Controle Automático e Servo Mecanismo, Notas de estudo de Engenharia de Materiais

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Nota de aula de Controle Autom ´atico e Servo Mecanismo

Controle Cl ´assico

Prof Luiz Vasco Puglia Prof MSc F ´abio Delatore

S ˜ao Paulo 2009

• 1 Introduc¸ ˜ao
  • 1.1 Conceitos b ´asicos
  • 1.2 Literatura recomendada
  • 1.3 Hist ´orico
  • 1.4 Definic¸ ˜oes
  • 1.5 Tipos de sistema
• 2 Revis ˜ao de Laplace
  • 2.1 Conceitos b ´asicos
  • 2.2 Transformadas de Laplace
  • 2.3 Transformada inversa de Laplace
  • 2.4 Transformada Inversa para ra´ızes reais e distintas
  • 2.5 Transformada inversa para ra´ızes reais m ´ultiplas
  • 2.6 Transformada inversa para ra´ızes complexas conjugadas
  • 2.7 Soluc¸ ˜oes com MatLab
  • 2.8 Tabela de transformadas de Laplace
  • 2.9 Exerc´ıcios de Fixac¸ ˜ao
• 3 Modelagem Matem ´atica
  • 3.1 Circuitos El ´etricos Passivos
  • 3.2 Circuitos El ´etricos Ativos
  • 3.3 Sistemas mec ˆanicos din ˆamicos
  • 3.4 Sistemas Fluido
  • 3.5 Sistemas de aquecimento
  • 3.6 Motor de corrente continua
  • 3.7 Exerc´ıcios de Fixac¸ ˜ao
• 4 Representac¸ ˜ao por Blocos
  • 4.1 Sistema de Controle
  • 4.2 Tipo de controladores
  • 4.3 Diagrama de Blocos
  • 4.4 Deslocamento de Blocos
  • 4.5 Exerc´ıcios de Fixac¸ ˜ao
• 5 Resposta Temporal
  • 5.1 Conceitos b ´asicos
  • 5.2 Sistema de 1o ordem
  • 5.3 Sistema de 2o ordem
  • 5.4 Exerc´ıcios de Fixac¸ ˜ao
• 6 Estabilidade de Sistemas
  • 6.1 Arranjo de Routh-Hurwitz
  • 6.2 Projeto de estabilidade pelo ganho
  • 6.3 Exerc´ıcios de Fixac¸ ˜ao
• 7 Erro de Estado Estacion ´ario
  • 7.1 Conceitos b ´asicos
  • 7.2 Erro de estado estacion ´ario em func¸ ˜ao de F(s)
  • 7.3 Erro de estado estacion ´ario em func¸ ˜ao de G(s)
  • 7.4 Exerc´ıcios de Fixac¸ ˜ao
• 8 Analise pelo Caminho do Lugar das Ra´ızes
  • 8.1 CLR por Inspec¸ ˜ao
  • 8.2 Fundamentos Matem ´aticos do CLR
  • 8.3 Regras para construc¸ ˜ao do CLR
  • 8.4 Exerc´ıcios de Fixac¸ ˜ao
• 9 Projeto pelo Caminho do Lugar das Raizes
  • 9.1 Conceitos b ´asicos
  • 9.2 Compensador por Avanc¸o de fase
  • 9.3 Compensador por Atraso de fase
  • 9.4 Compensador por Avanc¸o / Atraso de fase
  • 9.5 Compensador PID
  • 9.6 Exerc´ıcios de Fixac¸ ˜ao
• 10 Analise por Resposta em Frequ ˆencia
  • 10.1 Conceitos b ´asicos
  • 10.2 Diagrama de Bode
  • 10.3 Exerc´ıcios de Fixac¸ ˜ao
• 11 Projeto por Resposta em Frequ ˆencia
• 12 Ziegler Nichols
  • 12.1 conceitos b ´asicos
  • 12.2 1o M ´etodo de Ziegler e Nichols
  • 12.3 2o M ´etodo de Ziegler e Nichols
• 13 Controle Digital
  • 13.1 Conceitos b ´asicos
    • 13.1.1 Teoria de Controle Moderno x Teoria de Controle Cl ´assico

