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Criptografia e Segurança Informática: Notas do Prof. Ricardo Staciarini Puttini, Notas de estudo de Física

Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ)Física

Documento contendo notas e explicações sobre criptografia e segurança informática, incluindo algoritmos de cifração simétrica e assimétrica, hash functions, e teorias básicas de números. O documento aborda conceitos como redundância da linguagem, autenticação de origem, criptoanálise, cifração de césar, des, rijndael, hash functions md2 e md5, hmac, e teorema de euler.

Tipologia: Notas de estudo

Antes de 2010

Compartilhado em 26/09/2010

marilton-rafael-1 🇧🇷

4.5

(6)

140 documentos

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Criptografia

Prof. Ricardo S. Puttini, MSc

Departamento de Engenharia Elétrica

Universidade de Brasília

mai-04 Criptografia

Prof. Ricardo Staciarini Puttini

Conteúdo

•Princípios de Teoria da Informação

•Introdução aos Sistemas Criptográficos

•Criptografia Simétrica

•Criptografia Assimétrica

•Funções de Condensação (Hash Functions)

•Infra-estrutura de Chaves Públicas (ICP)

Descubra Notas de estudo de Física Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ)

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criptografia

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Criptografia

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Criptografia

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Criptografia

Prof. Ricardo S. Puttini, MSc

Departamento de Engenharia Elétrica Universidade de Brasília

mai-04 Criptografia Prof. Ricardo Staciarini Puttini

Conteúdo

Princípios de Teoria da Informação
Introdução aos Sistemas Criptográficos
Criptografia Simétrica
Criptografia Assimétrica
Funções de Condensação (Hash Functions)
Infra-estrutura de Chaves Públicas (ICP)

mai-04 Criptografia Prof. Ricardo Staciarini Puttini

Princípios de Teoria da Informação

O problema da codificação consiste na busca de

formas eficientes de representação da informação:

Economia de símbolo utilizados (compressão);
Proteção contra erros (detecção/correção de erros);
Serviços de segurança da informação (criptografia).
Teoria da Informação: construção de modelos

matemáticos para linguagem.

Linguagem: conjunto de características da

informação que se deseja codificar.

mai-04 Criptografia Prof. Ricardo Staciarini Puttini

Quantidade de Informação

Teoria de Shannon (1948): modelo probabilístico para a

linguagem.

Quantidade de Informação

I(E) = - log 2 p (E)

A base 2 do logaritmo permite que a quantidade de

informação seja medida em bits

Exemplos:
- E1 = “o sol nascerá amanhã”; p (E1) = 1 → I(E1) = 0
- E2 = “ao lançar-se a moeda, obteve-se cara”; p (E2) = 0,5 → I(E2) = 1 (bit)

mai-04 Criptografia Prof. Ricardo Staciarini Puttini

Entropia

Entropia conjunta de um vetor X = [A,B], onde A e B são v.a. assumindo um número finito de valores:
Note que:

H X H AB p A ai B bj p A ai B bj

( ) ( , ) ( , )log 2 ( , )

H ( A , B )≤ H ( A )+ H ( B )

mai-04 Criptografia Prof. Ricardo Staciarini Puttini

Entropia

Dado duas v.a. X e Y, a incerteza acerca de X, dado que uma ocorrência particular de Y é conhecida pode ser expressa como:
Define-se entropia condicional, H(X/Y), ou equivocação de X dado Y por:
Assim, a entropia condicional representa a incerteza em relação a uma ocorrência de X, quando uma ocorrência de Y é conhecida.

