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10.0 – Deformações na Flexão.
Nos capítulos anteriores obtivemos expressões (com formatos semelhantes) que
relacionam as deformações para cada um dos esforços solicitantes, a saber:
10.1 – Deflexões por curvatura das vigas
No caso de uma viga reta carregada transversalmente, seu eixo longitudinal se encurvará to- mando o formato da chamada linha elástica. O raio de curvatura da linha elástica será obtido, como visto através da equação 5.7.3, escrevendo (1/ρ) = M/EI. Realmente: a fig. 10.1.1 nos mostra que
na tração pura: δδδδ L = NL/EA
no corte puro: δδδδ h = QL/GA
na torção* pura : δθδθδθδθ = TL/GJP
*eixos circulares
na flexão pura: δϕδϕδϕδϕ = ML/EI
N
Q
T
M
δL
δh
δθ
δϕ
tg dϕ dϕ = ε ds / y. Como ε = σ/E e σ = (Μ/Ι)y, obtem-se: dϕ / ds = M / E I............................. (10.1.1) sendo (EI) o chamado “produto de rigidez”. Levando em conta que ds = ρ dϕ, chega-se a 5.7.3. Por outro lado, nos cursos de Cálculo Diferencial determinou-se a curvatura (k = 1/ρ) das curvas pla- nas como sendo dada por:
k = 1/ρ = (d^2 y/dx^2 )/[1+(dy/dx)^2 ]3/
já que ds^2 = dx^2 + dy^2. Representando por “f” a ordenada corres- pondente à flecha do eixo neutro a cada valor da abscissa x da seção, e como a declividade das vigas (df/dx = tgϕ)^ é sempre muito pequena, tornando o seu quadrado desprezível em presença da unidade, podemos escrever: df/dx = ϕ; 1/ρ = d^2 f/dx^2 , obtendo-se a de- nominada “equação diferencial da linha elástica”:
................(10.1.2)
Conhecendo-se como variam o momento fletor M e o momento de inércia I a cada ordenada x da seção, a integração sucessiva da equação 10.1.2 nos informará a deflexão ϕ = ϕ (x) e a flecha f = f(x).
d^2 f / dx^2 = d ϕϕϕϕ /dx = ΜΜΜΜ /EI
f (Flecha)
f
x
ϕ
Fig. 10.1.1 – Flechas e deflexões nas vigas fletidas.
x
Eixo neutro da viga defletida
dx
dy
ds
dϕ
dϕ
ds
(1 + ε) ds
y
dϕ
L
10.2 – Linha Elástica por Integração.
Através de alguns exemplos, apresentaremos o método para determinação da e-
quação da linha elástica, por integração da equação 10.1.2, permitindo-nos obter valores
de deflexões angulares e flechas nas vigas.
Exemplo10.2.1 - Para a viga bi-apoiada repre- sentada, de comprimento L, seção com momen- to de inércia baricêntrico I e material com mó- dulo de elasticidade E, submetida a um carre- gamento uniformemente distribuído q, estabele- cer os valores da flecha máxima no meio do vão e as deflexões angulares nos dois apoios.
q
qL/2 qL/
Q -qL/
M
f
x
Solução: q(x) = q ; Q(x) = - ∫ q dx = -qx + C 1 ; Q = qL/2 para x=0 → Q(x) = q(L/2 – x); M(x) = ∫ Q dx = ½ qL x – q x^2 /2 + C 2 ; Como M=0 para x = 0 → M(x) = ½ q (Lx – x^2 ); EI dφ/dx = M(x) = ½ q (Lx – x^2 ); EI (φ) = ∫ M(x)dx = ½ q (Lx^2 /2 – x^3 /3 + C 3 ); Pela simetria, pode-se inferir que φ = 0 p/ x = L/2 e EI ( φ ) = ½ q (Lx^2 /2 – x^3 /3 + L^3 /12); φ(x) = (q/24EI) (6Lx^2 – 4x^3 + L^3 ); para x = 0, φ 0 = - qL^3 /24EI ; φ L = + qL^3 /24EI f(x)=∫φ(x)dx=(q/24EI)(6Lx^3 /3 – 4x^4 /4 + L^3 x + C 4 ); Como f(0)=0, C 4 =0 e f(x) = (q/24EI) (2Lx^3 – x^4 + L^3 x); para x = L/2,
f máx = - 5 q L^4 / 384 EI
φ 0 f^ máx
Exemplo 10.2.2 – Para o perfil de aço S127x15 esquemati- zado (E = 210GPa e G = 80GPa), calcular a flecha na ex- tremidade livre do balanço. Para a seção reta do perfil são conhecidos: Área – 1850mm^2 ; I = 5,04 x 10^6 mm^4 ; h = 127mm
127
800
9,92kN
L/
L
P x Q M φ f
Solução: Q(x) = P; M(x) =-P(x – L); EI φ (x) = P(x^2 /2 - Lx); φ (x) = (P/EI)(x^2 /2 - Lx); f(x) = (P/2EI)(x^3 /3 – Lx^2 )
φ (L) = -PL^2 /2EI; f(L) = -PL^3 /3EI
Para os valores numéricos apresentados teremos: σ máx = (9,92x10^3 x0,8 / 5,04x10-6)x(0,127/ 2)= 100MPa
f máx = 9,9 2x10^3 x0,8^3 / 3x210x10^9 x5,04x10-6= 1,6x10-3m
f (^) máx = 1,6mm Se avaliarmos o deslocamento vertical do eixo neutro na extremidade em balanço da viga, decorrente da força cortan- te, verificaremos ser ele desprezível em presença do provoca- da pela flexão: δh = ξ QL/GA = (3/2) 9,92x10^3 x0,8 / 80x10^9 x 1850x10-6^ = f 80,4x10-6m L
ϕL
ϕL
10.3 – Linha Elástica por Integração, utilizando Funções Singulares.