Cap´ıtulo 1

Introduc¸ ˜ao

1.1 Conceitos b ´asicos

O curso descrito nestas notas de aula que segue, objetiva a compreens ˜ao de calculo de compen- sadores pelo m ´etodo cl ´assico, abordando as t ´ecnicas de lugar das ra´ızes e resposta em freq ¨u ˆencia, par- tindo de uma revis ˜ao matem ´atica que permita a compreens ˜ao das ferramentas utilizadas, identificac¸ ˜ao das modelagens usuais e descric¸ ˜ao em blocos de sistemas. Posteriormente s ˜ao definidos os crit ´erios de qualidades necess ´arios a controle e finaliza com o dimensionamento dos controladores pelos m ´etodos:

• Lugar das Ra´ızes
• Resposta em Freq ¨u ˆencia
• Ziegler-Nichols

O fluxo do desenvolvimento destes estudos ´e apresentado abaixo, em forma de diagrama de blocos e a cada mudanc¸a de capitulo ´e reapresentado, localizando o estagio em curso.

Compensador

Introdu¸c˜ao

Revis˜ao de Laplace

Modelagem Matem´atica

Diagrama de Blocos

Resposta Temporal

Estabilidade

Erro Estacion´ario

Lugar Ra´ızes

An´alise pelo Lugar Ra´ızes

Projeto pelo

Ziegler Nichols

An´alise por Resp. Freq. (^) Resp. Freq.

Projeto por

Controle Digital

Lembrete Todas as notas aqui contidas foram extra´ıdas da literatura b ´asica e complementar proposta na ementa do curso, abaixo descrita. Para maior profundidade matem ´atica, devemos buscar os recursos necess ´arios nas refer ˆencias indica- das, pois estas notas de aulas se prop ˜oem a servir de um guia r ´apido de calculo para compensadores. Agradecimentos especiais aos professores Jos ´e Barbosa Junior, Fabrizio Leonardi, Paulo Alvaro Maia, Heraldo Silveira Barbuy, entre tantos outros que de uma forma ou outra ofereceram grande contribuic¸ ˜ao a este trabalho.

1.2 Literatura recomendada

• Literatura Ogata, Katsuhiko - Engenharia de Controle Moderno, 4◦^ Edic¸ ˜ao, Pearson - 2003 Nise, Norman S. - Engenharia de Sistemas de Controle, 3◦^ Edic¸ ˜ao, LTC - 2002 Phillips L.Charles - Sistema de Controle e Realimentac¸ ˜ao, 1◦^ Edic¸ ˜ao, Makron Books - 1996

1.3 Hist ´orico

Datado de antes de Cristo, temos na historia relatos da construc¸ ˜ao do primeiro sistema de con- trole em malha aberta, de um rel ´ogio a base de gotejamento de agua em um recipiente graduado. Posteriormente, o primeiro controle autom ´atico mec ˆanico, realizado foi de James Watt, constru´ıdo no s ´eculo XVIII e consistia em um controlador centr´ıfugo para regulac¸ ˜ao de velocidade de maquina a va- por, que podemos observar no esquema que segue. A seguir, importantes estudos foram realizados em teoria de controle por Minorsky, Hazen e Nyquist, entre outros. Em 1922, Minorsky trabalhou em controladores autom ´aticos para pilotar navios, determinando sua es- tabilidade a partir de representac¸ ˜oes do sistema por equac¸ ˜oes diferenciais. Em 1932, Nyquist desenvolveu um procedimento para determinar estabilidade de sistemas em malha fechada com base na resposta estacionaria em malha aberta com excitac¸ ˜ao senoidal. Em 1934, Hazen, que introduziu o termo ”servo mecanismos” para denominar sistemas de controle de posic¸ ˜ao, discutiu o projeto de servo mecanismo a rel ˆe capaz de seguir muito de perto, uma excitac¸ ˜ao vari ´avel no tempo.