H ( X / Y y ) p ( X Xi , Y y )log 2 p ( X Xi , Y y )

H ( X / Y ) H ( X / Y yj ) p ( Y yj )

mai-04 Criptografia Prof. Ricardo Staciarini Puttini

Propriedades da Entropia

( ) log ( ) log 2 ( ) 1

H X p 2 p n

= −∑ i i ≤

H Y X H X Y H X

H X Y H X Y H Y

III) Se X e Y são v.a. independentes:

H X Y H X H Y

H Y X H Y

H X Y H X

II)

mai-04 Criptografia Prof. Ricardo Staciarini Puttini

Informação Mútua

É a quantidade de informação que a ocorrência de um evento Y = y

fornece a respeito da ocorrência de um evento X = x:

O valor esperado de I(x,y) é definido como a informação mútua entre

X e Y:

Note que:

log ( ) [ log ( / )]

2 pX x 2 pX x Y y

I xy Ix Ix y

I X Y p X xi Y yj I xi yj ,

I ( X , Y )= H ( X )+ H ( Y )− H ( X , Y )

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Distribuição de Probabilidades de 1-gramas em

Português

mai-04 Criptografia Prof. Ricardo Staciarini Puttini

Distribuição de Probabilidades de 2-gramas em Português (1/2)

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Distribuição de Probabilidades de 2-gramas em Português (2/2)

mai-04 Criptografia Prof. Ricardo Staciarini Puttini

Probabilidades de Transição para o Português, em % (1/2)

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Entropia do Inglês (Shannon)

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Dada uma fonte sobre um alfabeto Zm e entropia

H , pode-se codificar textos produzidos por essa

fonte em um código compacto, onde um n-grama

típico pode ser codificado com λ(n) letras de Zm.

λ(n) é o comprimento médio dos códigos

necessário para representar um n-grama.

Entropia e Redundância de Fontes de Texto

nH n log 2

λ ( )=

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Define-se redundância de uma fonte como a diferença

entre o número de símbolos utilizados em um n-grama, obviamente n, e o número médio mínimo de símbolos λ(n) que poderiam ser utilizados por uma codificação mais apropriada:

Estima-se normalmente que a redundância da língua

inglesa seja de, aproximadamente, 40%.

Shannon mostrou que, considerando-se efeitos mais

amplos, a entropia do inglês se reduziria a 1bit por letra, o que equivale a uma redundância de cerca de 75%.

Entropia e Redundância de Fontes de Texto

H R log 2

= 1 −

mai-04 Criptografia Prof. Ricardo Staciarini Puttini

Introdução aos Sistemas Criptográficos

Criptologia: estudo dos processos criptográficos.
Formada por duas disciplina:
- Criptografia: como projetar e construir de sistemas criptográficos
- Criptoanálise: como “quebrar” sistemas criptográficos.

mai-04 Criptografia Prof. Ricardo Staciarini Puttini

Modelo Estatístico de um Sistema Criptográfico

Uma mensagem (M) é um n-grama de um

alfabeto A

O processo de cifração de m gera um

criptograma (C), designado por c = E(M)

Claramente, deve haver D(C) = D (E(M)) = m
O processo de cifração pode ser visto como um

conjunto de transformações E ={En,1≤n<∞},

E n: Z mn^ → Z mn

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Modelo Estatístico de um Sistema Criptográfico

Sistemas Criptográficos
- Família de transformações criptográficas E ={EK,K∈ K }, onde cada transformação é indexada por um parâmetro k, denominado chave criptográfica.
- Composto de uma tripla ( M , K , C )
  - M : espaço das mensagens
  - K : espaço das chaves
  - C : espaço dos criptogramas

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Modelo Estatístico de um Sistema Criptográfico

M 1

M 2

M 3

C 1

C 2

C 3

EKn

cifração

decifração

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Criptoanálise
- Supõe-se sempre que o criptoanalista conhece
  - Algoritmo;
  - Linguagem do texto em claro;
  - Contexto das mensagens (algumas mensagens são conhecidas).
- Ataques contra algoritmos criptográficos
  - Ataque com mensagem conhecida;
  - Ataque com mensagem escolhida;
  - Ataque com criptograma escolhido;
  - Ataque ao criptograma apenas.
- Segurança do algoritmo criptográfico:
  - No mínimo, deve suportar ataques com mensagens conhecidas.
  - Em geral, deve suportar ataques com mensagens/criptograma escolhido.

