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Divisibilidade Defini¸c˜ao - Dados dois n´umeros naturais a e b, com a 6 = 0, dizemos que a divide b, escrevendo a | b, quando existir um c ∈ N tal que b = a· c. Neste caso, diremos tamb´em que a ´e um divisor ou um fator de b ou, ainda que b ´e m´ultiplo de a. Observe que a nota¸c˜ao a | b n˜ao representa nenhuma opera¸c˜ao em N, nem representa uma fra¸c˜ao. Trata-se de uma senten¸ca que diz ser verdade que existe um c tal que b = ac. Quando n˜ao existe nenhum n´umero natural c tal que b = a· c, representamos a - c Exemplo 0. 3 | 0, 4 | 0, 1 | 6, 3 | 6, 3 - 4, 2 - 3. Suponha que a | b e seja c ∈ N tal que b = a· c. O n´umero natural c ´e chamado de quociente ´e denotado por c = ba. Por Exemplo:^03 = 0,^04 = 0,^01 = 0,^61 = 6,^63 = 2,^55 = 1. E interessante notar a semelhan¸´ ca entre a entre as defini¸c˜oes da rela¸c˜ao de divisibilidade e da rela¸c˜ao de ordem em N : a 6 b ⇐⇒ ∃ c ∈ N; b = a + c; a | b ⇐⇒ ∃ c ∈ N; b = a· c A divisibilidade ´e, portanto, a contrapartida multiplicativa em N da rela¸c˜ao de ordem (no entanto, observe que n˜ao vale a tricotomia para a rela¸c˜ao de divisibilidade). Proposi¸c˜ao 0.1 Sejam a,b, ∈ N. Tem-se que i) 1 | c, a | a e a | 0. ii) se a | b e b | c, ent˜ao a | c. Demonstrac¸˜ao: (i) isto decorre das igualdades c = 1· c, a = a· 1 , e a· 0 = 0. Como a | b e b | c isto implica (def. de divisibilidade) que ∃ f e g ∈ N, tais que b = a· f - (I) e c = b· g - (II). Substituindo o valor de b da express˜ao (I) na express˜ao (II), segue que:
c = b· g = (a· f )· g = a· (f · g), O que prova que a | c. O item (i) da proposi¸c˜ao anterior nos diz que todo n´umero natural ´e divisivel por 1 e, se diferente de zero, por si mesmo.
Proposi¸c˜ao 0.2 Se a,b,c,d ∈ N, com a 6 = 0 e b 6 =0, ent˜ao
a | c e c | d =⇒ a· c | b· d. Demonstrac¸˜ao: Por hip´otese temos que a | b e c | d, logo ∃ f, g ∈ N, b = a · f e d = c · g. Portanto b · d = (a · f ) (c· g) segue que a · c | b · d.
Em particular, se a | b, ent˜ao a · c | b · c, para todo c ∈ N∗.
Proposi¸c˜ao 0.3 Sejam a,b ∈ N, com a 6 = 0, tais que a | (b + c), ent˜ao
a | b ⇐⇒ a | c.
Demonstrac¸˜ao: (⇒) Como a | (b + c), existe f ∈ N tal que b + c = f · a. Por outro lado, se a | b, temos que existe g ∈ N tal que b = a · g. Juntando as duas igualdades,anteriores , temos
a· g + c = f · a = a · f - (I)
logo segue-se que a · f > a · g, e, consequentemente, f > g. Por (I) e pela Proposi¸c˜ao^1 , obtemos
c = a·f-a·g = a ·(f-g)
Isto implica que a|c, j´a que f - g ∈ N.
Proposi¸c˜ao 0.5 Se a,b,c ∈ N, com a 6 = 0 e x, y ∈ N s˜ao tais que a| b e a| c, ent˜ao a|(xb+yc); e se xb ≥ yc, ent˜ao a | (xb-yc). Demonstrac¸˜ao: Se a | b e a | c, isto implica que existem r, s ∈ N tais que b = ar e c= as. Logo
xb ± yc = x(ar) ± y(as) = a(r ± s),
O que prova o resultado, pois, x(ar) ± y(as) ∈ N.
