Introdução à Transformada de Laplace: Conceitos e Aplicações em Equações Diferenciais, Esquemas de Engenharia de Processos

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Professora: Joana Bratz Lourenço

Universidade Franciscana

 O método da transformada de Laplace proporciona uma maneira eficiente para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constante;  Uma classe importante de problemas de controle restringe-se à resolução deste tipo de equações.

 Exemplo: ▪ 𝑓 𝑡 = 1 ℒ 𝑓(𝑡) = 𝑓 𝑠 = න 0 ∞

1. 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 1 න 0 ∞ 𝑒 (−𝑠𝑡) 𝑑𝑡 𝑢 = −𝑠𝑡 𝑑𝑢 = −𝑠𝑑𝑡 ℒ 𝑓(𝑡) = 𝑓 𝑠 = 1 −𝑠

. 𝑒 (−𝑠𝑡) 0 ∞ = 1 −𝑠 . 0 − 1 ℒ 𝑓(𝑡) = 𝑓 𝑠 = 1 𝑠

 Transformada de funções simples ▪ Função degrau 𝑓(𝑡) = ቊ

Estaremos interessados para valores positivos de tempo: ℒ 𝑓(𝑡) = 𝑓 𝑠 =

 Transformada de funções simples

▪ Função rampa

0 ∞

−𝑠𝑡

 Integração por partes: escolher “u” e “v”. Lembrando:

න 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢 × 𝑣 − න 𝑣𝑑𝑢 Regra

0 ∞ 𝑡𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 𝑡

−𝑠𝑡 ቮ

0 ∞ − 1 𝑠

−𝑠𝑡 𝑑𝑡 =

−𝑠𝑡 อ

0 ∞ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡

−𝑠𝑡 ቤ

Logo:

−𝑠𝑡 𝑑𝑡 𝑣 =

−𝑠𝑡

• COUGHANOWR (1986).

 A transformada de Laplace tem a propriedade singular de transformar a operação de diferenciação em relação a t em uma multiplicação por s: ℒ

 Onde: 𝑓 𝑠 = ℒ 𝑓(𝑡) 𝑓(𝑡) é avaliada em t = 0;

0 ∞ (^) 𝑑𝑓 𝑑𝑡

−𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 ቚ ∞ 0

0 ∞ 𝑓 𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 = −𝑓 0 + 𝑠𝑓(𝑠)  Com isso, enquanto a função de t era diferenciada em relação a t, a correspondente de s é simplesmente multiplicada por s.  Para ordens maiores (derivada segunda, terceira, n): ℒ 𝑑 𝑛 𝑓 𝑑𝑡 𝑛 = 𝑠 𝑛 𝑓 𝑠 − 𝑠 𝑛− 1 𝑓 0 − 𝑠 𝑛− 2 𝑓 ′ 0 − ⋯ − 𝑓 𝑛− 1 ( 0 )  Assim, muda-se a operação de diferenciação de uma função pela multiplicação de sua transformada por s, com o número de multiplicações correspondendo ao número de diferenciações.

 Resolver: 𝑑𝑥 𝑑𝑡

 Obter a transformada de Laplace da função x(t) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais. 𝑑 3 𝑥 𝑑𝑡 3

• 4 𝑑 2 𝑥 𝑑𝑡²
• 5 𝑑𝑥 𝑑𝑡
• 2𝑥 = 2 𝑥 0 = 𝑑𝑥( 0 ) 𝑑𝑡 = 𝑑 2 𝑥( 0 ) 𝑑𝑡² = 0

𝑑 3 𝑥 𝑑𝑡^3

• 4 𝑑 2 𝑥 𝑑𝑡²
• 5 𝑑𝑥 𝑑𝑡
• 2𝑥 = 2 ℒ 𝑑 𝑛 𝑓 𝑑𝑡 𝑛 = 𝑠 𝑛 𝑓 𝑠 − 𝑠 𝑛− 1 𝑓 0 − 𝑠 𝑛− 2 𝑓 ′ 0 − ⋯ − 𝑓 𝑛− 1 ( 0 ) 𝑠 3 𝑥 𝑠 − 𝑠 2 𝑥 0 − 𝑠𝑥 ′ 0 − 𝑥 ′′ 0 + 4 𝑠 2 𝑥 𝑠 − 𝑠𝑥 0 − 𝑥 ′ 0 + 5 𝑠𝑥 𝑠 + 𝑥 0 + 2𝑥 𝑠 = 2 𝑠  Como: 𝑥 0 = 𝑑𝑥( 0 ) 𝑑𝑡 = 𝑑 2 𝑥( 0 ) 𝑑𝑡² = 0 𝑠 3 𝑥 𝑠 + 4 𝑠 2 𝑥 𝑠 + 5 𝑠𝑥 𝑠 + 2𝑥 𝑠 = 2 𝑠  Isolando x(s): 𝑥 𝑠 = 2 𝑠(𝑠^3 + 4 𝑠^2 + 5𝑠 + 2 ) Regra (Condições iniciais) Como deixar em função de t?