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Coordenadas Polares
O sistema de coordenadas polares é um outro recurso que podemos utilizar para localizar pontos no plano e conseqüentemente, representar lugares geométricos através de equações, o que é de grande utilidade em várias áreas da Matemática, como por exemplo, no cálculo de áreas limitadas por duas ou mais curvas planas, áreas de superfícies, etc. Este fato você terá oportunidade de comprovar quando cursar as disciplinas de Cálculo II-A e Cálculo IV. Este sistema é geralmente utilizado quando a equação cartesiana de um lugar geométrico apresenta dificuldades operacionais na sua utilização, devido, por exemplo, ao grau elevado de suas variáveis. Na maioria das vezes a equação deste lugar geométrico em coordenadas polares é simples e de fácil manipulação.
O Sistema Polar
O sistema polar é constituído de um eixo e um ponto fixo sobre este. O eixo chamamos de eixo polar e o ponto fixo de pólo. A todo ponto P do plano associamos um par de elementos: o primeiro é a distância do ponto P ao polo e o segundo é o ângulo formado pelo eixo polar e a semi-reta de origem O e que passa por P (figura1).
Marcamos este ângulo como fazemos em trigonometria, ou seja, no sentido anti- horário o ângulo é positivo, caso contrário, o ângulo é negativo. Observemos o plano polar da figura 2.
Ao pólo podemos associar o par de coordenadas (0, θ ), onde θ representa qualquer
ângulo. O ponto A podemos também associar as coordenadas (2, 2 θ ). Dê pelo menos mais
um par de coordenadas polares para os outros pontos que aparecem nesta figura. Costumamos também utilizar o sinal negativo anterior à primeira coordenada polar do ponto P, distância do ponto P ao polo, para significar que esta distância deve ser marcada na semi-reta oposta a semi-reta de origem O e que passa por P. Deste modo, ao ponto A podemos também associar o par de coordenadas (-2,). Dê um par de coordenadas polares para o ponto F da figura 2, com a primeira coordenada negativa. Costumamos chamar o par de coordenadas polares de um ponto P(r,), onde r>0 e é maior ou igual a zero e menor que 2, de conjunto principal do ponto P. Observemos que, por esta definição, o polo é o único ponto do plano polar que não possui um conjunto principal. O conjunto principal do ponto F na figura 2 é o par (3,/3). Podemos concluir então que cada par de coordenadas polares está associado a um único ponto do plano, mas um ponto do plano está associado a um conjunto infinito de pares de coordenadas polares. Vamos investigar se é possível obter uma expressão matemática que represente todas as coordenadas de um ponto P, com exceção do polo. Seja P( r,) o conjunto principal do ponto P. Considerando o sentido anti-horário, observemos a figura 3:
Que curva esta equação representa? E a equação r = -2 representa que curva? O ponto P(-2, 45o) pertence à curva de equação r = 2?
Podemos concluir que se um par de coordenadas polares de um ponto P não satisfaz a uma equação polar, não podemos garantir a não existência de um outro par de coordenadas polares deste mesmo ponto que satisfaça a esta equação. Em outras palavras, o fato que um par de coordenadas polares de um ponto P não satisfaz a uma equação polar de uma curva, não garante que este ponto não pertença à esta curva.
Esboce a curva de equação = 45o.
Definição: Dizemos que duas ou mais equações são equivalentes se elas representam o mesmo lugar geométrico.
As equações r = 2 , 2r = 4 e r = -2 são equações equivalentes, pois representam o círculo de centro no polo e raio 2. Observemos que a segunda equação pode ser obtida da primeira, bastando multiplicar ambos os membros por 2. No entanto, a terceira não pode ser obtida da primeira através das operações fundamentais. Mesmo assim, são equivalentes.
Teorema: Seja f(r,) = 0 uma equação polar de uma curva C. As equações polares da forma
são equivalentes a equação f(r,) = 0, ou seja representam também a curva C.