1.4 Definic¸ ˜oes

Apresentamos a seguir alguns conceitos e definic¸ ˜oes bastante utilizados em controle

• Malha Aberta Executa a ac¸ ˜ao independentemente da sa´ıda - Sem ´aforo temporizado - Maquina de lavar roupas - Menor custo - Maior facilidade de execuc¸ ˜ao - Menor precis ˜ao
• Malha Fechada Observa a sa´ıda do sistema retroagindo uma amostra do sinal (realimenta o sinal) para a entrada que modifica a sa´ıda final. - Controle de posic¸ ˜ao - Controle de velocidade - Maior custo - Otima precis ˜´ ao - Permite modificar o sinal de sa´ıda
• Vari ´avel Controlada Grandeza ou vari ´avel a ser medida e controlada no processo
• Vari ´avel Manipulada E a grandeza ou vari ´^ ´ avel que ser ´a manipulada pelo controlador, que afeta a o valor da vari ´avel controlada.
• Planta ou sistema a controlar Parte de um equipamento, conjunto de componentes ou toda a planta que realiza a func¸ ˜ao a ser controlada. (forno, reator nuclear, antena, espac¸onave, etc.).
• Processo Operac¸ ˜ao a ser controlada, como processo qu´ımico, econ ˆomico, mec ˆanico.

• Sistema Conjunto de componentes que constituem a planta estudada. N ˜ao se constitui apenas a algo f´ısico pode ser algo abstrato, como no caso do estudo de um sistema econ ˆomico, onde a din ˆamica de mercado pode alterar a sa´ıda de nosso sistema.

1.5 Tipos de sistema

Representac¸ ˜ao do comportamento de um organismo ou planta atrav ´es de uma equac¸ ˜ao diferen- cial, seu modelo matem ´atico, que apresentam ordem 0, 1 , 2, ... em func¸ ˜ao dos coeficientes da equac¸ ˜ao e isto define a classe do sistema.

Sistema de Ordem 0 Este tipo apresenta uma equac¸ ˜ao diferencial do tipo y(t) = Ku(t), sendo K uma constante qualquer, isto significa que a sa´ıda ser ´a a entrada multiplicada por uma constante e um exemplo t´ıpico ´e um divisor de tens ˜ao resistivo e seu comportamento ´e sempre est ´avel. Podemos deduzir que y(t) = 1/ 10 u(t) e graficamente se considerarmos um sinal de entrada u(t) = degrau de amplitude unit ´aria, obtemos:

u(t) y(t)

9K Ω 1K Ω

u(t)

y(t)

tempo

y(t)

Cap´ıtulo 2

Revis ˜ao de Laplace

Compensador Revis˜ao de Laplace

Revis ˜ao de transformada de Laplace para controle A transformada de Laplace ´e uma ferramenta matem ´atica utilizada para soluc¸ ˜ao de equac¸ ˜oes diferenci- ais lineares. Possibilita a convers ˜ao de func¸ ˜oes comuns como seno, co-seno, exponenciais em func¸ ˜oes alg ´ebricas no dom´ınio de uma vari ´avel complexa s (dom´ınio de laplace). Operac¸ ˜oes de diferenciac¸ ˜ao e integrac¸ ˜ao s ˜ao substitu´ıdas por operac¸ ˜oes alg ´ebricas no plano complexo e ao final a equac¸ ˜ao tem- poral resultante pode ser obtida pela transformada inversa de Laplace, com muito mais facilidade que que o caminho direto da operac¸ ˜ao no dom´ınio do tempo. Outra vantagem deste m ´etodo ´e a utilizac¸ ˜ao de t ´ecnicas gr ´aficas para previs ˜ao de desempenho de sistemas sem a necessidade de resoluc¸ ˜ao das equac¸ ˜oes diferencias que o descrevem. Observe que a revis ˜ao aqui proposta esta direcionada apenas aos conte ´udos necess ´arios a controle, sendo a ferramenta de Laplace muito mais profunda do que aqui apresentado.

