Baixe COORDENADAS ESFERICAS e outras Resumos em PDF para Matemática, somente na Docsity!
COORDENADAS CIL´INDRICAS E ESF´ERICAS
EDSON VARGAS
Abstract. Discutimos duas mudan¸cas de vari´aveis importantes para o c´alculo de integrais triplas, s˜ao as coordenadas cil´ındricas e esf´ericas. Tamb´em calcu- lamos uma integral tripla usando essas duas coordenadas o que permite assim melhorar a compreens˜ao das mesmas.
- Coordenadas cil´ındricas Coordenas cil´ındricas s˜ao muito ´uteis no c´alculo de integrais em regi˜oes do espa¸co limitadas por cil´ındricos ou quando o integrando ´e uma fun¸c˜ao que depende apenas da distˆancia a um eixo. Na sua forma mais comum as coordenadas cil´ındricas no espa¸co R^3 s˜ao trˆes vari´aveis que denotamos por ρ, θ e z. A vari´avel z ´e a mesma da coordenadas cartesianas e ρ ´e a distˆancia de um ponto a um eixo (aqui estamos supondo que seja o eixo Oz), θ ´e um ˆangulo medido a partir do semi-plano y = 0 e x ≥ 0. As coordenadas cartesianas x, y e z e as coordenadas cil´ındricas ρ, θ e z est˜ao relacionadas pelas equa¸c˜oes abaixo:
x = ρ cos θ, ρ ≥ 0 y = ρ sen θ, 0 ≤ θ ≤ 2 π z = z, z ∈ R Observe que nas Coordenadas Cil´ındricas (1.1) verifica-se que x^2 + y^2 = ρ^2 e portanto:
(i) O cilindro x^2 + y^2 = 9 corresponde a equa¸c˜ao ρ = 3. (ii) O parabol´oide z = x^2 + y^2 correspondea equa¸c˜ao z = ρ^2. (iii) O hiperbol´oide de duas folhas z^2 − 1 = x^2 + y^2 corresponde a equa¸c˜ao z^2 − 1 = ρ^2. (iv) O hiperbol´oide de uma folha z^2 + 1 = x^2 + y^2 correspondea equa¸c˜ao z^2 + 1 = ρ^2. (v) Para b > 0, o cone x^2 + y^2 = b z^2 corresponde a equa¸c˜ao ρ^2 = b z^2. (vi) A esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 correspondea equa¸c˜ao ρ^2 + z^2 = 4. (vii) O plano z = constante permanece com a mesma equa¸c˜ao mas planos da forma z = a x + b y corresponde a z = a ρ cos θ + b ρ sen θ, mais complexa. (viii) Uma fun¸c˜ao w = f (x, y, z) da forma w = g(x^2 + y^2 , z), em coordenadas cil´ındricas se transforma em w = g(ρ^2 , z) que depende apenas de duas vari´aveis. Por exemplo: w =
x^2 + y^2 + z se transforma em w = ρ + z. De modo geral um termo da forma x^2 +y^2 presente na defini¸c˜ao de uma superf´ıcie ou uma fun¸c˜ao se torna mais simples em coordenadas cil´ındricas.
2010 Mathematics Subject Classification. Primary. Key words and phrases. integral dupla, integral tripla. 1
2 EDSON VARGAS
A matriz Jacobiana da mudan¸ca de vari´avel Φ (coordenadas cil´ındricas) ´e:
cos θ sen θ 0 −ρ sen θ ρ cos θ 0 0 0 1
e o seu determinante ´e:
∂(x, y, z) ∂(ρ, θ, z)
= ρ. Isto implica que o elemento de volume, em
coordenadas cil´ındricas, expressa-se como ρ dρ dθ dz.
Veja abaixo exemplos sobre a descri¸c˜ao de um s´olido em coordenadas cil´ındricas:
Exemplo 1. Seja S o s´olido dado pelas desigualdades z^2 ≥ 2 x^2 + 2 y^2 e x^2 + y^2 + z^2 ≤ 9. Observe que S ´e o s´olido interno a um cone e interno a uma esfera e ´e a uni˜ao de duas partes, uma parte S+^ contida no semi-espa¸co z ≥ 0 e outra S−^ no semi-espa¸co z ≤ 0. As desigualdades que determinam S, em coordenadas cil´ındricas, se transformam em z^2 ≥ 2 ρ^2 e ρ^2 + z^2 ≤ 9, respectivamente. Dessa forma, S+^ se transforma em S ρθz+ e S−^ se transforma em S− ρθz e podem ser descritos pelas desigualdades abaixo:
(1.2) S ρθz+ :
2 ρ ≤ z ≤
9 − ρ^2 0 ≤ ρ ≤
0 ≤ θ ≤ 2 π
e
(1.3) S ρθz− :
9 − ρ^2 ≤ z ≤ −
2 ρ 0 ≤ ρ ≤
0 ≤ θ ≤ 2 π Compare a descri¸c˜ao de S em coordenadas cil´ındricas acima e sua descri¸c˜ao em coordenadas esf´ericas na Se¸c˜ao 3.
