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Curso em 24 aulas super interessantes que aborda a Matemática Elementar com exemplos de uso no cotidiano, curiosidades, a História da Matemática, exercícios e testes de avaliação.
Tipologia: Exercícios
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Não perca as partes importantes!
Curso de Matemática Básica Autor: ROBERTO PINHEIRO
Curso de Matemática Básica Autor: ROBERTO PINHEIRO
ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR
Curso de Matemática Básica Autor: ROBERTO PINHEIRO
OBJETIVO
Por que motivo muitas pessoas detestam matemática e tem tantas dificuldades no
seu aprendizado??? Acredito que isto ocorra pela forma que ela é ensinada nas escolas. O aluno não consegue entender por que deve aprender um mundo de fórmulas e fazer
cálculos tão trabalhosos, já que não vê aplicações práticas para uso no seu dia-a-dia.
Dessa forma a matéria acaba tornando-se para ele terrivelmente maçante e entediante.
Também é interessante observar que mesmo entre alunos que frequentam cursos de nível superior, muitos enfrentam dificuldades em diversas matérias, por não possuírem
um bom domínio de matemática elementar.
Este curso tem por objetivo fazer com que se aprenda matemática elementar de
uma forma simples e prazerosa. Nele será abordado a História da Matemática com o rela- to de diversos acontecimentos históricos para ilustrar a importância da matemática no de-
senvolvimento das civilizações, desde a Antiguidade até os dias atuais. Além de diversas
curiosidades, você ficará conhecendo inúmeras aplicações práticas e situações em que a
matemática pode ser útil no nosso dia-a-dia.
INTRODUÇÃO
A palavra matemática originou-se na Grécia. Do grego "mathematike" e do latim
"mathematica" significa "a ciência que se ensina" ou "o que é ensinado".
Um dos objetivos do ensino da matemática é fazer com que as pessoas aprendam
a resolver os problemas da vida cotidiana. A matemática está presente em todos os ra-
mos de atividade do ser humano. É imprescindível para o desenvolvimento de todas as
outras ciências. Muitas vezes a utilizamos sem nos dar conta de sua importância.
Quando o homem se encontra diante de problemas que envolvem a necessidade
de quantificar, ele utiliza a linguagem matemática. Isso vem ocorrendo ao longo da histó-
ria, desde tempos remotos. A possibilidade de matematizar situações da vida é encontra-
da em praticamente todos os povos, nas mais variadas regiões e culturas. É uma coisa própria do ser humano.
Curso de Matemática Básica Autor: ROBERTO PINHEIRO
AULA 1 - SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
1.1. INTRODUÇÃO
Um sistema de numeração é um conjunto de regras que permite escre- ver todos os números naturais através de símbolos.
Numerais ou algarismos são os símbolos usados para a representação dos números.
Em algumas culturas antigas (Egito, China, Grécia e Roma), os números eram representados por símbolos específicos. Seu valor não dependia da posição, e sim do símbolo. Os números eram representados por símbolos escritos um ao lado do outro, normalmente em ordem decrescente, entre os quais se subtendia a soma.
Os gregos e os romanos usavam letras do alfabeto como algarismos.
No ábaco, as bolinhas são todas iguais, mas o valor de cada bolinha de- pende do arame em que ela está. Certamente, foi esta característica do ábaco que fez surgir a idéia de dar valores diferentes a um mesmo algarismo, depen- dendo do lugar em que ele está escrito.
Por exemplo, em 3333, o algarismo 3 assume diferentes valores:
aqui, o 3 vale 3 unidades ou 3 aqui, o 3 vale 3 dezenas ou 30 aqui, o 3 vale 3 centenas ou 300 aqui, o 3 vale 3 unidades de milhar ou 3000
Antes de aparecer o sistema de numeração desenvolvido pelos hindus, o princípio posicional já aparecia em sistemas de numeração, como o dos babilô- nios, por exemplo.
Porém, foi com o sistema de numeração hindu que o princípio posicional ganhou força total. Mas isto só aconteceu com a criação de um símbolo para o nada (zero).
Algarismos romanos são cada um dos símbolos representativos dos núme- ros, no sistema romano de numeração (I, V, X, L, C, D, M).