Equação diferencialdomínio do tempo Transf. Laplace EquaçãoAlgébrica

Difícil Fácil

equação difer.Solução da(tempo) Transf. inv. de Laplace^ Solução daequaçãoalgébrica

Exemplo 2.1. Como exemplo para fixar este conceito, segue uma soluc¸ ˜ao de uma equac¸ ˜ao diferencial de 1◦^ ordem pelos dois m ´etodos citado Dada uma equac¸ ˜ao diferencial de 1◦^ ordem (^) dt dy(t) + 2 y(t) = u(t), considerando um sinal de entrada do tipo degrau, temos:

Soluc¸ ˜ao no dom´ınio do tempo

y′ (t) + 2y(t) = u(t), com y(0) = 0 sendo y′^ + py = q calculamos o fator integrador I = e ∫ (^) p(t)dt

p(t) = 2 → I = e ∫ (^2) dt = e^2 t sendo (uv)′^ = u′v + uv′, vem [ y′ (t) + 2y(t) = u(t)

]

e^2 t

|{z}^ y′^ (t) u′

|{z}^ e^2 t v

• 2 |{z}y(t) u

|{z}^ e^2 t v′

= u(t)e^2 t ( 2 y (t)e^2 t )′ (^) = u ∫ (t)e^2 t ( 2 y (t)e^2 t )′ (^) =^ ∫ u (t)e^2 t e^2 ty(t) = e 2 t 2 u(t)^ +^ K y(t) =

u(t)e^2 t 2 +^ K e^2 t^ =^

u(t) 2 +^ Ke

− 2 t com a condic¸ ˜ao inicial y(0) = 0 0 = u 2 (t )+ Ke^0 → K = − u 2 (t) y(t) =^12 − 12 e−^2 t

Soluc¸ ˜ao no dom´ınio de Laplace

d dt y(t)^ + 2y(t)^ =^ u(t) −^ L−−f(−t→)

sY(s) + 2Y(s) = U(s)

Y(s) (s + 2) = U(s)

Y(s) = (^) (sU + 2) (s) =^ s (s 1 + 2) =^ K s^1 +^ (sK + 2)^2

  

K 1 = (^)
s (^)
s (s 1 + 2) s=

=^12

K 2 = (^) (s + 2) (^) s(s 1 + 2) s=− 2

Y(s) = (^21) s − (^) 2 (s 1 + 2)^ L

− (^1) F(s) −−−−−→

y(t) =^12 − 12 e−^2 t

Func¸ ˜ao complexa de vari ´avel complexa Definimos uma func¸ ˜ao complexa F (s), quando possu´ımos uma parte real e uma parte imaginaria vari ´avel em func¸ ˜ao de s, tal que: F(s) = Fx + jFy, onde Fx eFy s ˜ao quantidades reais. Sua Magnitude e argumento s ˜ao dados por:

F(s) =

Fx^2 + Fy^2 e θ = arctan F Fyx

com o ˆangulo medido no sentido anti-hor ´ario a partir do semi-eixo real positivo.

Exemplo 2.1.1. Para os pontos do exemplo anterior, podemos calcular a vari ´avel complexa da func¸ ˜ao, para cada um dos pontos.

