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Coordenadas esféricas
Apesar de as coordenadas cartesianas ( x , y e z ) serem apropriadas para a descrição
de uma variedade de problemas, existem muitos outros casos para os quais estas coordenadas são inadequadas. Isto verifica-se, por exemplo, quando o sistema a descrever tem um tipo qualquer de centro natural, como no caso de um átomo onde o seu núcleo serve de centro. Ao descrever os sistemas atómicos, bem como muitos outros sistemas, torna-se mais conveniente usar coordenadas esféricas (Figura 1). Em vez de se localizar um ponto no espaço usando as coordenadas cartesianas x , y e z , pode localizar-se o mesmo ponto, especificando as
coordenadas esféricas r , θ e φ. Na Figura 1 pode ver-se que as relações entre os dois
conjuntos de coordenadas são dadas por sen cos sen sen cos
x r y r z r
Figura 1: Representação do sistema de coordenadas esféricas. Um ponto é especificado pelas coordenadas esféricas r , θ e φ. Este sistema coordenado é denominado sistema coordenado esférico porque o gráfico da equação r = c =constanteé uma esfera de raio c centrado na origem.
Ocasionalmente, é necessário conhecer r , θ e φ em termos de x , y e z. Estas
relações são dadas por
( )
( )
2 2 2 1 2
cos 2 2 2 1 2
tan
r x y z z x y z y x
Qualquer ponto na superfície de uma esfera de raio unitário pode ser especificado
pelos valores de θ e φ. O ângulo θ representa a declinação desde o pólo norte (equivalente à
latitude) e assim 0 ≤ θ ≤ π. O ângulo φ representa o ângulo em redor do equador
(equivalente à longitude) e assim 0 ≤ φ ≤ 2 π. Apesar de o valor de θ poder ser zero (pólo
norte) o mesmo não se verifica com o ângulo φ. Convencionalmente, o ângulo φ é medido a
partir do eixo dos x tal como se ilustra na Figura 1. De notar que r , sendo a distância a partir da origem, é intrinsecamente uma quantidade positiva. Em termos matemáticos 0 ≤ r ≤∞.
x
y
z
φ
r
r d θ r sen θ
r sen θ d φ dr
r sen^^ θ^ d φ^ r^ d θ
dr
Figura 2: Construção geométrica do elemento de volume diferencial em coordenadas esféricas.
Ao longo do estudo da Química-Física encontrar-se-ão integrais envolvendo coordenadas esféricas. Enquanto que o elemento de volume diferencial em coordenadas cartesianas é dx dydz , em coordenadas esféricas não é tão simples. A Figura 2 mostra o
elemento de volume diferencial em coordenadas esféricas, que pode demonstrar-se ser igual a
dV = (^) ( r sen θ d φ (^) ) ( r d θ) dr = r^2 senθ dr d θ d φ (3) Pode usar-se a equação anterior para calcular o volume de uma esfera de raio r. Neste
caso 0 ≤ r ≤ a , 0 ≤ θ ≤ π e 0 ≤ φ ≤ 2 π. Assim
I = (^) ∫ 0 ∞ dr r^2 ∫ 0 π d θ sen θ (^) ∫ 0 2 π d φ F (^) ( r , θ φ, ) (7)
Na equação 7, cada integral actua em tudo que está à sua direita; por outras palavras, primeiro integra-se F ( r ,θ , φ)em φ de 0 a 2 π , depois multiplica-se o resultado por sen θ e integra-se
em θ de 0 a π ; finalmente, multiplica-se o resultado por r^2 e integra-se em r de 0 a ∞. A
vantagem da notação da equação 7 é que a variável de integração e os limites associados deixam de ser ambíguos. Como exemplo de aplicação desta notação utilizar-se-á de seguida a notação da equação 7 para determinar o integral I com
F ( r , θ φ, ) = 321 π r e^2 −^ r sen 2 θ cos^2 φ
(Aprender-se-á numa das disciplinas de Química-Física que esta função é o quadrado da orbital 2 px do átomo de hidrogénio). Se se substituir F ( r ,θ , φ)na equação 7 obtém-se
2 2 2 2 2 0 0 0
(^1) sen sen cos 32
I dr r^ π d θ θ π d φ r e^ r θ φ
= ∞^ −
∫ ∫ ∫
O integral em φ dá
(^2 ) 0 d cos
∫ de modo que
2 2 2 0 0
(^1) sen sen 32 I = (^) ∫ ∞^ dr r (^) ∫ π^ d θ θ r e −^ r θ (8)
O integral em θ , I θ , é
3 I (^) 0 d sen π θ=^ ∫^ θ^ θ
Neste caso é conveniente aplicar a técnica da transformação de variável fazendo x =cos θ
nos integrais envolvendo θ.