Definição: Um conjunto M de equações polares é chamado conjunto abrangente de uma curva C, se qualquer ponto de C, distinto do polo, com qualquer par de coordenadas polares, satisfaz a uma das equações de M. Por exemplo: M ={ r = -2 , r = 2 } é um conjunto abrangente do círculo de centro no polo e raio 2. Mas, N = { r = 2} não é um conjunto abrangente para este círculo, pois o ponto P(- 2, 45o) não satisfaz a uma equação de N.
O conjunto M = { x2 = 4 } é um conjunto abrangente do círculo descrito acima? Um conjunto abrangente de uma curva é uma ferramenta matemática de grande utilidade na verificação se um dado ponto P(r,), distinto do polo, pertence ou não à uma dada curva C. O Teorema dado a seguir estabelece um processo de determinação de um conjunto abrangente de uma curva C.
Teorema: Seja F(r,) = 0 uma equação de uma curva C. O conjunto
é um conjunto abrangente de C.
Sistema de transformação de coordenadas polares e cartesianas
Uma das maneiras de se relacionar os sistemas de coordenadas polares e cartesianas é considerando o eixo polar coincidindo com o eixo OX e o polo coincidindo com a origem do sistema cartesiano. Seja um ponto P de coordenadas cartesianas (x,y) e coordenadas polares (r, ). A figura a seguir nos ajuda a estabelecer as relações:
Solução:
C: y = 2x + 1 r sen = 2 r cos + 1. Daí, r (sen - 2 cos) = 1. Ou ainda, sen - 2 cos = 1/r
Simetrias
O fato de sabermos se uma dada curva é, ou não, simétrica em relação a um ponto(ou a um eixo) é, sem sombra de dúvidas, muito útil no esboço dessa curva.
Estudaremos nesta seção as simetria em relação: ao polo, ao eixo polar e ao eixo que possui equação, = 90o. Este último eixo é também conhecido por eixo à 90o. Seja P(r, ) um ponto do plano polar e P' o seu simétrico em relação ao polo. Observe a figura a seguir, ela nos ajuda a obter um par de coordenadas polares de P'.
De modo análogo, a figura a seguir nos fornece um par de coordenadas polares dos pontos A e B, simétricos de P em relação ao eixo polar e ao eixo à 90o, respectivamente.
Exemplo 2 - Determine as coordenadas polares dos pontos A, B e C simétricos de P (2,3/4) em relação ao polo, ao eixo polar e ao eixo à 90o, respectivamente.
Quando a simétrica de uma curva C em relação ao eixo s ( ou ao ponto O) coincide com ela própria, dizemos que a curva C é simétrica em relação a s ( ou em relação a O). No exemplo anterior, podemos concluir diretamente que C é simétrica em relação ao eixo à 90o. No entanto, mesmo que as equações dos itens a e b sejam diferentes da equação de C, temos que averiguar se estas são equações equivalentes à equação de C. Para isso, vamos determinar um conjunto abrangente de C.
O que podemos concluir?
Equação Polar da Reta
É bem comum defrontarmos com problemas de interseção de curvas em polar, onde uma delas é uma reta. Assim, embora a equação cartesiana de uma reta seja simples, necessitamos conhecer equações polares de retas. Para determinarmos uma equação polar de uma reta, consideraremos dois casos:
I - A reta passa pelo polo.
Neste caso, todos os pontos dessa reta satisfazem à equação = , assim esta é uma
equação polar dessa reta. Exemplos: r : = 3 /2 , s : = 0 , t : = 75. Verifique que o
conjunto abrangente de uma reta deste tipo é M = { = + n ; n }, que é infinito.
II - A reta não passa pelo polo
Consideremos uma reta s tal que a distância do polo à reta s é n. Seja N( n, ) o pé da perpendicular traçada à reta s que passa por O.
Se o ponto P(r, ) pertence à reta s e é distinto de N, podemos considerar o triângulo
ONP. Observemos que - é a medida de um dos ângulos deste triângulo. Assim, todos os
pontos P(r, ) que pertence à reta s, satisfaz a equação:
r cos( - ) = n.