6

-



JJ JJ J^

+0,

+0,

+0,

-0,

F1(s)

F2(s)

Re |F x|

Im |F y|

Figura 2.2: func¸ ˜ao complexa

F(s) = (^) s + 1^1 F (s 1 ) = (^) s 1 1 + 1

F (s 1 ) = (^1) − 21 j + 1

F (s 1 ) = (^2) −^1 2 j^ 2 + 2 2 + 2jj | {z } conjugado

F (s 1 ) = 2 + 2 8 j= 0, 25 + 0, 25 j

F (s 2 ) = (^) s 2 1 + 1

F (s 2 ) = (^) 2 + 4^1 j + 1

F (s 2 ) = (^) 3 + 4^1 j^33 −−^44 jj | {z } conjugado

F (s 2 ) =^3 − 25 4 j= 0, 12 − 0 , 16 j

Definic¸ ˜oes de uma func¸ ˜ao de Laplace Representamos uma func¸ ˜ao dde Laplace por F (s) = N(s) D(s)^ , onde^ N(s)^ e o polin ˆ´ omio do numerador e^ D(s)^ o polin ˆomio do denominador, e ambos vari ´aveis complexas em s. Desta forma definimos ent ˜ao:

Polin ˆomio caracter´ıstico A equac¸ ˜ao matem ´atica de D(s), identifica o comportamento do sistema no dom´ınio do tempo, recebendo portanto o nome de polin ˆomio caracter´ıstico.

Ordem do sistema E o grau do polin ˆ´ omio caracter´ıstico, ou seja, se D(s) e um polin ˆ´ omio de 1◦^ grau, o sistema ser ´a de 1◦^ ordem, se for do 2◦^ grau, ser ´a de 2◦^ ordem e assim sucessivamente.

Zero do sistema S ˜ao os valores de s que anulam o polin ˆomio do numerador N(s).

P ´olo do sistema S ˜ao os valores de s que anulam o polin ˆomio do caracter´ıstico D(s).

Assim podemos definir que dada uma F(s) = ((ss^ ++^ zp)) , temos:

p ´e um p ´olo se (^) slim→p F(s) = ∞ e z ´e um zero se (^) slim→z F(s) = 0

Exemplo 2.1.2. Para a func¸ ˜ao de transfer ˆencia F (s) = s s^ + 3+ 1 , determinar quem ´e seu polin ˆomio carac- ter´ıstico, a ordem do sistema e a posic¸ ˜ao de p ´olos e zeros.

Sendo F (s) = s s^ + 3+ 1 = N D^ ((ss)) , logo o polin ˆomio caracter´ıstico ´e D(s) = (s + 1) Como a ordem do sistema ´e determinada pelo polin ˆomio caracter´ıstico e neste caso o polin ˆomio ´e de 1 ◦^ ordem (s + 1), o sistema ´e de 1◦^ ordem. Igualando N (s) a zero, obtemos os zeros do sistema.(s + 3) = 0 −→ s = − 3 , ou o zero do sistema se encontra em -3. Igualando D(s) a zero, obtemos os p ´ olos do sistema. (s + 1) = 0 −→ s = − 1 , ou o p ´olo do sistema se encontra em -1. Representamos p ´olos e zeros de um sistema em coordenadas cartesianas com o nome de planos s que segue abaixo.

f

6

.......................................... ?

?

plano s

s=- zero s=-

Re

Im

p´olo

Exemplo 2.1.3. Para a func¸ ˜ao de transfer ˆencia F (s) = s (^2) − 2 s − 15 s^2 + 4s + 5 , determine a ordem do sistema, os p ´olos e zeros e represente o sistema no plano s.

Polin ˆomio caracter´ıstico D(s) = (s^2 + 4s + 5) =⇒ sistema de 2◦^ ordem Para determinac¸ ˜ao dos zeros e p ´olos, vem:

N (s) = (s^2 − 2 s − 15 )^ →

s = − 3 s = +

D(s) = (s^2 + 4s + 5)^ →

s = −2 + j s = − 2 − j

f

6 Im f .......................................... ? ..........................................? zero=-

p´olo=-2+j

p´olo=-2-j zero=+

Re

Figura 2.3: p ´olos ou zeros complexos conjugados

Laplace pela tabela. O resultado deste processo permite chegar ao resultado de uma maneira o menos complexa poss´ıvel para soluc¸ ˜oes temporais.