Objetivando evitar o transtorno de representar matematicamente o momento fletor M(x) através de várias equações, correspondentes aos trechos onde o carregamento se diversifica, surgem as funções chamadas “singulares” (pois não satisfazem as condições exigidas pelos matemáticos para a designa- ção das funções, por suas descontinuidades). Tais funções singulares têm a seguinte definição:
(x – a)
n ........ para x ≥ a
= n^ =
Zero ............ para x < a
A integração e a derivação de tal tipo de função fornecem:
∫ < x – a >n^ dx = [1/(n+1)]< x – a > n+1^ ............... (n ≥ 0)
(d/dx) < x – a >n^ = n < x – a > n-1^ ..................... (n ≥ 1)
n = 0 n = 1 n = 2 n = 3
< x – a >
0
< x – a >
1
< x – a >
2
< x – a >
3
a (^) x a (^) x a (^) x a (^) x
Exemplo 10.3.1: Para a viga esquematizada, de- terminar: (a) o ângulo de deflexão da viga no a- poio A da esquerda e (b) a flecha no meio do vão.
a a a a
A B
M
P
q
RA RB
Solução: Reações nos apoios: RA = M/4a + P/2 + qa/8; RB = - M/4a + P/2 + 7qa/8;
Momento Fletor: M(x) = RA x – M < x-a >^0 – P < x – 2a >^1 – ½ q < x-3a>^2
Integrando uma vez para obtenção dos ângulos ϕ da linha elástica teremos: EI ϕ (x) = RA x^2 /2 – M < x-a >^1 – ½ P < x – 2a >^2 – q/6 < x-3a >^3 + C 1 Integrando mais uma vez, para obtenção das flechas f da linha elástica teremos:
EI f(x) = RA x^3 /6 – ½ M < x-a >^2 – P/6 < x – 2a >^3 – q/24 < x-3a >^4 +C 1 x + C 2 ;
As condições de contorno nos informam que: f(0)=0 , → C 2 = 0; e f (4a) = 0 , portanto:
0 = RA (4a)
3
/6 – ½ M (3a)
2
- P/6 ( 2a )
3
- q/24 (a)
4
+C 1 (4a),de onde tiramos o valor de C 1 ,
levando em conta o valor de RA escrito acima:
C 1 = (11/24) Ma – Pa^2 –(31/96) qa^3 ;
A deflexão angular da linha elástica no apoio da esquerda corresponde ao valor de ϕ (0), ou seja: ϕ (0) = C 1 / EI =(11/24) Ma / EI – Pa^2 /EI –(31/96) qa^3 / EI (Resp.a) A flecha no meio do vão será calculada fazendo x = 2a, obtendo-se: EI f(2a)= (M/4a + P/2 + qa/8)(2a)^3 /6 - ½ Ma^2 + (11/24) Ma – Pa_^2 –(31/96) qa^3 _
f(meio do vão)* = 13Ma^2 /12EI – 4Pa^3 /3EI – 23qa^4 /48EI (Resp. b).
* Obs.: a flecha calculada não é a flecha máxima (que ocorre na seção onde ϕ = 0)
Exemplo 10.3.2 – Para o eixo ABC esquematizado, de aço (E = 200 GPa) maciço (D = 150 mm), calcule as flechas na extremidade A do balanço e no meio do vão entre os mancais B e C.
O cálculo das reações dos mancais fornece RB = 25,5 kN (↑). A equação para o momento fletor em função da ordenada x será:
M(x) = - 9 x + 25,5 - (12/2) ^2 + (12/2) < x – 5 >^2
- Observe que para representar o carregamento distribuído lançou-se mão da expres-
são (q/2) < x – 3 >^2 , que se estende desde x = 3m até x = 7m (em C), da qual foi diminuí-
do um carregamento fictício (q/2) < x – 5 >^2 que se estende desde x = 5m até x = 7m.