É fácil verificar que o ponto N( n, ) também satisfaz esta equação, daí podemos concluir que esta equação é uma equação polar da reta s.
Exemplo: Considere o paralelogramo ABCD, onde A(0, 123 ), B(4, /3) e o ponto C é o
simétrico de B em relação ao eixo à 90. Determine um par de coordenadas polares do vértice D e as equações polares das retas suporte dos lados e das diagonais deste paralelogramo.
M = {(-1) r cos( ( + m ) - ) = n , m }.
Assim temos , (-1) r cos( ( - ) + m ) = n.
m par : r cos( - ) = n.
m ímpar : (-r) (- cos( - ) = n. Ou ainda, r cos( - ) = n.
Logo, M = { r cos( - ) = n } é um conjunto abrangente de s. Portanto, qualquer ponto de s, com qualquer par de coordenadas polares, tem que satisfazer a esta equação! O que é, sem sombra de dúvidas, muito útil, como veremos mais adiante.
II - Quando uma reta s não passa pelo polo, além de utilizarmos a equação r cos( - ) = n ,
costumamos desenvolver o cos( - ) , obtendo:
r [cos cos + sen sen ] = n cos (cos )/n + sen (sen )/n = 1/r
Fazendo, A = (cos )/n e B = (sen )/n obtemos uma outra forma da equação polar da reta
s : A cos + B sen = 1/r.
No exemplo anterior, a equação polar da reta DC tomaria a forma:
M = ( 2 3 , 5 /6 ),
A = (cos 5 /6) / 2 3 = (- 3 /2 ) / 2 3 = - 1/
B = (sen 5 /6) / 2 3 = ( 1/2 ) / 2 3 = 1 / 4 3 = ( 3) / 12
Daí, reta DC: ( -1/4) cos + ( 3 / 12)sen = 1/r.
Nós ainda podemos obter a equação da reta DC acima , utilizando a observação I. De fato, consideremos a reta DC: A cos + B sen = 1/r. Como sabemos que os pontos C(4, 2 /3) e D(4, ) satisfazem a equação da reta CD, podemos fazer as substituições abaixo:
A cos 2 /3 + B sen 2 /3 = 1/
A cos + B sen = 1/ Temos então o sistema:
Cuja solução é A = -1/4 e B = 3 / 12.
Exemplo: Determine uma equação polar reta t que passa pelo ponto P( 4, /2) e é
perpendicular à reta s: 3 cos - 4 sen = 25/r.
Solução: Como a reta s não passa pelo polo, temos:
A = 3/25 = (cos )/n
B = - 4/25 = (sen )/n
Daí, tg = - 4/25. 25/3 = - 4/3 , = arc tg - 4/3 , que podemos escolher no segundo quadrante.
Então: cos = - 3/5 e 3/25 = (- 3/5) /n. Daí, n = ( - 3/5)(25/3) = - 5 .Consequentemente,
Ns(-5, arc tg - 4/3 [2 quadrante] ) é o pé da perpendicular traçada do polo à reta s.
Observemos a figura anterior, como a reta t é perpendicular à reta s podemos
concluir que o quadrilátero ON QN é um retângulo.
Além disso, o ângulo de N é arc tg 3/4 , sen = 3/5 e cos = 4/5. Utilizando o fato do ponto P( 4, /2) pertence a t, temos: t : r cos( - ) = n. Assim, 4 cos ( /2 - ) = n 4 sen = n , daí, n = 4 .3/5 = 12/5. Logo, t : r cos( - arc tg 3/4(1 quadrante) ) = 12/5 , ou na outra forma:
A = (cos ) /n = 4/5. 5/12 = 1/
B = (sen ) /n = 3/5. 5/12 = 1/
t : 1/3 cos + 1/4 sen = 1/r.
Equação Polar do Círculo
A equação cartesiana de um círculo é bem simples, como a equação cartesiana da reta. Entretanto, não são raros os momentos que precisamos determinar soluções de
Para todo ponto P(r, ) deste círculo temos que d(P,C) = R , assim:
ou seja, R = r - 2 r r cos( - ) + r. Que é uma equação polar do círculo.
