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Coordenadas Polares
Existem vários sistemas de coordenadas que mostram a posição de um ponto em um plano. O sistema de coordenadas polares é um deles. No sistema cartesiano, as coordenadas são números chamados de abscissa e ordenada, que são medidas das distâncias orientadas a dois eixos fixos. No sistema polar, as coordenadas consistem de uma distância e da medida de um ângulo em relação a um ponto fixo e a uma semirreta fixa.
O ponto P fica bem determinado através do par ordenado (r, ), em que |r| representa a distância entre a origem e o ponto P e representa a medida, em radianos, do ângulo orientado AÔP. Quando AÔP for descrito no sentido anti-horário, > 0, caso contrário, <
Exemplos : Representar em um sistema de coordenadas polares, os seguintes pontos:
a) 2, 4
P
b) 2, 4
P
^
c) 4, 3
P
d) 4, 3
P
O ponto P pode ter um número ilimitado de pares de coordenadas polares, pois podemos representar esse ponto da forma: (P, +2 k ), k Z
Relação entre o sistema de coordenadas cartesianas retangulares e o sistema de
coordenadas polares
Para nos referirmos às coordenadas cartesianas e polares de um ponto P, fazemos a origem do primeiro sistema coincidir com o polo do segundo sistema, o eixo polar com o eixo positivo dos x e o raio para o qual = /2 com o eixo positivo dos y.
A^ x
y
Supondo que P seja um ponto com coordenadas cartesianas ( x , y ) e coordenadas polares (r, ), distinguimos dois casos:
r > 0 r < 0
Portanto:
r > 0:cos x r
e y sen r
r < 0:cos x r
e y sen r
Desta forma, temos:
Utilizando estas equações, podemos deduzir uma relação muito usada: x^2 = r^2 cos^2 y^2 = r^2 cos^2 x^2 + y^2 = r^2 (cos^2 + sen^2 ) r^2 = x^2 + y^2 r x^2^ y^2
Portanto,
Exemplos: a) Encontrar as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas polares são 7 4, 6
b) Encontrar (r, ) supondo r < 0 e 0 2 para o ponto P, cujas coordenadas
cartesianas são 3, 1
x = r cos y = r sen
Circunferências
a) r = c , c : circunferência centrada no polo e raio | c |
b) r = 2 a cos: circunferência de centro no eixo polar, tangente ao eixo = /2:
se a > 0, o gráfico está a direita do polo; se a < 0, o gráfico está a esquerda do polo.
[r = 2a cos a>0] [r = 2a cos a<0]
c) r = 2 b sen: circunferência de centro no eixo /2 e que tangencia o eixo polar.
se b > 0, o gráfico está acima do polo; se b < 0, o gráfico está abaixo do polo.
Exemplo: Esboce a curva com equação polar r = 2 cos
Limaçons : São equações do tipo: r = a b cos ou r = a b sen , a , b
Se b > a , o gráfico tem um laço.
Se a = b , então o gráfico é conhecido como cardeoide.
Se b < a , o gráfico não tem um laço
Exemplo: Esboce a curva r = 1+2 cos
Espirais Espirais hiperbólicas (a > 0)
r = a (>0) r = a (<0)
Espirais parabólicas
Espiral de Arquimedes (a > 0)
Espiral de logarítmica
Comprimento de arco de uma curva dada em coordenadas polares
Seja C uma curva dada pela equação polar r = f (). Utilizando as equações
x = r cos y = r sen
temos que
x = f () cos y = f () sen
que podem ser consideradas equações paramétricas da curva C, para [ 0 , 1 ]. Derivando
essas equações, temos:
`( ) cos ( )sen
dx
f f
d
`( )sen ( ) cos
dy
f f
d
Elevando ambos os lados das equações ao quadrado e somando, temos:
2 2
dx dy ( f ( ) cos f ( )sen ) 2 ( f( )sen f ( ) cos ) 2
d d
^ ^ ^ ^
2 2 2 2 2 2 2 2
( ) cos 2( ) ( ) cos sen ( ) sen ( ) sen 2( ) ( ) sen cos ( ) cos
f f f f f f f f
f `( ) 2 cos 2 sen 2 ^ f ( ) 2 cos 2 sen^2
f `( ) 2 f ( )^2
Substituindo este resultado na fórmula do comprimento de arco de uma curva dado
por suas equações paramétricas, temos que o comprimento de arco de uma curva dado em
coordenadas polares é dado por:
𝒔 = 𝒇′(𝜽)𝟐^ + 𝒇(𝜽)𝟐^ 𝒅𝜽
𝜽𝟏
𝜽𝟎
Área de figuras planas em coordenadas polares
Seja f uma função contínua e não negativa no intervalo fechado [α,β]. Seja R a região
limitada pela curva cuja equação é r = f () e pelas retas = α e = β
Considere uma partição P de [α,β] definida por:
α = 0 < 1 < 2 < ... < i-1 < i < ... < n = β
Para cada [i-1, i], i = 1, ..., n, consideramos um setor circular de raio f (ρi), e um
ângulo central i, em que i-1 < ρi < i e i = i - i-
Desta forma, a área do i-ésimo setor circular é dada por:
f i i
Como há um desses setores circulares para cada um dos n subintervalos, temos uma
área aproximada igual a An, sendo:
2 2 1 1
n n n i i i i i i
A f f
(^) (^)
A medida em que n cresce, cada i, i = 1, ..., n, torna-se pequeno e An aproxima-se
da área da região delimitada por = α, = β e r = f ().
Portanto
2 1
lim ( ) 2
n n i^ i i
A f
(^) (^)
Pela definição de integral temos que:
Exemplos:
a) Encontre a área da região delimitada pela cardioide r = 2+2 cos.
b) Encontre a área da região R interior à cardioide r = 2+2 cos() e exterior ao círculo r =