Procedendo a uma primeira integração obtemos:
EI ϕ (x) = - (9/2) x^2 + (25,5/2) ^2 – (6/3) ^3 + (6/3) ^3 + C 1
Integrando novamente teremos:
EI f (x) = - (9/6) x^3 + (25,5/6) ^3 – (2/4) ^4 + (2/4) ^4 + C 1 x + C 2
A condição de contorno f = 0 para x = 2 fornece: ...............2 C 1 + C 2 = 12, enquanto que a condição f = 0 para x = 6 indica que: ..................... 6 C 1 + C 2 = 92. Resolvendo o sistema obtemos: C 1 = + 20 kN.m^2 ; C 2 = - 28 kN.m Como E = 200 x^109 N/m^2 e I = (π/64)D^4 = (π/64)(0,150)^4 = 24,85 x^10 -6^ m^4 , o produto de rigidez EI = 4,970 x 106 N.m^2 A flecha na extremidade em balanço (x = 0) é f(0) = C 2 / EI = -28x10^3 /4,970 x 106 f(0) = 5,634 mm (↓). A flecha no meio do vão entre os mancais (x = 4) valerá:
f(4) x EI = [- (9/6) 4^3 + (25,5/6) <4 – 2>^3 – (2/4) <4 – 3>^4 + (2/4) (0) + 20x4 + (-28)]
f(4) = 2,113mm (↓). Caso se quisesse pesquisar o valor da máxima flecha positiva (↑) do eixo, concluirí- amos que ela ocorreria ente o mancal B (x = 2, f = 0) e o meio do vão (x = 4), onde a flecha já é negativa. Em tal seção (f é máx) ϕ = 0 e então: 0 = - (9/2) x^2 + (25,5/2)(x - 2)^2 – (6/3)(x - 3)^3 + 20. Admitindo que a seção procurada ocorra entre o mancal e o início da carga distribuí- da (portanto, para 2
No exemplo estudado, a “viga virtual” à qual se aplica o carregamento virtual (M/EI), segundo a analogia de Mohr, foi idêntica à viga real bi-apoiada à qual se aplica o carregamento real. No caso da existência de extremidades em balanço ou engastadas, a “viga virtual” deverá ser modificada para con- siderar:
- na extremidade livre em balanço da viga real, a força cortante e o momento fletor serão nulos, porém a deflexão angular e a flecha não;
- numa extremidade engastada da viga real, a força cortante e o momento fletor não serão nulos, mas tanto a flecha como o ângulo da elástica serão nulos;
- numa rótula há força cortante, porém o momento fletor é nulo.
Para levar em conta tais circunstâncias, a “viga virtual” auxiliar deve ser conjugada em relação à real, como nos exemplos a seguir.
P
PL/EI
L
P
a 3a Pa/EI
livre (^) engaste rótula apoio
Exemplo 10.4.2: Utilizando a analogia de Mohr, determinar a inclinação e a flecha da linha elás- tica na extremidade livre da viga em balanço car- regada com uma força uniformemente distribuí- da.
Solução: Para a viga real, teremos no en- gastamento: Q = qL; M = - ½ qL^2 ;
O carregamento virtual terá a forma de uma parábola do 2º grau, atingindo o valor máxi- mo qL^2 /2EI. A viga auxiliar virtual será livre à esquer- da (onde o cortante e o momento virtuais serão nulos, correspondendo a ângulo e flecha nulos na viga real) e será engastada à direita (onde os valo- res de cortante e momento virtuais corresponde- rão ao ângulo e à flecha na extremidade da viga real). Teremos: (QV)D = ϕD = - 1/3 (qL^2 /2EI)L = - qL^3 /6EI ( área sob a parábola = ⅓ bh, com cg em b/4).
(MV)D = fD = (-qL^3 /6EI)(3/4 L) = - qL^4 /8EI.
q L
+qL
q(x)
Q(x)
Viga Real
Viga Auxiliar
-qL^2 /
qL^2 /2EI
3L/
Área=⅓bh
cg
M(x)
qV(x) = M/EI
QV(x) = ϕϕϕϕ (x)
MV(x) = f(x)
Exemplo 10.4.3 – Para o eixo mostrado na figura, de aço (E = 210 GPa) com diâmetros escalo- nados pede-se determinar a flecha e o ângulo de deflexão na extremidade livre do balanço.