Exemplo: O segmento PQ é uma diagonal de um quadrado. Sabendo que P(4, /3) e Q(4,
5 /6) determine uma equação polar do círculo inscrito e do círculo circunscrito a este quadrado.
Solução: Sabemos que um quadrado é decomposto por uma de suas diagonais em dois triângulos retângulos isósceles e congruentes, cuja hipotenusa coincide com esta diagonal. Como o triângulo OPQ satisfaz estas condições, podemos concluir que o pólo é um vértice desse quadrado. Além disso, os centros dos círculos inscrito e circunscrito a um quadrado coincidem o ponto de interseção de suas diagonais e estas são congruentes e se cortam no ponto médio de ambas.
Então, por Pitágoras obtemos que d(P,Q) = 4 2, assim:
C( 2 2, /3 + /4) = (2 2, 7 /12).
Por outro lado, os raios dos círculos inscrito e circunscrito são 2 ( metade do lado) e
2 2 ( metade da diagonal), respectivamente. Daí,
Cinsc: r - 4 2 r cos( - 7 /12) + 8 = 4 , ou ainda, Cinsc: r - 4 2 r cos( - 7 /12) + 4 = 0
Ccirc: r - 4 2 r cos( - 7 /12) + 8 = 8 , ou ainda, Ccirc: r - 4 2 r cos( - 7 /12) = 0
Observações
I - Consideremos M um conjunto abrangente de um círculo C de equação
r - 2 r r cos( - ) + r = R. Então,
M = {[(-1) r] - 2 [(-1) r] r cos( [ + m ] - ) + r = R , m }.
Daí, [(-1) r] - 2 [(-1) r] r cos( [ - ] + m ) + r = R
m par : r - 2 r r cos( - ) + r = R
m ímpar: (- r ) - 2(- r )r (- cos( - )) + r = R ,
ou ainda, r - 2 r r cos( - ) + r = R
Logo, o conjunto M = {r - 2 r r cos( - ) + r = R } é unitário. Daí, um ponto qualquer do círculo, distinto do pólo, com qualquer par de coordenadas polares satisfaz a equação polar desse círculo, na forma anterior.
II - De modo análogo ao que fizemos para reta, desenvolvendo o cos( - ) temos :
r - 2 r r [cos cos + sen sen ] + r - R = 0
r + r ( - 2 r cos ) cos + r ( - 2 r sen ) sen + ( r - R ) = 0 Fazendo,
a = - 2 r cos
b = - 2 r sen
c = r - R obtemos uma outra forma para a equação polar de um círculo:
r + a r cos + b r sen + c = 0
No exemplo anterior, temos C = (2 2, 7 /12) e Rcric = 2 2 , então:
a = -2 2 2 cos 7 /12 = - 4 2 2/4 (1 - 3) = - 2 + 2 3
b = -2 2 2 sen 7 /12 = - 4 2 2/4 (1 + 3) = - 2 - 2 3
c = ( 2 2) - (2 2) = 0
Logo, Ccirc: r + (- 2 + 2 3) r cos + (- 2 - 2 3) r sen = 0. Poderíamos também utilizar a observação I. De fato, os pontos C, D e O pertencem ao
círculo circunscrito, logo satisfazem a equação r + a r cos + b r sen + c = 0 Ou seja,
O ( 0, 0) 0 + a 0 cos 0 + b 0 sen 0 + c = 0, daí, c = 0.
( Observemos que o contrário também é verdade, ou seja, quando c = r - R = 0 , temos r = R. E portanto o círculo passa pelo polo).
P(4, /3) 4 + a 4 cos /3 + b 4 sen /3 = 0 , ou seja, 16 + 4 a 1/2 + 4 b 3/2 = 0.
Daí, 8 + a + b 3 = 0.
Q(4, 5 /6) 4 + a 4 cos 5 /6 + b 4 sen 5 /6 = 0 , ou seja, 16 + 4 a ( - 3/2 ) + 2 b = 0.