Exemplo 2. Seja S o s´olido dado pelas desigualdades x^2 + y^2 + z^2 ≤ 4 e z^2 + 1 ≤ x^2 + y^2. Essas desigualdades, em coordenadas cil´ındricas, se transformam em ρ^2 + z^2 ≤ 4 e z^2 + 1 ≤ ρ^2 , respectivamente. Dessa forma podemos descrever o s´olido pelas desigualdades abaixo:
(1.4) Sρθz :
1 + z^2 ≤ ρ ≤
4 − z^2 −
3 2 ≤^ z^ ≤
3 2 0 ≤ θ ≤ 2 π
- Integrais em coordenadas cil´ındricas Se w = f (x, y, z) ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua em um aberto que cont´em o s´olido S, ent˜ao vale a seguinte igualdade:
∫ ∫ ∫
S
f (x, y, z) dx dy dz =
Sρθz
f (ρ cos θ, ρ sen θ, z) ρ dρ dθ dz,
sempre que essas duas integrais existirem.
4 EDSON VARGAS
0 s˜ao simples, correspondem a a cos θ = b sen θ que possui duas solu¸c˜oes, θ 0 e θ 0 + π. (v) Uma fun¸c˜ao w = f (x, y, z) da forma w = g(x^2 + y^2 + z^2 ), em coordenadas esf´ericas se transforma em w = g(ρ^2 ) que depende apenas de da vari´avel ρ. Por exemplo: w =
1 + x^2 + y^2 + z^2 se transforma em w =
1 + ρ^2. De modo geral um termo da forma x^2 + y^2 + z^2 presente na defini¸c˜ao de uma superf´ıcie ou uma fun¸c˜ao se torna mais simples em coordenadas esf´ericas. Mas ´e bem comum que situa¸c˜oes envolvendo cil´ındros e esferas sejam mais simples quando vistas em coorcenadas cil´ındricas ao inv´es de esf´ericas, Veja o Exemplo 3 abaixo. A matriz Jacobiana da mudan¸ca de vari´avel E (coordenadas esf´ericas) ´e:
cos θ sen ϕ sen θ sen ϕ cos ϕ −ρ sen θ sen ϕ ρ cos θ sen ϕ 0 ρ cos θ cos ϕ ρ sen θ cos ϕ −ρ sen ϕ
e o seu determinante ´e: ∂(x, y, z) ∂(ρ, θ, z)
= −ρ^2 sen ϕ. Isto implica que o elemento de
volume, em coordenadas esf´ericas, expressa-se como ρ^2 sen ϕ dρ dθ dϕ.
Veja abaixo exemplos sobre a descri¸c˜ao de um s´olido em coordenadas esf´ericas:
Exemplo 3. Seja S o s´olido dado pelas desigualdades z^2 ≥ 2 x^2 + 2 y^2 e x^2 + y^2 + z^2 ≤ 9. Lembre-se que S j´a foi analisado em coordenadas cil´ındricas no Exemplo 1 e possui uma parte S+^ contida no semi-espa¸co z ≥ 0 e outra S−^ no semi-espa¸co z ≤ 0. As desigualdades que determinam S, em coordenadas esf´ericas, se transformam em cos^2 ϕ ≥ 2 sen 2 ϕ e ρ ≤ 3, respectivamente.