Solução: O diagrama de momentos fletores é o repre- Os momentos de inércia do eixo valem sentado abaixo: em d=92mm → I = π (92)^4 /64 = 3,517 x 10^6 mm^4 em D=137mm → I = π (137)^4 /64 = 17,29x10^6 mm^4
Os correspondentes produtos de inércia serão:
em d = 92mm → EI = 0,7386 x 10^6 Nm^2 em D=137mm → EI = 3,631 x 10^6 Nm^2
Através da analogia de Mohr, o carregamento fictício, obtido utilizando o diagrama de mo- mentos fletores invertido (portanto positivo) dividido pelos correspondentes produtos de inércia (EI) e aplicado à viga auxiliar, fornece:
A reação vertical fictícia V no engaste da viga auxiliar corresponde ao ângulo de deflexão na extremidade livre da viga real:
ϕ = V = ½ (8,262 – 2,479) x10-3^ x 0,700 + 2,479x10-3^ x 0,700 + ½ 12,19 x 10-3^ x 0,900 = 0,009245 rd = 0,53º
O momento fletor fictício M no engaste da viga auxiliar corresponde à flecha na extremidade livre da viga real:
f = M = [½ (8,262 – 2,479) x10-3^ x 0,700] x [0,9 + (2/3) 0,7] + [2,479x10-3^ x 0,700] x (0,9 + ½ 0,7) +
- [½ 12,19 x 10-3^ x 0,900] x (2/3)0,9 = 0,008227 m = 8,23 mm
20 kN
10 kN
900mm
700mm
d = 92mm
D = 137mm
M (kN.m)
700mm 900mm
12,19x10-^3 m-^1 8,262x10-^3 m-^1
2,479x10-^3 m-^1 +
V
M
700mm (^) 900mm
U + δU = ½ δP 1 δf 1 + δP 1 f 1 + ½ P 1 f 1 + ½ P 2 f 2 ..........................................(c)
Como a energia de deformação deve ser a mesma, independentemente da ordem
de aplicação das forças, da igualdade (a) + (b) = (c) tiramos:
P 1 δf 1 + P 2 δf 2 = δP 1 f 1 , que, levada em (b) nos fornece: δU = ½ δP 1 δf 1 + δP 1 f 1 ,
ou seja: f 1 = δU / δP 1 – ½ δf 1. No limite, quando δP 1 → 0, tornando δf 1 → 0, e considerando
que U é função tanto de P1 como de P 2 teremos:
f 1 = ΜΜΜΜ U/ ΜΜΜΜ P 1 ................................................................... (10.5.1)
A equação acima ( teorema de Castigliano ) permite calcular a flecha f 1 em uma dada
seção de uma viga submetida a um carregamento qualquer, admitindo-se a existência de uma
força concentrada P 1 aplicada exatamente na seção em que se quer determinar a flecha, bastan-
do para tal estabelecer a expressão da energia U decorrente do carregamento (incluindo a tal
força P 1 ) e computando-se sua derivada parcial em relação à P 1 e, ao final, fazendo P 1 = 0 (se
não existir força concentrada na seção que se quer determinar a flecha).
Como U = (1/2E) ΙΙΙΙ^ (((( M
///^ I) dx ........................................................................................
Efetuando a derivação parcial proposta em 10.5.1 teremos:
f 1 = (1/E) ΙΙΙΙ(((( M //// I) ΜΜΜΜ M/ ΜΜΜΜ P 1 dx ........................................................ (10.5.3)
Uma dedução análoga seria feita para estabelecer a expressão que permite calcular o
ângulo ϕϕ ϕϕ de inclinação da linha elástica numa dada seção, imaginando a existência de um con-
jugado de momento M 1 aplicado na seção correspondente, computando a energia total armaze-
nada em função do carregamento (e do momento aplicado), efetuando a derivação parcial e, ao
final, fazendo M 1 = 0:
ϕϕ^ ϕϕ 1 =^ ΜΜΜΜ U/ ΜΜΜΜ M 1 = (1/E)^ ΙΙΙΙ(((( M ////^ I)^ ΜΜΜΜ M/ ΜΜΜΜ M 1 dx^ .....................................
Exemplo 10.5.1: Determinar, utilizando o método da energia, a flecha f e o ângulo de deflexão ϕ na ex- tremidade em balanço da viga engastada submetida a um carregamento linearmente distribuído, varian- do entre zero na extremidade livre e w no engaste. Solução: acrescentando ao carregamento real q(x) = w(L-x)/L, sucessivamente, uma força P 1 e um mo- mento M 1 , aplicados na extremidade em balanço onde se quer determinar a flecha e a declividade da linha elástica, teremos para equação de momentos (tracionando as fibras superiores da viga): M(x)=-{½w(L–x)/L[⅓(L-x)]+P 1 (L–x)+M 1 }; M(x) = - {1/6[(w/L)(L – x)^3 + P 1 (L –x) + M 1 ).
w
L
w
x
P 1
M 1
w (L -x) / L
f 1
ϕ 1
Para o cálculo da flecha f 1 teremos ΜM/ΜP 1 = - (L –x) e fazendo P 1 = M 1 = 0,
f 1 = (1/E)Ι(M/ I) ΜM/ΜP 1 dx = (1/EI)Ι{1/6[(w/L)(L – x)^4 }dx = (w/30LEI)[(L –x)^5 ]oL^ = - wL^4 / 30EI
Para o cálculo da declinação ϕ 1 , teremos ΜM/ΜM 1 = -1 e fazendo M 1 = 0,
ϕ 1 =(1/E)Ι(M/ I) ΜM/ΜM 1 dx = (1/EI)Ι{1/6[(w/L)(L – x)^3 }dx = (w/24LEI)[(L –x)^4 ]oL^ = - wL^3 /
24EI
Um teorema auxiliar, o teorema da reciprocidade (enunciado por Maxwell), pode, muitas vezes, ser útil na determinação de deformações: - “a deformação numa seção A, provocada por um dado esforço aplicado numa seção B, é igual à deformação que o mesmo esforço provocaria na seção B, como se estivesse aplicado na seção A”.