Exemplo 2.2.1. Dada a func¸ ˜ao de transfer ˆencia abaixo, aplicando as propriedades da tabela de con- vers ˜ao, obter a resposta temporal.

F (s) = s (^3) + 2s (^2) + 6s + 7 s^2 + s + 5 = (s^ + 1) +^

s^2 + s + 5 Que resulta em:

f (t) = δu δt(t )+ u(t) + L−^1

[ 2

s2 + s + 5

]

Observe que este ´ultimo termo deve agora ser dividido em frac¸ ˜oes parciais, para obtenc¸ ˜ao da resposta temporal total.

Exemplos de transformadas de Laplace

Exemplo 2.2.2. Func¸ ˜ao Exponencial Para a func¸ ˜ao exponencial no tempo abaixo apresentada, obter a equivalente transformada de Laplace:

f (t) =

0 para t⟨ 0 Ae−αt^ para t > 0

onde A e α s ˜a o constantes

A transformada de Laplace pode ser obtida por:

L [Ae−αt]^ =

∫^ ∞

0

Ae−αte−stdt = A

∫^ ∞

0

e−αte−stdt = A

∫^ ∞

0

e−(α+s)tdt = (^) (s +A α) ⇒ L [Ae−αt]^ = (^) (s +A α)

Exemplo 2.2.3. Func¸ ˜ao Degrau Para a func¸ ˜ao degrau no tempo abaixo apresentada, obter a equiva- lente transformada de Laplace:

f (t) =

0 para t⟨ 0 A para t > 0

onde A ´e uma constante

A transformada de Laplace pode ser obtida por:

L [A] =

∫^ ∞

0

Ae−stdt = As ⇒ L [A] = As

Exemplo 2.2.4. Func¸ ˜ao Degrau de amplitude unit ´aria Para a func¸ ˜ao degrau de amplitude unit ´aria (normalizada), que ´e de ampla utilizac¸ ˜ao em controle,

pode ser calculada conforme segue:

f (t) =

0 para t⟨ 0 1 para t > 0

onde A ´e uma constante

A transformada de Laplace pode ser obtida por:

L [u(t)] =

∫^ ∞

0

1 e−stdt =^1 s ⇒ L [u(t)] =^1 s

2.3 Transformada inversa de Laplace

No estudo de transformadas inversa de Laplace aplicadas ao curso de controle cl ´assico onde aproximamos a resposta das plantas em estudo a sistemas de 2o^ ordem, devido a teoria dos p ´olos dominantes, 3 casos devem ser estudados com maior atenc¸ ˜ao pois ser ˜ao muito utilizadas ao longo desta apostila. S ˜ao eles relacionados as poss´ıveis ra´ızes que um sistema de 2o^ ordem podem nos fornecer.

• Duas ra´ızes reais e diferentes (quando ∆ > 0 )
• Duas ra´ızes reais e iguais (quando ∆ = 0)
• Duas ra´ızes complexas e conjugadas (quando ∆ < 0 , negativo)

Obtemos a soluc¸ ˜ao temporal pelo m ´etodo da divis ˜ao em frac¸ ˜oes parciais, nos tr ˆes casos, estudando inicialmente a soluc¸ ˜ao para duas ra´ızes, estendendo a aplicac¸ ˜ao para um n ´umero maior logo ap ´os, cobrindo ao final toda gama de respostas temporais que um sistema convencional de controle pode apresentar. Dentro de nosso comparativo visto anteriormente, estaremos executando a parte inferior do modelo, a partir da soluc¸ ˜ao alg ´ebrica no dom´ınio de Laplace obter a resposta temporal.

Equação diferencialdomínio do tempo Transf. Laplace EquaçãoAlgébrica

Difícil Fácil

equação difer.Solução da(tempo) Transf. inv. de Laplace^ Solução daequaçãoalgébrica

Figura 2.4: Efetuando a transformada inversa de Laplace