Assim, d x = −sen θ d θ e os limites de integração passam a ser −1 a +1 e neste caso ter-se-á
I (^) θ = (^) ∫ 0 π d θ sen^3 θ^ = − (^) ∫ 1 − 1 dx (^) ( 1 − x^2^ ) = (^) ∫−+ 11 dx (^) ( 1 − x^2 )= 2 − 23 =^43
A utilização deste resultado na equação 8 dá
I = (^241) ∫ 0 ∞^ dr r e^4 −^ r = (^241) ( 4!) = 1
onde se utilizou o integral
∫
0 x^ e dx n!
n x
Este resultado final para I simplesmente mostra que a expressão que representa a orbital atómica 2 px do hidrogénio está normalizada.
Frequentemente a integranda na equação 7 é apenas função de r e, neste caso, diz-se que a integranda é esfericamente simétrica. Veja-se o que acontece quando na equação 7
F ( r , θ, φ) = f ( r )
I = ∫ 0 ∞ dr r^2 ∫ 0 π d θ senθ ∫ 0 2 π d φ f ( r ) (9)
Como f ( r )é independente de θ e φ pode integrar-se em φ para obter 2 πe depois integrar
em θ para obter 2:
1 I (^) 0 sen d (^) 1 dx 2
A equação 9 transforma-se então em 2
I 0 f(r) 4 π r dr
O que interessa reter aqui é que, se F ( r , θ , φ) = f ( r ), então a equação 7 torna-se
efectivamente num integral a uma dimensão com um factor de 4 π r^2 dr a multiplicar a
integranda. A quantidade 4 π r^2 dr é o volume de uma calote esférica de raio r e espessura
dr. Exemplo 1: Aprender-se-á numa das disciplinas de Química-Física que a orbital atómica 1 s do hidrogénio é dada por
3 1 2^0 0
f ( ) r 1 er a π a
=^ −
Pretende demonstrar-se que o quadrado desta função é normalizado. Solução A função f ( ) r é uma função esfericamente simétrica de x , y e z , onde
r = ( x^2^ + y^2 + z^2 )1 2. Assim e usando a equação 10 pode escrever-se
(^2 2 32 ) 0 0 0 30 03
( ) 4^4 (^4 2 ) 2
I f r r dr r e r a dr a a (^) a
π π π = ∞^ = ∞^ − = ⋅ =
Discutir-se-á em seguida um tópico final envolvendo coordenadas esféricas. Se se considerar apenas a superfície da esfera de raio unitário, então a parte angular da equação 5 fornece a área superficial diferencial
dA = sen θ d θ d φ (11)
Se se integrar em toda a superfície esférica ( ( 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ φ ≤ 2 π), então
2 A (^) 0 sen d (^) 0 d 4
onde ( )
1 2 Y 1 θ φ, = ^43 π cosθ e
1 2 2 Y 2 θ φ , = ^165 π 3cos θ− 1 Solução Como Y 1 e Y 2 são independentes de φ , a integração em φ dá 2 π. A integração em θ é
2 0 (^1 ) 1
cos 3cos 1 sen 3 1
I d x x dx
π θ^ θ^ θ^ θ^ θ
−
= − = −
Porém esta função é uma função par de x , integrada entre -1 e +1, de modo que I θ = 0 e, portanto, I = 0. Diz-se que Y 1 ( θ φ, ) e Y 2 ( θ φ, )são ortogonais na superfície de uma esfera unitária.
