Baixe Cálculo Multivariável: Coordenadas Cilíndricas e Esféricas e outras Notas de aula em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
Faculdade de Tecnologia UERJ - Resende
Professores Gabriela Coutinho e Marlon Ramos
Integrais Triplas em Coordenadas Cil´ındricas e
Esf´ericas
1 Integrais triplas em Coordenadas Cil´ındricas
Quando um c´alculo de uma integral tripla envolve um cilindro, cone, esfera, elipsoide
e paraboloides em geral podemos simplificar nosso trabalho usando coordenadas cil´ın-
dricas ou esf´ericas. O procedimento para transformar essas coordenadas e calcular as
integrais triplas resultantes ´e semelhante `a transforma¸c˜ao para coordenadas polares no
plano estudado na semana passada.
Obtemos coordenadas cil´ındricas para o espa¸co combinando coordenadas polares no
plano xy com o eixo z usual. Agora vamos descrever cada ponto no espa¸co por coorde-
nadas na forma (r, θ, z), como mostra a figura 1.
O
r
x
z
y
y
z
x
P ( r , , z )
Figure 1 : Figura retirada de [ 3 ].
Coordenadas cil´ındricas representam um ponto P no espa¸co por tripla ordenada
(r, θ, z) em que
r e θ s˜ao coordenadas polares para a proje¸c˜ao vertical de P no plano xy.
z ´e a coordenada vertical cartesiana.
Os valores de x, y, r e θ em coordenadas retangulares e cil´ındricas s˜ao relacionados
pelas equa¸c˜oes
x = r cos θ, y = r senθ, z = z
x 2
y
x
A figura 2 mostra como se comportam algumas superf´ıcies em coordenadas cil´ındricas:
- A equa¸c˜ao r = a descreve n˜ao apenas um c´ırculo no plano xy, mas um cilindro inteiro em torno do eixo z. O eixo z ´e dado por r = 0.
- A equa¸c˜ao θ = θ 0 descreve o plano que cont´em o eixo z e faz um ˆangulo θ 0 com o eixo x positivo.
- Assim como nas coordenadas cartesianas, a equa¸c˜ao z = z 0 descreve um plano perpendicular ao eixo z.
z
y
x
O a
r a , enquanto e z va
z z 0 , enquanto r e variam
0 , enquanto r e z variam
z 0
0
Figure 2 : Figura retirada de [ 3 ].
As coordenadas cil´ındricas s˜ao boas para descrever cilindros cujos eixos correm ao
longo do eixo z (r constante) ou planos que contˆem o eixo z (θ constante) ou planos
perpendiculares ao eixo z (z contante). Superf´ıcies como essas tˆem equa¸c˜oes com valor
de uma das coordenadas cil´ındricas constante: r = r 0 , θ = θ 0 , z = z 0 , como mostra a
figura 2.
Nos exemplos abaixo podemos ver superf´ıcies como cilindro, cone e paraboloide cir-
cular escritas em termos coordenadas cil´ındricas
Cilindro: x 2
Cone: z =
x^2 + y^2 ⇒ z = r
Paraboloide Circular: z = 1 − x^2 − y^2 ⇒ z = 1 − r 2
Figure 3 : Figura adaptada de [ 1 ].
z
y x
E
D
r h 1 ( )
r h 2 ( )
z u 1 ( r , )
z u 2 ( r , )
Figure 5 : Figura adaptada de [ 3 ].
- Desenhe uma linha M paralela ao eixo z que atravesse a regi˜ao de
integra¸c˜ao. A` medida que z aumenta, M entra em E na superf´ıcie z = u 1 (r, θ) e sai na superf´ıcie z = u 2 (r, θ). Estes s˜ao os limites de integra¸c˜ao de z.
z
y x
E
D
M
r h 1 ( )
r h 2 ( )
z u 1 ( r, )
z u 2 ( r, )
( r, )
Figure 6 : Figura adaptada de [ 3 ].
- Desenhe um raio L a partir da origem. O raio entra na regi˜ao projetada
D na curva r = h 1 (θ) e sai na curva r = h 2 (θ). Estes s˜ao oslimites de integra¸c˜ao de r.
z
y x
E
D
M
L
r h 1 ( )
r h 2 ( )
z u 1 ( r, )
z u 2 ( r, )
( r, )
Figure 7 : Figura adaptada de [ 3 ].