Proposi¸c˜ao 0.6 Dados a, b ∈ N∗, temos que
a|b =⇒ a ≤ b.
Demonstrac¸˜ao: De fato se a |b, existe c ∈ N∗^ tal que b = ac. Pelo Corol´ario^2 ,
c ≥ 1 ⇒ ∃ c′ ∈ N tq c= 1 + c′ b = a · (1 + c′ ) = a + a· c′ Portanto b ≥ a.
Em particular, se a | 1, ent˜ao a ≤ 1 e, portanto a = 1. A reciproca do teorema 05 n˜ao ´e v´alida , basta ver que 6 ≥5 entretanto 5 - 6. Observe que a rela¸c˜ao de divisibilidade em N∗^ ´e uma rela¸c˜ao de ordem, pois
i) ´e reflexiva: ∀ a ∈ N∗, a|a (Proposi¸c˜ao 01 (i))
ii) ´e transitiva: se a|b e b|c, ent˜ao a|c (Proposi¸c˜ao 01 (ii))
iii) ´e anti-sim´etrica: se a|b e b|a, ent˜ao a = b (Decorre da proposi¸c˜ao 06) (^2) N˜ao existe n ∈ N tal que 0 < c < 1. Corol´ario demonstrado em Aula
Proposi¸c˜ao 0.7 Sejam a,b,n ∈ N, com a > b > 0. Temos que a - b divide an^ − bn. Demonstrac¸˜ao: Faremos indu¸c˜ao sobre n. Para n = 0 a afirma¸c˜ao ´e verdadeira, porque a^0 − b^0 = 0. Suponhamos o resultado v´alido n = k, isto ´e a - b | ak^ − bk, ∀ a, b ∈ N. Para n = k + 1. ak+1^ − bk+1^ = aak^ − bbk^ = = aak^ + akb − akb − bbk^ = = aak^ − akb + akb − bbk^ = = (a − b)ak^ − (ak^ − bk)b Como a-b | a - b e a - b | (ak^ − bk)(hip´otese de indu¸c˜ao), segue da igualdade acima e da Proposi¸c˜ao 05 que a - b | ak+1^ − bk+ Pelo principio da indu¸c˜ao a afirma¸c˜ao ´e v´alida ∀ ∈ N.
Proposi¸c˜ao 0.8 Sejam a,b,n ∈ N, com a + b 6 = 0. Temos que a + b divide a^2 n+1^ − b^2 n+1. Demonstrac¸˜ao: Vamos provar isto tamb´em por indu¸c˜ao sobre n. Para n = 0 a afirma¸c˜ao ´e verdadeira, porque a^1 + b^1 = a + b. Suponhamos o resultado v´alido n = k, isto ´e a + b | a^2 k+1^ − b^2 k+1, ∀ a, b ∈ N. Para n = k + 1. a2(k+1)+1^ + b2(k+1)+1^ = = a^2 a^2 k+1^ + b^2 b^2 k+1^ = = a^2 a^2 k+1^ − b^2 a^2 k+1^ + b^2 a^2 k+1^ + b^2 b^2 k+1^ = = (a^2 − b^2 )a^2 k+1^ + b^2 (a^2 k+1^ + b^2 k+1). Como a + b | a^2 - b^2 e a + b | (a^2 k+1^ + b^2 k+1)(hip´otese de indu¸c˜ao), decorre da igualdade acima e da Proposi¸c˜ao 05 que a + b | a2(k+1)+1^ + b2(k+1)+ Estabelecendo assim o resultado para todo n ∈ N.
Proposi¸c˜ao 0.9 Sejam a,b,n ∈ N, a ≥ b > 0. Temos que a + b divide a^2 n^ − b^2 n.