Modelo Estatístico de um Sistema Criptográfico

mai-04 Criptografia Prof. Ricardo Staciarini Puttini

Modelo Estatístico de um Sistema Criptográfico

Dado um modelo estatístico para a linguagem que

será a fonte de mensagens, as distribuições de

probabilidade P(M) e P(K) permitem obter:

∑

= ,; ( )

( ) ( ) ( ) M KCEKM

PC PMP K

∑

= ; ( )

( , ) ( ) ( ) K CEKM

PMC PMP K

∑

= ; ( )

( , ) ( ) ( ) M CEKM

PKC PMP K

P ( M , K )= P ( M ) P ( K )

( )

( , ) ( / ) PC

PMC P M C =

( )

( , ) ( / ) PC

PKC P K C =

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Modelo Estatístico de um Sistema Criptográfico

Função de Decisão: função que faça δ(C) = M, se

C = EK(M).

Esta função deverá maximizar p(M/C)

mai-04 Criptografia Prof. Ricardo Staciarini Puttini

Modelo Estatístico de um Sistema Criptográfico

Ex1 - Cifra de César:

K=7, m = 27 M = TROPAS C = _YVWHZ

mai-04 Criptografia Prof. Ricardo Staciarini Puttini

Modelo Estatístico de um Sistema Criptográfico

Obs1: o processo não destrói as estatísticas de

n-gramas da linguagem do texto claro.

Obs2: o espaço de chaves é pequeno, tornando um

ataque por força bruta possível.

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Segredo Perfeito

Uma condição necessária a um sistema

criptográfico para ter segredo perfeito é que o

espaço de chaves seja pelo menos tão grande

quanto o espaço de mensagens

Um sistema com | K |=| M |=| C | tem segredo perfeito sss toda chave é usada com igual probabilidade, e para todo Mi∈ M e todo Cj∈ C existe um único K∈ K , tal que EK(Mi)= Cj
Ex: one-time pad

mai-04 Criptografia Prof. Ricardo Staciarini Puttini

Teorema da Equivocação da Chave

H(M,C,K) = H(C) + H(K|C) + H(M|C,K)
H(M,C,K) = H(K) + H(M|K) + H(C|M,K)

Mas, H(M|C,K) = H(C|M,K) = 0 e H(M|K) = H(M)

Assim:

H(K|C)=H(K)+H(M)-H(C)

Se H(K|C) = 0 => código quebrado.
Se H(K|C) > 0 => duas ou mais chaves podem ter sido utilizadas para produzir o criptograma.
As possíveis chaves extras são chamadas de espúrias.

mai-04 Criptografia Prof. Ricardo Staciarini Puttini

Chaves espúrias

Seja KC o conjunto de chaves para o qual existem

textos em claro que fazem sentido para a cifração C=EK(M)

O número esperado de chaves espúrias é:

s=∑C∈ C p(C)| KC |-

H(K|C)= ∑C∈ C p(C)H(K|C)
H(K|C)≤log 2 | KC |
Usando a desigualdade de Jensen temos
H(K|C)≤log 2 (s+1)

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Distância de Unicidade

A recuperação da mensagem a partir de um dado criptograma é deve ser função da quantidade de criptograma disponível para análise.
Para uma mensagem Mn de tamanho n (n-grama), e um criptograma Cn de tamanho n, tem-se: - H(K|Cn) = H(K) + H(Mn) - H(Cn); - H(M)≈nHL=n(1-RL)log 2 m, onde RL é a redundância da linguagem e HL é a entropia da linguagem (Hport≈2,209 bits/letra); - H(K) = log 2 |K| (chaves são identicamente distribuídas); - H(C)≤nlog 2 m;
Assim:
- H(K|C) ≥ H(K) - nRLlog 2 m = log 2 |K| - nRLlog 2 m
- s ≥ |K|/[m^(nRL)]-