- A` medida que L percorre D, o ˆangulo θ que este raio faz com o eixo x positivo vai de θ = α a θ = β. Estes s˜ao os limites de integra¸c˜ao de θ. E a integral fica
" " "
E
g(r, θ, z) dV =
" (^) β
α
" (^) h 2 (θ)
h 1 (θ)
" (^) u 2 (r,θ)
u 1 (r,θ)
g(r, θ, z) r dz dr dθ
Exemplo: Encontre os limites de integra¸c˜ao em coordenadas cil´ındricas para integrar
a fun¸c˜ao f (r, θ, z) sobre a regi˜ao E delimitada abaixo pelo plano z = 0 , acima pelo
paraboloide z = x^2 + y^2 e lateralmente pelo cilindro x^2 + (y − 1 )^2 = 1.
Note que a proje¸c˜ao de E no plano xy ´e dada pelo disco D centrado em ( 0 , 1 ) de raio
r = 1. Em coordenadas polares ´e descrito por
x^2 + (y − 1 )^2 = 1
x 2
x 2
r 2 − 2 r senθ = 0 ⇒ r = 2 senθ.
A regi˜ao E est´a representada na figura 8.
Encontramos os limites de integra¸c˜ao come¸cando com os limites em z. No sentido de
x
y
z
M (^) D
2
R L
Cartesian: x^2! ( y " 1)^2 # 1 Polar: r (^) # 2 sin_!_
( r ,! )
!
Top Cartesian: z (^) # x^2! y^2 Cylindrical: z # r^2
FIGURE 15.39 Finding the limits of
Cartesiana: z x^2 y^2 Cilíndrica: z r^2
Cartesiana: x^2 ( y 1 )^2 Polar: r 2 sin
E
D
Figure 8 : Figura adaptada de [ 1 ].
crescimento de z linha M paralela ao eixo z entra na regi˜ao E em z = 0 e sai em
z = x^2 + y^2 = r^2. Portanto, 0 ≤ z ≤ r^2.
O pr´oximo passo ´e definir os limites de integra¸c˜ao de D. Para isto, vamos nos guiar pela
Exemplo: Calcule
− 2
" √ 4 −x 2
−
√ 4 −x^2
x^2 +y^2
(x 2
Note que a regi˜ao de integra¸c˜ao ´e uma regi˜ao s´olida delimitada abaixo pelo cone
z =
x^2 + y^2 = r e acima pelo plano z = 2. No plano xy temos um disco centrado na
origem de raio r = 2 pois − 2 ≤ x ≤ 2 e −
4 − x^2 ≤ y ≤
4 − x^2. Portanto
E = {(x, y, z)| − 2 ≤ x ≤ 2 , −
4 − x^2 ≤ y ≤
4 − x^2 ,
x^2 + y^2 ≤ z ≤ 2 }
Esta regi˜ao fica muito mais simples de ser descrita em coordenadas cil´ındricas
E = {(r, θ, z)| 0 ≤ r ≤ 2 , 0 ≤ θ ≤ 2 π, r ≤ z ≤ 2 }
Como o integrando em coordenadas cil´ındricas fica igual a f (x, y, z) = x^2 + y^2 = r^2 ,
Figure 10 : Figura adaptada de [ 1 ].
temos " (^2)
− 2
" √ 4 −x 2
−
√ 4 −x^2
x^2 +y^2
(x 2
" (^2) π
0
0
r
r 2 r dz dr dθ
" (^2) π
0
0
r
r 3 dz dr dθ
" (^2) π
0
0
r 3 z
2
r
dr dθ
" (^2) π
0
dθ
0
r 3 ( 2 − r) dr
" (^2) π
0
dθ
0
( 2 r 3 − r 4 ) dr
θ
) 2 π
0
r^4
2
r^5
5
0
π
2 Integrais Triplas em Coordenadas Esf´ericas
As coordenadas esf´ericas localizam pontos no espa¸co
com dois ˆangulos e uma distˆancia, como mostrado na
figura ao lado. A primeira coordenada ρ ´e a distˆancia
do ponto `a origem
|OP |. A segunda coordenada θ ´e
mesma utilizada nas coordenadas polares e cil´ındri-
cas. Por ´ultimo, temos a coordenada φ que ´e ˆangulo
que
|OP | faz com o eixo z positivo e deve estar no
intervalo [ 0 , π].