Curso de Matemática Básica Autor: ROBERTO PINHEIRO
Algarismos arábicos são cada um dos símbolos representativos dos núme- ros, na notação atualmente adotada e que se baseia no sistema decimal de nu- meração (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Dizemos, por exemplo, que 507 é um nú- mero de três dígitos ou três algarismos.
O sistema de numeração que normalmente usamos é o sistema decimal (base 10); no entanto existem outros sistemas de numeração, como por exem- plo, o sistema sexagesimal (de base 60) que é usado em medição de ângulos ou em unidades de tempo e o sistema binário (base 2) que é usado em computação.
Daremos enfoque a alguns dos primeiros sistemas, seus símbolos e regras de uso, bem como á evolução na forma de representação dos números, até che- garmos ao sistema utilizado hoje em dia.
1.2. SISTEMA DE NUMERAÇÃO EGÍPCIO
Um dos primeiros sistemas de numeração de que se tem notícia é o dos e- gípcios. Os numerais egípcios também são conhecidos como hieróglifos e foram criados há, aproximadamente, 5 mil anos.
O sistema de numeração egípcio baseava-se em sete números-chave: 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000.
Os egípcios usavam símbolos para representar esses números.
O sistema de numeração criado pelos egípcios tornou possível a escrita de números muito grandes, a partir da idéia de agrupamentos.
Curso de Matemática Básica Autor: ROBERTO PINHEIRO
Os hieróglifos egípcios são quase todos figuras da flora e da fauna do Nilo, além dos utensílios que eles utilizavam. Mas a notação egípcia deixou de ser pic- tográfica para ser ideográfica, quando as figuras já não mais representavam elas mesmas e era preciso decifrá-las. Por exemplo, a flor de lótus, com seu caule, não significava mais flor de lótus e sim mil; um dedo indicador, ligeiramente incli- nado, representava dez mil; uma rã ou girino de rabo bem caído representava cem mil; um homem ajoelhado, erguendo os braços para o céu, representava um milhão, etc.
1.3. SISTEMA DE NUMERAÇÃO CHINÊS
Os caracteres tradicionais do sistema numérico chinês são esses:
Esses símbolos são ainda usuais tanto na China como no Japão, mas para os cálculos eles utilizam o sistema indo-arábico.
1.4. SISTEMA DE NUMERAÇÃO ROMANO
De todas as civilizações da Antiguidade, a dos romanos foi sem dúvida a mais importante. Seu centro era a cidade de Roma. Desde sua fundação, em 753 a.C., até ser ocupada por povos estrangeiros em 476 d.C., seus habitantes en- frentaram um número incalculável de guerras de todos os tipos. Inicialmente, pa- ra se defenderem dos ataques de povos vizinhos, mais tarde, nas campanhas de conquista de novos territórios. Foi assim que, pouco a pouco, os romanos foram conquistando a Península Itálica e o restante da Europa, além de uma parte da Ásia e o norte da África. Apesar de a maioria da população viver na miséria, em Roma havia luxo e muita riqueza, usufruída por uma minoria rica e poderosa. Poupas luxuosas, comidas finas e festas grandiosas faziam parte do dia-a-dia da elite romana. Os romanos foram muito espertos. Eles não inventaram símbolos novos para representar os números; usaram as próprias letras do alfabeto.
Curso de Matemática Básica Autor: ROBERTO PINHEIRO
Os numerais romanos sofreram um longo processo de evolução. Veja al- guns exemplos de como os símbolos se transformaram:
O cinco, a princípio, era escrito assim:
indicando os cinco dedos da mão. Depois, com o passar do tempo, ele foi simplificado para:
O cinqüenta teve a seguinte transformação:
O mil teve a seguinte transformação:
Na época de Cristo, os símbolos que tinham seu uso generalizado eram os seguintes:
Letras Valores I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M 100
Outras modificações aconteceram. Os romanos, que utilizavam um princí- pio aditivo, agrupando até quatro símbolos iguais para representar um novo nú- mero, passaram a utilizar um princípio subtrativo, que consistia em escrever à esquerda de um símbolo maior, um valor menor que dele devia ser subtraído.
