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ARITMÉTICA BÁSICA
I - CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
Conhecer os critérios de divisibilidade facilita a resolução de cálculos envolvendo divisões. Vejamos alguns critérios de divisibilidade:
DIVISIBILIDADE POR 2: Um número é divisível por 2, quando o algarismo das unidades for 0, 2 , 4, 6 ou 8. Um número que é divisível por 2 é denominado par, caso contrário, ímpar.
DIVISIBILIDADE POR 3: Um número é divisível por 3, quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.
DIVISIBILIDADE POR 4: Um número é divisível por 4, quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for 00 ou divisível por 4.
DIVISIBILIDADE POR 5: Um número é divisível por 5, quando o algarismo das unidades for 0 ou 5.
DIVISIBILIDADE POR 6: Um número é divisível por 6, quando for divisível por 2 e por 3 simultaneamente.
DIVISIBILIDADE POR 10: Um número é divisível por 10, quando o algarismo das unidades for 0 ( zero )
OBS: NÚMERO DE DIVISORES:
O conjunto dos divisores de um número natural x é o conjunto D(x) formado por todos os números naturais que são divisores de x. Exemplo: o conjunto dos divisores de 36. D(36) = { 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
Roteiro para obter todos os divisores naturais de um número:
( vamos utilizar o 36 como exemplo). 1º) fatoramos o número 36 2 18 2 9 3 3 3 1
2º) colocamos um traço vertical ao lado dos fatores primos 1 36 2 18 2
3º) na linha de cada fator primo vamos colocando os produtos dele pelos números já colocados nas linhas de cima. 1 36 2 2 18 2 4 9 3 3 3 3 9, 6, 12, 18, 36 D(36) = { 1, 2 , 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 } 1
Roteiro para obtermos o número de divisores naturais de um número: nD(x)
( vamos utilizar o 36 como exemplo). 1º) fatorar o número 36 2 19 2 9 3 3 3 1 22. 32^ 36 = 22. 32 2º) a cada expoente acrescentamos uma unidade e a seguir efetuamos o produto, resultando assim o número de divisores naturais do número
36 = 22. 32
( 2 + 1 ). ( 2 + 1 ) = 3. 3 = 9 então 36 possui 9 divisores naturais
II – NÚMEROS PRIMOS
Um número natural é denominado “número primo” quando apresenta apenas dois divisores naturais: ele mesmo e o número 1. Existem infinitos números primos. A seguir indicamos os números primos menores que 100.
OBS: NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI
OBS: De um modo geral, o número de divisores naturais do número natural
x = an. bm. cp. ...
nD(x) = ( n + 1 ). ( m + 1 ). ( p + 1 ). ...
m.m.c ( 120, 36) = 23.32.5 = 360
OBS: O m.m.c pode ser calculado pela decomposição simultânea em fatores primos.
120 - 36 2 60 - 18 2 30 - 9 2 15 - 9 3 5 - 3 3 5 - 1 5 1 - 1 23. 32. 5 = 360
OBS : Existe uma relação entre o m.m.c e o m.d.c de dois números naturais a e b
m.m.c.(a,b). m.d.c. (a,b) = a. b
O produto entre o m.m.c e m.d.c de dois números é igual ao produto
entre os dois números
APLICAÇÕES DE M.M.C E M.D.C.
01 – Uma filha me visita a cada 15 dias; uma outra me visita a cada 18 dias. Se aconteceu hoje a visita das duas filhas, a próxima visita acontecerá daqui ao seguinte número de dias: a) 60 b) 90 c) 100 d) 120
RESOLUÇÃO: Basta encontrar o menor número de dias que é múltiplo comum de 15 e 18. m.m.c. ( 15, 18 ) = a próxima visita das filhas 15 - 18 2 15 - 9 3 5 - 3 3 5 - 1 5
1 - 1 2. 32. 5 = 2. 9. 5 = 90 dias opção b
OBS: As filhas farão visitas simultâneas a cada 90 dias, ou seja, 90dias e depois daqui a 180 dias, 270 dias, 360 dias, etc. 02 – Um certo planeta possui dois satélites naturais: Lua A e Lua B; o planeta gira em torno do Sol e os satélites em torno do planeta, de forma que os alinhamentos: Sol – planeta – Lua A ocorra a cada 18 anos e Sol – planeta – Lua B ocorra a cada 48 anos Se hoje ocorrer o alinhamento Sol – planeta – Lua A – Lua B, então esse fenômeno se repetirá daqui a: a) 48 anos b) 66 anos c) 96 anos d) 144 anos
RESOLUÇÃO:
Basta encontrar o menor número de ANOS que é múltiplo comum de 18 e 48. m.m.c. ( 18, 48 ) = O próximo alinhamento dos planetas 18 - 48 2 9 - 24 2 9 - 12 2 9 - 6 2 9 - 3 3 3 - 1 3
1 - 1 24. 32^ = 16. 9 = 144 anos opção d
OBS: Os planetas ficarão alinhados novamente a cada 144 anos, ou seja, 144 anos e depois daqui a 288 anos, 432 anos, 576 anos, etc.
03 – Para equipar as novas viaturas de resgate e salvamento da corporação, dois rolos de cabo de aço, com respectivamente 450m e 600m de extensão, deverão ser repartidos em pedaços iguais e com o maior comprimento possível. A fim de que não haja sobras, a medida de cabo que cada viatura receberá é: a) 120m b) 130 c) 150m d) 180m
Então o número desejado é 148 opção d
Todas as questões possuem gabarito objetivo e no final desta aula um
gabarito comentado de todas para o aluno que desejar retirar suas dúvidas ou
comparar sua resolução.
Questões objetivas
01 – O número de divisores naturais do número 40 é:
a) 8
b) 6
c) 4
d) 2
02 – O número natural 25. 21k tem 147 divisores positivos. Então k vale:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
03 – O número de divisores naturais de 360 que não são primos é:
a) 20
b) 21
c) 22
d) 23
04 – Por um certo ponto de uma estrada passam dois ônibus das linhas X e Y,
de 42 em 42 minutos e de 36 em 36 minutos, respectivamente. Se às 9h17min
dois ônibus passaram simultaneamente, a próxima vez que isso acontecerá
será às:
a) 12h41min
b) 13h29min
c) 17h41min
d) 10h29min do dia seguinte
05 – O menor número inteiro positivo que ao ser dividido por qualquer um
dos números, dois, três, cinco ou sete, deixa resto um, é:
a) 106
b) 210