As coordenadas esf´ericas representam um ponto P no espa¸co por triplas ordenadas
(ρ, θ, φ) em que
ρ ´e a distˆancia de P `a origem.
θ ´e o ˆangulo das coordenadas polares e cil´ındricas.
φ ´e o ˆangulo que
|OP | faz com o eixo z positivo.
As equa¸c˜oes que relacionam as coordenadas cartesianas, cil´ındricas e esf´ericas s˜ao
r = ρ senφ, x = r cos θ = ρ senφ cos θ
z = ρ cos φ, y = r senθ = ρ senφ senθ
ρ =
x^2 + y^2 + z^2 =
r^2 + z^2
A figura ao lado mostra como se comportam algumas superf´ı- cies em coordenadas esf´ericas:
- A equa¸c˜ao ρ = a descreve uma esfera com centro na origem.
- A equa¸c˜ao φ = φ 0 descreve uma parte superior de um cone.
- A equa¸c˜ao θ = θ 0 descreve um semiplano articulado ao longo do eixo z.
0 ,^ enquanto e variam
a , enquanto e variam
y
z
x
0
0
P ( a , 0 , 0 )
0 ,^ enquanto e variam
2. 1 C´alculo de Integrais Triplas em Coordenadas Esf´ericas
Seja E uma regi˜ao correspondente a cunha da figura 13 , tal que
E = {(ρ, θ, φ)|a ≤ ρ ≤ b, α ≤ θ ≤ β, c ≤ φ ≤ d}.
sen
Figure 13 : Figura retirada de [ 1 ].
A integral tripla de uma fun¸c˜ao f (x, y, z) sobre a regi˜ao E ´e dada por
E
f (x, y, z) dV =
" (^) d
c
" (^) β
α
" (^) b
a
f (ρ senφ cos θ, ρ senφ senθ, ρ cos φ) ρ 2 senφ dρ dθ dφ.
Na equa¸c˜ao acima utilizamos o fato de que x = ρ senφ cos θ, y = ρ senφ senθ e
z = ρ cos φ. Note que agora, em coordenadas esf´ericas, o elemento de volume ´e dado por
dV = ρ^2 senφ dρ dθ dφ.
Novamente, esta f´ormula pode ser estendida para casos em que temos regi˜oes esf´ericas
mais gerais
E = {(ρ, θ, φ)| u 1 (θ, φ) ≤ ρ ≤ u 2 (θ, φ), α ≤ θ ≤ β, c ≤ φ ≤ d}.
Neste caso, teremos
E
f (x, y, z) dV =
" (^) d
c
" (^) β
α
" (^) u 2 (θ,φ)
u 1 (θ,φ)
f (ρ senφ cos θ, ρ senφ senθ, ρ cos φ) ρ 2 senφ dρ dθ dφ.
Para encontrar os limites de integra¸c˜ao de " " "
E
g(ρ, θ, φ) dV
sobre a regi˜ao E no espa¸co em coordenadas esf´ericas, execute os seguintes passos.
Achando os Limites de Integra¸c˜ao
- Esboce a regi˜ao E junto com sua proje¸c˜ao D no plano xy. Identifique as superf´ıcies que limitam E.
x
y
z
D
E
g 2 ( , )
g 1 ( , )
Figure 14 : Figura adaptada de [ 3 ].
- Desenhe uma linha M que faz um ˆangulo φ com o eixo z positivo e que
atravesse a regi˜ao de integra¸c˜ao. A` medida que ρ aumenta, M entra em E na superf´ıcie ρ = u 1 (θ, φ) e sai na superf´ıcie ρ = u 2 (θ, φ). Estes s˜ao os limites de integra¸c˜ao de ρ.
x
y
z
D
E
L
M
u 2 ( , )
u 1 ( , )
max min
Figure 15 : Figura adaptada de [ 3 ].