Utilizando o teorema da reciprocidade podemos concluir que:
- a flecha no meio do balanço da viga, decorrente das cargas aplicadas em sua extremidade livre, será igual à flecha na extremidade livre causada pelas cargas supostamente aplicadas no meio do balanço. Dos resultados obtidos no ex. 10.2.2:
φ 1 = φ (L/2) = -P(L/2)
2
/2EI = -P(L)
2
/8EI
f 1 = f (L/2) = -P(L/2)^3 /3EI = -P(L)^3 /24EI
Levando em conta que no trecho da viga entre o meio do balanço até a extremidade o momento M é nulo e, portanto, o eixo da viga será reto, podemos escrever para a extremidade livre:
δ = f 1 + ϕ 1 (L/2) = [-P(L)^3 /24EI] + -P(L)^2 /8EI = - 5P(L)^3 /48EI (resp. a)
Para o caso de ser um momento M aplicado no meio do vão livre da viga teremos:
φ 1 = φ (L/2) = -M(L/2)^2 /EI = -M(L)^2 /4EI
f 1 = f (L/2) = -M(L/2)^3 /2EI = -M(L)^3 /16EI.
Analogamente podemos escrever:
δ = f 1 + ϕ 1 (L/2) = [-M(L)^3 /16EI] + -M(L)^2 /4EI = - 3M(L)^3 /16EI (resp. b)
P 1
P 1
P 1
P 2
P 2
P 2
Admitindo que, após a aplicação de um esforço P 1 () na seção “1”, provocando uma deformação (*) δ 11 , fosse aplicado um esforço P 2 , na seção 2, a energia total armazenada pela viga seria: U = ½ P 1 δ 11 + ½ P 2 δ 22 + P 1 δ 12 onde^ δ 12 é a deformação provocada em “1” devi- do ao esforço aplicado em “2”, com o esforço P 1 já aplicado em “1”. Invertendo a ordem na aplicação dos esforços: ---- aplicando inicialmente o esforço P 2 na seção “2”, esta provocaria uma deformação δ 22 , e, após aplicado o esforço P 1 , na seção “1”, a energia armazenada seria: U = ½ P 2 δ 22 + ½ P 1 δ 11 + P 2 δ 21 onde δ 21 é a deformação provocada em “2” devi- do ao esforço aplicado em “1”, com esforço P 2 já aplicado em “1”. O princípio da superposição dos efeitos (decorrente da linearidade da relação entre es- forços e deformações) permite concluir que a energia total armazenada não deve depender da ordem de aplicação dos esforços, portanto:
P 1 δ 12 = P 2 δ 21 que no caso de P 1 = P 2 nos dá
Exemplo11.5.2 – Calcular a flecha δδ δδ provo-^ δδδδ^12121212 = δ= δ= δ= δ^21212121
cada na seção média de uma viga em balanço submetida em sua extremidade livre: a) a uma força P b) a um momento M.
() força ou momento (*) flecha ou deflexão angular.
M
L^ P
L/
δδ δδ
M
L
δδδδ
L/
P
f 1 ϕ^1
10.7- Vigas estaticamente indeterminadas.
A possibilidade de se calcular as deformações da linha elástica nas vigas submetidas à flexão reta nos permite levantar a indeterminação para o cálculo das reações nos apoios das vigas hiperestáti- cas, bastando para tal utilizar-se das equações de compatibilidade de deslocamento, como realizado na solução dos problemas estaticamente indeterminados para as solicitações anteriormente estudadas. Os exemplos a seguir apresentam caminhos para a determinação dos esforços vinculares de vigas hipe- restáticas, utilizando os vários métodos para cálculo de flechas e deflexões angulares.