Discussão e traçado de curvas
Um dos problemas estudados pela Geometria Analítica é: "Dado uma equação esboçar o lugar geométrico que ela representa". Resolver este problema, nem sempre é uma tarefa simples, muitas vezes requer recursos avançados do cálculo. Aqui, nos restringiremos a recursos matemáticos elementares, pois cálculo não é pré-requisito para MAT.002. Tudo começa com análise ou discussão de uma equação da curva e posteriormente compõe-se uma tabela de pontos que orientará o esboço do lugar geométrico. Vamos dividir a análise ou discussão da equação nas seguintes etapas:
I - Verificação se a curva passa pelo polo. II - Construção de um conjunto abrangente da curva. III - Interseções com eixos polar e à 90. IV - Estudo de simetrias. V - Análise da extensão da curva.
O exemplo dado a seguir pode ser utilizado como modelo para o esboço de uma curva qualquer.
Exemplo: Esboce a curva C de equação r = 2 + 2 cos.
Solução: Análise ou discussão da equação:
I - Verificação se a curva passa pelo polo.
Aqui, basicamente procuramos a resposta para a pergunta: " Existe para o qual r = 0? "
No nosso exemplo, temos: 0 = 2 + 2 cos , daí cos = -1. E pode ser.
Assim, o polo satisfaz a essa equação com o par de coordenadas O( 0 , ). Portanto, a curva C passa pelo polo.
II - Construção de um conjunto abrangente da curva.
( -1) r = 2 + 2 cos( + n ) , n
n par r = 2 + 2 cos
n ímpar -r = 2 + 2( - cos ), ou seja, r = - 2 + 2 cos
M = { r = 2 + 2 cos , r = -2 + 2 cos }
III - Interseção com os eixos:
a) Eixo polar: todo ponto P do eixo polar possui um par de coordenadas ( r, 0). Aqui, vamos verificar que pontos com esta característica satisfazem às equações do conjunto M, ou seja,
r = 2 + 2 cos r = 2 + 2 cos 0 = 4 , P ( 4 , 0).
r = -2 + 2 cos r = - 2 + 2 cos 0 = 0 , O (0 , 0).
b) Eixo à 90 : todo ponto P do eixo à 90 possui um par de coordenadas ( r, /2). De modo análogo ao item anterior, vamos verificar que pontos com esta característica satisfazem às equações do conjunto M, ou seja,
r = 2 + 2 cos r = 2 + 2 cos /2 = 2 , P ( 2 , /2).
r = -2 + 2 cos r = - 2 + 2 cos /2 = 0 , P (- 2 , /2).
Observemos que com apenas estes quatro pontos fica difícil imaginarmos o traçado da curva C.
IV - Estudo de simetrias.
Simetria em relação: a) Ao eixo polar: Seja G a curva simétrica de C em relação ao eixo polar:
G : r = 2 + 2 cos( - ) r = 2 + 2 cos Daí, G coincide com C e portanto a curva C é simétrica em relação ao eixo polar.
Este fato nos sinaliza que, para a construção do esboço dessa curva é suficiente fazermos
variar de 0 até e utilizarmos esta simetria para obtermos os outros pontos necessários.
b) Ao eixo à 90 : Seja G' a curva simétrica de C em relação ao eixo à 90 :
G' : - r = 2 + 2 cos( - )
G' : - r = 2 + 2 cos r = - 2 - 2 cos Como esta equação não pertence ao conjunto M, G' não coincide com C e portanto a curva
C não é simétrica em relação ao eixo à 90 c) Ao polo: Seja G'' a curva simétrica de C em relação ao polo:
G'' : - r = 2 + 2 cos r = - 2 - 2 cos Como esta equação não pertence ao conjunto M, G'' não coincide com C e portanto a curva C não é simétrica em relação ao polo.
V - Análise da extensão da curva.
Este item tem como um dos objetivos determinar se existe, ou não, um círculo de raio R, tal que todos os pontos da curva são pontos interiores a este círculo. Ora, como r