- A` medida que L percorre D, o ˆangulo θ que este raio faz com o eixo x
positivo vai de θ = α a θ = β. Estes s˜ao os limites de integra¸c˜ao de θ.
- Para um dado valor de θ fixo, observe qual ´e o maior e o menor valor
que o ˆangulo φ (que M faz com o eixo z positivo) sobre a regi˜ao. Se o φ varia de φ = φmin at´e φ = φmax, estes s˜ao os limites de integra¸c˜ao de φ. E a integral fica
" " "
E
g(ρ, θ, φ) dV =
" (^) φmax
φmin
" (^) β
α
" (^) u 2 (θ,φ)
u 1 (θ,φ)
g(ρ, θ, φ) ρ 2 senφ dρ dθ dφ
Exemplo: Utilize coordenadas esf´ericas para determinar o volume do s´olido que fica
acima do cone z =
x^2 + y^2 e abaixo da esfera x 2
Usando o mesmo procedimento realizado anteriormente para converter de cartesiana
para esf´erica, podemos ver que
x 2
- y 2
- (z − 1 / 2 ) 2 = 1 / 4 ⇒ x 2
- y 2
- z 2 = z ⇒ ρ 2 = ρ cos φ ⇒ ρ = cos φ
corresponde a uma esfera de raio r = 1 / 2 deslocada de uma meia unidade em z e que o
cone z =
x^2 + y^2 pode ser escrito em coordenadas esf´ericas como φ = π/ 4.
Portanto, observando a figura 16 , a regi˜ao de integra¸c˜ao fica
varia de 0 a cos enquanto são constantes.
varia de 0 a enquanto é constante.
varia de 0 a 2.
Figure 16 : Figura retirada de [ 1 ].
E = {(ρ, θ, φ)| 0 ≤ ρ ≤ cos φ, 0 ≤ θ ≤ 2 π, 0 ≤ φ ≤ π/ 4 }.
Como ρ ´e uma fun¸c˜ao de φ, primeiro integramos em ρ e ca´ımos numa fun¸c˜ao de φ,
como o elemento de volume envolve o senφ, integramos em φ depois. A integra¸c˜ao
em θ ´e independente porque as outras coordenadas n˜ao dependem de θ e os limites de
integra¸c˜ao em θ s˜ao constantes, tal que
V (E) =
E
dV =
" (^2) π
0
" (^) π/ 4
0
" (^) cos φ
0
ρ 2 senφ dρ dφ dθ
" (^2) π
0
dθ
" (^) π/ 4
0
ρ^3
3
&cos φ
0
senφ dφ
2 π
3
" (^) π/ 4
0
cos 3 φ senφ dφ =
2 π
3
− cos^4 φ
4
&π/ 4
0
π
8
Exemplo: Reescreva a integral abaixo em coordenadas esf´ericas e calcule
− 2
" √ 4 −x 2
−
√ 4 −x^2
4 −x^2 −y^4
0
z^2
x^2 + y^2 + z^2 dz dy dx
Neste tipo de problema ´e u´til (quando poss´ıvel) desenhar a regi˜ao de integra¸c˜ao.
Neste caso, os limites de z est˜ao delimitado abaixo pelo plano xy (onde z = 0 ) e acima
pela parte superior da esfera z =
4 − x^2 − y^4. Dos limites de integra¸c˜ao de x e y
podemos ver que a proje¸c˜ao no plano xy ´e um c´ırculo completo centrado na origem de
raio r = 2.
Ent˜ao a integral em coordenadas esf´ericas fica
" (^2)
− 2
" √ 4 −x 2
−
√ 4 −x^2
4 −x^2 −y^4
0
z 2
x^2 + y^2 + z^2 dz dy dx =
" (^) π/ 2
0
" (^2) π
0
0
(ρ cos φ) 2 ρ ρ 2 senφ dρ dθ dφ
" (^) π/ 2
0
cos 2 φ senφ dφ
" (^2) π
0
dθ
0
ρ 5 dρ
cos^3 φ
3
)π/ 2
0
θ
) 2 π
0
ρ^6
6
0
· ( 2 π) ·
π