q
A L
B
MA
q
B
f 1
f 2
-(3/8)qL
(5/8)qL
xm
Q
M
qL^2 / 9qL^2 /
x 3L/
A L
Exemplo 10.7.1: Traçar os diagramas de esforços solici- tantes da viga de comprimento L, engastada em uma extre- midade e apoiada na outra, submetida a uma carga unifor- memente distribuída q. Supondo tratar-se de uma viga de concreto, estabelecer a extensão para distribuição da ar- madura de aço ao longo de seu comprimento (atendendo à circunstância de estar posicionada sempre no lado tracio- nado da viga). Solução: Admitindo que o apoio B à direita não existisse, a flecha f 1 provocada pelo carregamento distribuído na ex- tremidade livre seria: f 1 = - qL^4 / 8EI ............................(exemplo 10.4.2); Se na extremidade livre atuasse uma força vertical B, esta provocaria ali uma flecha f 2 dada por: f 2 = + BL^3 / 3EI .........................(exemplo 10.2.2). A existência do apoio em B implica em ser nula a flecha nessa extremidade, o que nos leva a: BL^3 / 3EI = qL^4 / 8EI, e B = (3/8)qL. Das equações da Estática correspondentes ao equilíbrio de forças e momen- tos obtemos: A = (5/8)qL e MA = -qL^2 / 8. Levantada a indeterminação hiperestática, podemos traçar os diagramas de cortante e momento fletor, verifican- do-se que a força cortante se anula na seção distante 5L/ do engastamento, onde atuará o momento fletor máximo positivo (M+) = (3/8)qL(3L/8) – ½ qL[(3L/8)^2 = (9/128)qL^2 O momento máximo negativo será: (M-) = MA = = (3/8) qL (L) – ½ qL^2 = - qL^2 / 8 = - (16/128) qL^2 A equação do momento fletor em função da ordena- da x da seção ( contada a partir do apoio da direita B *), será: M = M(x) = (3/8) qLx – ½ (qx^2 ), que se anula (invertendo o sinal do momento) na seção x = (3/4)L , seção na qual a armadura de ferro numa viga de concreto armado, passaria da face inferior para a superior. A equação da elástica será obtida integrando: d^2 f / dx^2 = dϕ / dx = M/EI = (l / EI)(3qLx/8 - ½ qx^2 ), ou ϕ(x) = (1/EI) (3qLx^2 /16 - qx^3 /6 ) + C 1. Como no engasta- mento (x=L), ϕ = 0, tiramos C 1 = - qL^3 /48EI (que corres- ponde ao ângulo da elástica no apoio B). Computando o valor de x que torna nula a declinação ϕ obtem-se: x =(1 + √33)L/16 = 0,42154L, seção onde ocorre a fmáx.
-qL^2 /
fmáx
Integrando ϕ=df/dx obtem-se f =(q/48EI)(-2x^4 + 3Lx^3 -L^3 x), que, para x = 0,42154L fornece fmáx
=qL^4 /185EI. * - a inversão do sentido positivo para a ordenada x implica na troca dos sinais para as
flechas f e os ângulos ϕ.... Exemplo 10.7.2 – Para a viga contínua sobre três apoios e submetida às forças concentradas mostradas, pede-se traçar o diagrama de momentos fletores.
Solução: A simetria do problema nos aponta para a so- lução utilizando o princípio da superposição. Imaginan- do inexistente o apoio central B (tornando isostática a viga), pode-se determinar a flecha que ocorreria no meio do vão. Para tal será adequado utilizar a analogia de Mohr calculando o momento fletor fictício no meio do vão causado pelo carregamento virtual M/EI, que pro- voca as reações virtuais: R = ½ [(PL/8EI)(L/2 + L/4)]= 3PL^2 /64EI. A flecha valeria:
f 1 = [3PL^2 /64EI]L/2 – ½(PL/8EI)(L/4)(L/4+L/12) –
- (PL/8EI)(L/4)(L/8) =(29/768)PL^3 /EI. Para a viga de comprimento L, submetida a uma carga concentrada B no meio do vão, a flecha correspondente seria (cf. exemplo 10.2.3) f 2 = BL^3 /48EI. Como a flecha final no apoio B deve ser nula, igualando f 1 a f 2 obtemos: B = (11/16)P. Portanto, A = C = (5/32)P. Levantada a indeterminação hiperestática, podemos fazer o traçado do diagrama de momentos, determinando seus valores extremos, bem como as posições das seções em que seu valor se anula, invertendo de sinal.
P/
L/4 L/4 L/4 L/
P/
A B C
P/
L/4 L/4 L/4 L/
P/
A’ = P/2 C’ = P/
M
PL/
M/EI
PL/8EI
R
R
L/4 L/4 L/4 L/
B
f 1
f 2
B/2 B/
P/2 P/
5P/32 22P/32 5P/
6PL/
5PL/128 5PL/
(4/11)L
Exemplo 10.7.3 : Utilize o Teorema de Castigliano para determinar a reação no apoio B da viga mostrada no exemplo 10.7.1. Solução: o momento fletor ao longo da viga será, em função da reação B desconhecida e do carregamento: M = M (x) = Bx – qx^2 / 2.
Como fB = (1/E) Ι(M/ I) ΜM/ΜB dx = 0, e
ΜM/ΜB = x, vem:
0 = Ι ( Bx – qx^2 /2) x dx =[Bx^3 /3 – qx^4 /8] 0 L......
BL^3 /3 =qL^4 /8 ........... e finalmente:
B =3qL/
A L
B
q
M
x
Levantada a indeterminação hiperestática, podemos calcular as reações nos apoios
e traçar os diagramas de esforços solicitantes.
