
u v
u v
u v
u v
u v
u v u v
u v u v u v u^ v i j k , ou
ainda, ( )
× =
12 21
13 31
2 3 3 2 uv u v
uv uv
uv uv u v.
Capítulo 2: Determinantes Verifica-se que o vetor u × v é sempre perpendicular aos vetores u e v , simultaneamente. Por exemplo,
se
u e
v , então
× = −
u v , e tem-se que
u ⋅ ( u × v ) = 2 ⋅(− 5 )+(− 3 )⋅(− 1 )+ 1 ⋅ 7 = 0 e
v ⋅ ( u × v ) = 1 ⋅(− 5 )+ 2 ⋅(− 1 )+ 1 ⋅ 7 = 0. Estes fatos são
mostrados na figura ao lado.
Área de um triângulo no espaço cartesiano dadas as coordenadas dos seus três vértices: Se um triângulo no espaço cartesiano tem seus vértices nos pontos (^) A = ( x 1 , y 1 , z 1 ), (^) B = ( x 2 , y 2 , z 2 ) e C = ( x 3 , y 3 , z 3 ), então ele tem área igual a 21 AB × AC.
Por exemplo, se A =( 1 , 2 , 0 ), B =( − 2 , 2 , 1 )e C =( − 2 ,− 2 , 4 ), então
AB e
AC.
Assim,
× = −
AB AC e a área do triângulo
ABC é 21 AB × AC =^1216 + 36 + 144 = 7. Veja a figura ao lado. 2.5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Encontre os valores de θ para os quais a matriz A = −sencos((θθ)) sencos(( θθ)) é invertível e nesses
casos determine A −^1^.
2. Encontre todos os valores de λ para os quais
Capítulo 2: Determinantes
a. A = (^) −^0100 b. A = (^) 00 02
c.
A d.
A