Atualmente os algarismos romanos são usados principalmente:
Curso de Matemática Básica Autor: ROBERTO PINHEIRO
Primeiro determinavam a letra de maior valor. C = 100.
Depois subtraíam de C o valor da letra que vem antes. XC = 100 - 10 =
Por fim, somavam ao resultado os valores das letras que vêm depois de C.
O número 1000 é representado pela letra M. Assim, MM corresponde a 2000 e MMM a 3000. E os números maiores que 3000? Para escrever 4000 ou números maiores que ele, os romanos usavam um traço horizontal sobre as letras que representavam esses números.
Um traço multiplica o número representado abaixo dele por 1000. Dois traços multiplica o número abaixo deles por 1 milhão.
O sistema de numeração romano foi adotado por muitos povos, porém as- sim como no sistema egípcio, também na numeração romana era trabalhoso es- crever certos números. Veja:
três mil oitocentos e oitenta e oito: MMMDCCCLXXXVIII
1.5. SISTEMA DE NUMERAÇÃO MESOPOTÂMICO
O simples fato de termos dez dedos inspirou o homem a contar em grupos de 10. Os matemáticos chamaram esta prática de contagem na base dez ou na base decimal.
O sistema de numeração normalmente usado na Mesopotâmia, diferente- mente dos utilizados pela maioria das civilizações tanto antigas quanto modernas não era o decimal (base 10) e sim o sexagesimal (base 60). Talvez a base ses- senta tenha sido adotada conscientemente e legalizada no interesse da metrolo- gia, pois uma grandeza de sessenta unidades pode ser facilmente subdividida em metades, terços, quartos, quintos, sextos, décimos, dozeavos, quinzeavos, vigé- simos e trigésimos, fornecendo assim dez possíveis subdivisões. Qualquer que te- nha sido a origem, o sistema sexagesimal de numeração teve vida notavelmente longa, pois até hoje restos permanecem, infelizmente para a consistência, nas u- nidades de tempo e medida dos ângulos, apesar da forma fundamentalmente de- cimal de nossa sociedade.
No sistema numérico da Mesopotâmia, a unidade era representada por este
sinal , parecido com uma cunha.
Curso de Matemática Básica Autor: ROBERTO PINHEIRO
Para escrever dez, eles usavam o mesmo símbolo, porém em posição hori- zontal:. Assim escreviam os números de 10 a 20 da seguinte forma:
O cinquenta e nove era escrito assim:
Talvez fosse a inflexibilidade do material de escrita mesopotâmio, talvez fosse uma centelha de inspiração o que fez com que os babilônios percebessem que seus dois símbolos para unidades e dezenas bastavam para representar qualquer inteiro, por maior que fosse, sem excessiva repetição. Isso se tornou possível pela invenção, que fizeram, há cerca de 4000 anos, da notação posicio- nal (o mesmo princípio que assegura a eficácia de nossa forma numeral). Isto é, os antigos babilônios viram que seus símbolos podiam ter função dupla, tripla, quádrupla ou em qualquer grau, simplesmente recebendo valores que dependes- sem de suas posições relativas na representação de um número.
As cunhas no símbolo cuneiforme para cinquenta e nove são agrupadas bem juntas de modo a formar quase o equivalente de uma única cifra. Um espa- çamento adequado entre grupos de cunhas pode estabelecer posições, lidas da direita para a esquerda, que correspondem a potências crescentes da base; cada grupo tem então um "valor local" que depende de sua posição.
Dessa forma o número 63 era representado da seguinte forma: , ou seja um grupo de sessenta mais três. O símbolo da esquerda, separado dos outros três, vale sessenta.
Curiosidade: Em 1800 a.C., os sumérios, habitantes do Oriente Médio, desenvolveram o mais antigo sistema numérico conhecido. Em vez dos dez alga- rismos de hoje (0, 1, 2, 3... até 9), o sistema caldeu tinha 60 símbolos. O sistema de frações sexagesimais foi transferido à Grécia e posteriormente para a Europa, sendo até hoje clara a sua influência, que se perpetuou através do hábito de me- dir o tempo (1 hora tem 60 minutos; cada minuto tem 60 segundos) e os ângulos (o círculo tem 360º, que é seis vezes 60).