A força F, atuando isoladamente, provocaria uma flecha no meio do vão dada por: (f1/2L)F^ = + F(L/2)^3 /3EI = FL^3 /24EI.. (exemplo 10.7.2). Compondo os dois deslocamentos, a flecha total f 2 = (f)P^ – (f)F^ será: f 2 = - 5PL^3 /48EI + FL^3 /24EI. A compatibilidade de deformações no contato entre as duas vigas implica, como dito, em que f 1 = f 2 e
f 1 = - FL^3 /48EI = f 2 = - 5PL^3 /48EI + FL^3 /24EI,
dando → F = (5/3)P
F
L/
P
A
C
B
F = (5/3)P
F = (5/3)P
D
C
(2/3)P
(5/6)P
(5/6)P
MC = -PL + (5/3)P(L/2) = - (1/6) PL
-(1/2)PL
-(1/6)PL
(5/12)PL
Resposta: o maior valor do momento fletor negativo (1/2)PL ocorre na viga CD, no contato entre as duas vigas. O maior momento positivo(5/12)PL ocorre no meio do vão da viga AB.
Exercício Proposto. Demonstre que, para uma viga bi- engastada, submetida a uma carga P concentrada no meio do vão L, o momento fletor extremo e a flecha máxima atingem, respectivamente, os valores PL^2 /8 e PL^3 /192EI. (sugestão : torne a viga isostática liberando os engastes e calculando os ângulos nos apoios devidos ao carrega- mento; em seguida compute os momentos que deveriam ser aplicados nas extremidades, necessários para tornar nulos os giros ali ocorridos).
L/2 L/
P
ϕ (^) ϕ
M
M
10.8 – Cargas Dinâmicas. Choque Quando a aplicação da carga na estrutura não se dá estaticamente (ou seja, não cresce lenta- mente, desde zero até seu valor final), dando-se de forma repentina (choque), as tensões máximas ocor- rentes serão aumentadas. Adota-se a hipótese conservativa de que toda a energia mecânica do esforço de impacto se converta em energia elástica armazenada pela estrutura ao alcançar sua configuração de máxima deformação (situação mais desfavorável, já que não teriam sido consideradas as energias per- didas no choque, por vibrações ou recuperadas por ricocheteamento do objeto impactante). Seja, por exemplo, o caso de uma estaca de comprimento L e área de seção A, engastada na base e que receba o impacto (↓) na extremidade livre com uma e- nergia U (cinética = ½ mv^2 = mgH, após uma queda livre de uma altura H). Ao atingir a deformação máxima δmáx (↓) por compressão após o impacto, a energia armazenada na estaca valerá: U = ½ K^2 = ½ EA/L^2 = ½ (σmáx )^2 AL/E, sendo AL = V (volume da estaca). Teremos, portanto: σmáx =[ 2 E U / V ]1/2^ ......................... (10.8.1) No caso de o impacto ser no sentido transversal (→), a estaca flexionará como uma viga engastada e, quando a extremidade atingir a flecha fmáx (→) teremos: U = ½ 3EI/L^3 ^2. Como σmáx = (Mmáx/I)y* e I = Ar^2 , onde y* é a distância à linha neutra da fibra mais afastada e r o raio de giração da seção, ob- tem-se: σσσσ máx =[ 2 E U / ξξξξ V ]1/2^ onde ξ =1/3 (r / y)^2 ...(10.8.2) Note que, quanto maior o volume da peça () , menor a tensão alcançada. Para uma estaca de seção circular de diâmetro d, y* = ½ d, r = d/4 e ξ = 0,1667. Tratando-se de uma seção retangular (bxh), y* = ½ h, r = 0.2887h e ξ = 0, 1111 → (1/9) (*) de seção uniforme Exemplo: 10.8.1 – Um objeto de peso P = 2,0 kgf (m = 2,0 kg) cai de uma altura H = 6m sobre o meio do vão de uma viga de aço (E = 200 GPa), bi-apoiada de comprimento L = 4m, com seção retangular b= 60 mm x h = 100mm. Calcular a máxima tensão normal despertada pelo choque.
A solução literal da questão nos fornece: U = mg (H + f) = ½ [48EI/L^3 ] f^2 que leva à equação do 2º grau: f^2 – [L^3 mg/24EI] f + [L^3 mg/24EI] = 0, cuja solução positiva dá: f = mg L^3 /48EI + [mg L^3 /48EI]^2 + [mg L^3 /24EI]H
- ( observar que, no caso de H = 0 – abandono repentino de um corpo de peso mg sobre um sistema elástico – a deformação máxima conseqüente é o dobro daquela correspondente à aplicação estática da força igual ao peso do objeto). De uma forma genérica podemos escrever: fdin = fest + (fest)^2 + 2 fest H = fest [1 + 1 + 2 H / fest] O termo Φ = [1 + 1 + 2 H / fest] é o chamado “fator de ampliação dinâmica”. Para os dados numéricos do problema enunciado teremos, com m = 2,0 kg, g = 9,81m/s^2 , E = 200 x 10^9 N/m^2 , H = 6m, I = bh^3 /12 = (60 x 100^3 / 12)x 10-12^ = 5 x 10-6^ m^4 , L = 4,0m: fest = mg L^3 / 48 E I = 2,0 x 9,81 x 4,0^3 x 48 x 200 x 10^9 x 5 x 10-6^ = 0,0262 mm O fator de ampliação valerá: Φ = [1 + 1 + 2 x 6000 / 0,0262 ] = 678. A tensão máxima para a aplicação estática da força P = mg = 2 x 9,81 = 19,62 N valeria: σest = (M/I)y* = [(PL/4)/(bh^3 /12)] x (h/2) = [19,62 x 4/4] / (60 x 100^2 /6)x10-9^ = 0,1962MPa. A tensão máxima para a aplicação dinâmica, decorrente da queda do corpo da altura H = 6m que pro- voca uma ampliação nas deformações (e portanto das tensões que lhes são proporcionais) de valor Φ = 678, será: σdin = Φ σest = 678 x 0.1962 = 133 MPa. Para o caso em análise, o fator ξ apresentado na equação 10.8.2 valerá: ξ = 2E U / V (σmáx)^2 = = 2 x 200 x 10^9 x 2,0 x 9,81 x (6 + 678 x 0,0262 x 10-3) / 4 x 60 x 100 x 10-6^ x (133 x 10^6 )^2 = 0,111.