√Extraindo a raiz quadrada na equa¸c˜ao cos^2 ϕ^ =^ 2 sen^2 ϕ^ obtemos cos^ ϕ^ = 2 sen ϕ que possui uma solu¸c˜ao ϕ 0 ∈ (0, π/2) e cos ϕ = −
2 sen ϕ que pos- sui a solu¸c˜ao π − ϕ 0. Ent˜ao a desigualdade cos^2 ϕ ≥ 2 sen 2 ϕ se transforma em 0 ≤ ϕ ≤ ϕ 0 (que corresponde a parte do cone no semi-plano z ≥ 0) ou π − ϕ 0 ≤ ϕ ≤ π (que correspondea parte do cone no semi-plano z ≤ 0). Dessa forma, S+^ se transforma em S+ ρθϕ e S−^ se transforma em S ρθϕ− e podem ser descritos pelas desigualdades abaixo:
(3.2) S ρθϕ+ :
0 ≤ ρ ≤ 3 0 ≤ ϕ ≤ ϕ 0 0 ≤ θ ≤ 2 π
e
(3.3) S ρθϕ− :
0 ≤ ρ ≤ 3 π − ϕ 0 ≤ ϕ ≤ π 0 ≤ θ ≤ 2 π
Compare a descri¸c˜ao de S em coordenadas esf´ericas acima e sua descri¸c˜ao em coordenadas cil´ındricas na Se¸c˜ao 1. Parece claro que nesse caso a descri¸c˜ao em coordenadas esf´ericas ´e bem mais simples.
Problema. Descreva o s´olido do Exemplo 2 em coordenadas esf´ericas e compare com a descri¸c˜ao em coordenadas cil´ındricas que obtivemos antes.
COORDENADAS CIL´INDRICAS E ESFERICAS´ 5
- Integrais em coordenadas esf´ericas Se w = f (x, y, z) ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua em um aberto que cont´em o s´olido S, ent˜ao vale a seguinte igualdade:
∫ ∫ ∫
S
f (x, y, z) dx dy dz =
Sρθϕ
f (ρ cos θ sen ϕ, ρ sen θ sen ϕ, ρ cos ϕ) ρ^2 sen ϕ dρ dθ dϕ,
sempre que essas duas integrais existirem.
Como exemplo vamos calcular a integral
S
x^2 dx dy dz, onde S ´e o s´olido do
Exemplo 1 acima. J´a fizemos esse c´alculo nas coordenadas cil´ındricas em (1.1) e agora vamos fazˆe-lo nas coordenadas esf´ericas em (3.1). A integral ´e a soma das integrais abaixo: ∫ ∫ ∫
S+ ρθϕ
ρ^4 cos^2 θ sen 3 ϕ dρ dθ dϕ +
S ρθϕ−
ρ^4 cos^2 θ sen 3 ϕ dρ dθ dϕ.
Aplicando o Teorema de Fubini resulta em ∫ (^2) π
0
∫ (^) ϕ 0
0
0
ρ^4 cos^2 θ sen 3 ϕ dρ dϕ dθ +
∫ (^2) π
0
∫ (^) π
π−ϕ 0
0
ρ^4 cos^2 θ sen 3 ϕ dρ dϕ dθ =
∫ (^2) π
0
∫ (^) ϕ 0
0
cos^2 θ sen 3 ϕ dϕ dθ +
∫ (^2) π
0
∫ (^) π
π−ϕ 0
cos^2 θ sen 3 ϕ dϕ dθ =
[∫
2 π
0
cos^2 θ
cos^3 ϕ 3
− cos ϕ
)ϕ 0
0
dθ +
∫ (^2) π
0
cos^2 θ
cos^3 ϕ 3
− cos ϕ
)π
π−ϕ 0
dθ
]
cos^3 ϕ 0 3
− cos ϕ 0 +
) ∫ (^2) π
0
cos^2 θ dθ = 2
cos^3 ϕ 0 3
− cos ϕ 0 +
π
Para chegar a um resultado final observamos que ϕ 0 satisfaz a equa¸c˜ao cos^2 ϕ 0 =
2sen 2 ϕ 0 que implica que 1 = 3 sen 2 ϕ 0 e portanto sen ϕ 0 =
e cos ϕ 0 =
Assim sendo cos^3 ϕ 0 3
− cos ϕ 0 =
e o valor da integral ´e:
cos^3 ϕ 0 3
− cos ϕ 0 +
π =
π,
que ´e o mesmo valor que obtemos antes usando coordenadas cil´ındricas.
Observa¸c˜ao. Podemos definir coordenadas cil´ındricas em rala¸c˜ao ao eixo Ox ou o eixo Oy ao inv´es do o eixo Oz como fizemos em (1.1). Nas Coordenadas Esf´ericas (3.1) medimos o ˆangulo ϕ `a partir do semi-eixo Oz positivo mas dependendo da situa¸c˜ao podemos medir esse ˆangulo a partir dos semi- eixos Ox ou Oy positivos.