Curso de Matemática Básica Autor: ROBERTO PINHEIRO
1.7.2. Algarismo e algoritmo - Origem e história
É curiosa a origem da palavra algarismo. No ano de 825 d.C. o trono do Império Árabe era ocupado pelo Califa al-Mamum. Ele tinha interesse que seu reino se transformasse em um grande centro de ensino, onde se pudesse dominar todas as áreas do conhecimento. E para atingir esse objetivo, contratou e trouxe para Bagdá os grandes sábios muçulmanos daquela época.
Mohammed ibm-Musa al-Khowarizmi
Entre esses sábios estava o matemático e astrônomo árabe Mohammed ibm-Musa al-Khowarizmi. À ele foi destinado a função de traduzir para o árabe os livros de matemática vindos da Índia. Numa dessas traduções al-Khowarizmi se deparou com aquilo que ainda hoje é considerado, a maior descoberta no campo da matemática: O Sistema de Numeração Decimal.
al-Khowarizmi escreveu vários livros. Num deles, intitulado "Sobre a arte hindu de calcular", baseado provavelmente numa tradução árabe de Brahmagup- ta, al-Khowarizmi fez uma exposição minuciosa dos numerais hindus. Esse livro foi levado para a Europa e traduzido para a língua latina, que na época era falada pelos estudiosos europeus.
O matemático italiano Leonardo Fibonacci (1180-1250) foi o primeiro euro- peu a usar os algarismos arábicos. O livro em que Fibonacci descreve o novo sis- tema de numeração é um clássico célebre completado em 1202 que tem o título de "Liber abaci" (ou livro do ábaco). Até então, os europeus utilizavam os alga- rismos romanos, como o I (que vale 1), o V (5) e o X (10). Fibonacci também a- dotou o zero, que os europeus já conheciam, mas na prática, não empregavam.
Leonardo de Pisa (Fibonacci)
Curso de Matemática Básica Autor: ROBERTO PINHEIRO
Apesar de al-Khowarizmi nunca ter manifestado nenhuma pretensão de o- riginalidade quanto ao sistema, cuja origem hindu ele assumiu como fato, leitores europeus descuidados começaram a atribuir não só o livro, mas a numeração, ao autor. Dessa forma o sistema de numeração ficou conhecido como o de al- Khowarizmi, ou mais descuidadamente, algorismi que acabou dando origem ao termo algarismo.
O termo algoritmo também deriva do nome de Al-Khowarizmi e significa, de uma forma geral, qualquer regra especial de processo ou operação (como o método de Euclides para encontrar o máximo divisor comum, por exemplo).
1.7.3. A origem do zero
Ao que tudo indica a noção do zero surgiu na Índia. O uso do zero pelos hindus é registrado no século VII, na obra "Brahmasphutasidanta" (A abertura do universo), do matemático BRAHMAGUPTA.
Muitos cálculos efetuados pelos hindus eram realizados com a ajuda de um ábaco, instrumento que para a época poderia ser considerado uma verdadeira máquina de calcular.
O ábaco usado inicialmente pelos hindus consistia em meros sulcos feitos na areia, onde se colocavam pedras. Cada sulco representava uma ordem. Assim, da direita para a esquerda, o primeiro sulco representava as unidades; o segundo as dezenas e o terceiro as centenas. No exemplo ao lado temos a representação do número 203, ou seja, 2 centenas mais três unidades.
Sulco vazio do ábaco indica que não existe nenhuma dezena. Mas na hora de escrever o número faltava um símbolo que indicasse a inexistência de deze- nas. E, foi exatamente isso que fizeram os hindus, eles criaram o tão desejado símbolo para representar o sulco vazio e o chamaram de Sunya (vazio). Dessa forma, para escrever o número representado no ábaco de areia, escreviam o 2 para as centenas, o 3 para as unidades e entre eles faziam o desenho do sulco vazio, para indicar que não havia no número nenhuma dezena.