Fig.10.8 - Bate-estaca
½ L f ½ L
H
m
L
H
10.10 – Tabela de flechas e deflexões angulares para algumas vigas isostáticas.
Viga Carregamento e Vinculação (comprimento L)
Deflexão angular na extremidade (^) Flecha Máxima
ϕ =-PL^2 / 2EI f = - PL^3 / 3 EI
ϕ =-qL^3 / 6EI f = - qL^4 / 8 EI
(^3) ϕ =-wL^3 / 24EI f = - w L^4 / 30 EI
(^4) ϕ = + ML / EI f = + ML^2 / 2 EI
5 ϕΑ =-PL^2 / 16 EI ϕΒ =+PL^2 / 16 EI
f = - PL^3 / 48 EI
(^6) ϕΑ =-Pb(L^2 – b^2 ) / 6 LEI ϕΒ =+Pa(L^2 – a^2 )/ 6 LEI
- P b (L^2 - b^2 )3/ 9 √3 LEI para xm = √(L^2 - b^2 )/
ϕΑ = - qL^3 / 24 EI ϕΒ =+ qL^3 / 24 EI f = - 5 q L
4 / 384 EI
a ser preenchido pelo estudante a ser preenchido pelo estudante
ϕΑ = - ML / 6 EI f = - ML^2 / 9√3 EI
f
f
f
f
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
P
q
w
M
P
L/2 L/
P
a b
q
M
xm
xm
f
f
f
f
f
ϕΑ ϕΒ
ϕΑ^ ϕΒ
ϕΑ ϕΒ
ϕΑ ϕΒ
ϕΑ^ ϕΒ
a (^) b a
P/2 P/
f=
(^9) ϕΒ =+ ML / 3 EI para xm = L /^ √^3
10.11 – Tabela de Reações Vinculares e flechas para algumas vigas hiperestáticas.
Viga Carregamento e Vinculação (comprimento L)
Reações Vinculares e Momen- tos Máximos
Flecha Máxima
A = (11/16)P
B = (5/16)
M= (3/16)PL
(MMAX)(+) = +(5/32)PL
(MMAX)(-) = - (3/16)PL
f = - 7PL^3 / 768 EI
A = (3/8)qL B =(5/8)qL M= qL^2 / (MMAX)(+) =(9/128)qL^2 (MMAX)(-) = - qL^2 /
f = - qL^4 / 185 EI
A = B = (1/2)P
M= (1/8)PL
(MMAX)(+) = +(1/8)PL
(MMAX)(-) =-(1/8)PL
f = - P L^3 / 192 EI
A = B = (1/2)P
M= qL^2 / (MMAX)(+) = + qL^2 / (MMAX)(-) = - qL^2 /
f = - qL^4 / 384 EI
A = B = (5/32)P
C = (11/16)P
(MMAX)(+) =+(5/128)PL
(MMAX)(-) =-(3/64)PL
a ser calculada pelo estudante (observe a equivalência entre o trecho CB da viga 5 e o trecho AB da viga 1)
A = B = (3/16)qL C = (5/8)qL (MMAX)(+) = +(9qL^2 /512) (MMAX)(-) = - qL^2 /
f = - qL^4 / 2960 EI
10.12 – Métodos Computacionais para determinação de tensões e deformações.
Programa FTOOL.
Para a solução de problemas complexos, envolvendo múltiplos carregamentos,
além de apoios hiperestáticos e geometria diversificada da estrutura, existem métodos
computacionais que poupam o trabalho exaustivo para o cálculo utilizando o método
analítico. Um bom exemplo de tal ferramenta é o “Ftool – 2 Dimensional Frame A-
nalysis Tool” , apresentado em um dos links da página da Internet www .uff / teleresmat.
f
f
f
P
q
f
q
P
L/2 L/
P/
L/2 L/
P/
q
A A A A A A
B B B B B B
C
C
M
M
M
M M
M
L/
L/