Ao introduzir o desenho do sulco vazio entre os dois outros símbolos os hindus criaram o zero que, desde aquela época já se parecia com o que usamos hoje. Esses conhecimentos foram transmitidos aos povos árabes, que entraram em contato com os hindus através de atividades comerciais, guerras e conquis- tas.
Curso de Matemática Básica Autor: ROBERTO PINHEIRO
1.8. APLICAÇÕES DOS SISTEMAS NUMÉRICOS
É bastante lógico que usemos o sistema decimal como base para todos os cálculos matemáticos do dia-a-dia pelo simples fato de temos DEZ dedos nas mãos... fica fácil contar nos dedos quando precisamos.
Os babilônios utilizavam o sistema de numeração sexagesimal e não o decimal. As medidas usadas para ângulos e para a contagem das horas são he- ranças do sistema numérico de base 60 usado pelos antigos povos da Mesopotâ- mia.
Considerada muito prática, a base 60 pode ser dividida por vários números (1, 2, 3, 4, 5, 6 e 12) sem recorrer ao uso de frações. Seus múltiplos também permitem expressar com facilidade alguns fenômenos físicos.
O sistema de frações sexagesimais foi transferido à Grécia e posteriormen- te para a Europa, sendo até hoje clara a sua influência, que se perpetuou através do hábito de medir o tempo (1 hora tem 60 minutos; cada minuto tem 60 segun- dos) e os ângulos (o círculo tem 360º, que é seis vezes 60).
Computadores usam o sistema binário por um motivo simples: Existem apenas dois níveis de tensão presentes em todos os circuitos lógicos: níveis baixo e alto (que são chamados de 0 e 1 por conveniência... para podermos medi-los sem ter que recorrer a um multímetro!).
O sistema hexadecimal também tem o seu lugar: é a forma mais abrevi- ada de escrever um conjunto de bits.
1.9. O ÁBACO - ORIGEM E HISTÓRIA
O ábaco é um aparelho digital de cálculo simples que permite realizar todas as operações aritméticas básicas. Consiste normalmente de um tabuleiro ou mol- dura de madeira composto de uma série de cordões ou fios paralelos. Nesses fios são enfiadas bolinhas perfuradas, que podem ser movidas livremente.
Ábaco
As operações são efetuadas mudando-se a posição de algumas bolas em relação à outras e, através de uma complexa manipulação pode-se inclusive ex- trair raízes.
Curso de Matemática Básica Autor: ROBERTO PINHEIRO
O ábaco durante milhares de anos foi o único instrumento que a humani- dade possuía para as operações de calcular. Segundo a lenda, o ábaco foi inven- tado ao redor do ano 2000 a.C. por um mandarim chinês com o nobre intuito de facilitar ao povo fazer contas e assim conhecer o valor das mercadorias que era obrigado a entregar como impostos. Esse mandarim foi degolado por ordem do Imperador, pois ao mesmo interessava manter o povo na mais completa ignorân- cia.
Na antiga Mesopotâmia, os comerciantes já utilizavam o ábaco. O ábaco também era usado no antigo Egito, de onde foi para a Grécia e para Roma. Além do número de pedras ou botões, os egípcios utilizavam cores em seu ábaco, para facilitar os negócios: bolas brancas, por exemplo, indicavam o crédito a favor do cliente e as negras registravam os débitos.
Um pouco diferente, o ábaco romano consistia de um tabuleiro com diver- sos sulcos paralelos pelos quais deslizavam pedras ou botões. Seu funcionamen- to, porém era semelhante ao do ábaco atual. Essa máquina de calcular antiga ti- nha um importante papel nas transações comerciais. Principalmente lembrando- se que no sistema de numeração greco-romano ainda não existia o zero, o que provocava uma grande dificuldade para o cálculo escrito.
A partir do século XII, na Europa, este sistema de cálculo foi sendo paula- tinamente substituído por outros. Atualmente na China e no Japão, o ábaco ainda é usado na maioria das operações aritméticas.
Também em alguns países europeus, como a Grã-Bretanha e na zona de influência da antiga União Soviética, ainda se usa o ábaco nas operações comer- ciais. Além disso, e de forma mais generalizada, ele continua sendo empregado no ensino das operações básicas de aritmética.
