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Flexão Composta Normal
1. ARMADURAS ASSIMÉTRICAS
1.1 Introdução O dimensionamento direto à flexão composta normal com grande excentricidade, considerando os esforços solicitantes não no centro de gravidade da seção transversal, mas sim no centro de gravidade da armadura tracionada é muito simples, pois torna o problema semelhante ao da flexão simples. Entretanto, ele resolve apenas uma parte dos problemas da flexão composta normal. É importante que se tenha uma formulação geral que resolva todos os casos possíveis. Jayme Ferreira da Silva Jr. desenvolveu um processo que permite com antecedência, conhecidos os esforços, as propriedades da seção e dos materiais, determinar qual a necessidade de armadura da seção. Vai-se considerar neste capítulo o dimensionamento de seções retangulares submetidas à flexo-compressão ou à flexo-tração com armaduras assimétricas em duas bordas. Trabalhando com os valores reduzidos dos esforços solicitantes ( νd , μd ), o semi-plano formado pelos pontos ( νd , μd ) pode ser dividido em 6 regiões ou zonas de solicitação.
f b d
Nd d (^) ⋅ cd ⋅ ⋅
ν = 0 , 85 (eq. 1)
0 , 85 f b d^2
Md d (^) ⋅ cd ⋅ ⋅
μ = (eq. 2)
E
D
C
d
d
A
B
h
O
(Fig. 1) Zona A: as duas armaduras (As 1 e As 2 ) são comprimidas (flexo-compressão com pequena excentricidade); Zona B: equilíbrio alcançado só com As 1 , sendo As 2 = 0; Zona C: As 2 é tracionada e As 1 comprimida (flexo-tração e flexo-compressão com grande excentricidade); Zona D: equilíbrio conseguido com As 2 tracionada e o concreto comprimido, sendo As 1 = 0; Zona E: As 2 e As 1 são tracionadas (flexo-tração com pequena excentricidade); Zona O: seção super-dimensionada, nenhuma armadura é teoricamente necessária.
A seguir serão desenvolvidas as fórmulas para as várias zonas de solicitação. A notação que será utilizada é a que segue:
As1 → armadura comprimida pela ação do momento fletor. As 2 → armadura tracionada pela ação do momento fletor. Nd > 0 → compressão Nd < 0 → tração
(fig. 2)
As 2
As 1
Nd
Md
b
h
( ) ( h )
yd d sd
f^ κ
1 2 (eq. 9)
Resolvendo-se o sistema chega-se a:
= (^) ⋅ ⋅ + − ⋅ h h d d sd
fyd κ κ ν μ ω (^1 2) σ 1 0 , 5 (eq. 10)
= (^) ⋅ ⋅ − − ⋅ h h d d sd
fyd κ κ ν μ ω (^2 2) σ 1 0 , 5 (eq. 11)
Para o aço CA-50A:
yd
sd yd
sd f
Es f
σ ε (eq. 12)
No caso particular da compressão simples, onde Md = 0 ( μd = 0)
( d h )
sd
fyd ν κ
ω 1 = ω 2 = 2 ⋅σ ⋅ − (eq. 13)
Na expressão anterior nota-se que se νd < Kh a taxa de armadura fica negativa. Isso quer dizer que só a seção de concreto resiste ao esforço de compressão, sem necessidade das armaduras.
1.2.1 Limite com a Zona B Como na zona B As 2 = 0, basta fazer ω 2 = 0 na expressão que permite determiná-la, chegando-se a:
= (^) ⋅ ⋅ − − ⋅ h h d d sd
fyd κ κ ν μ (^02) σ 1 0 , 5
μ d A − B = ( ν d − κ h ) (⋅ 1 − 0 , 5 ⋅ κ h ) (eq. 14)
h
B A tração compressão
d
d
(fig. 4)
1.3 Zona B Na zona B, sendo As 2 = 0, o problema fica com 2 equações e 2 incógnitas (ξ e ω 1 ), tendo solução única.
x y
s1d
h/
h/
As 1
Nd
e Md
d' 0,85.f^ cd
As 1. s1d
(fig. 5)
Nd = 0 , 85 ⋅ fcd ⋅ b ⋅ 0 , 80 x + As 1 ⋅ σ s 1 d (eq. 15)
Md = 0 , 85 ⋅ fcd ⋅ b ⋅ 0 , 80 x ( 0 , 5 ⋅ h − 0 , 5 ⋅ y ) + As 1 ⋅ σ s 1 d ⋅( d − 0 , 5 ⋅ h ) (eq. 16)
Dividindo a (eq. 15) por 0 , 85 ⋅ f (^) cd ⋅ b ⋅ d e a (eq. 16) por 0 , 85 ⋅ f (^) cd ⋅ b ⋅ d^2 , fica-se
com:
yd d sd f
ν = 0 , 8 ⋅ξ+ω 1 ⋅^ σ^1 (eq. 17)
No domínio 5 (ξ > κ h ).
cd h
cd
cd cd
cd cd
x h
x
h x x
x h
(fig. 7)
sd cd sd^ (^ )^ cd
x
x d
x d x ε^ ε
1
Sendo d ' = h − d , vem:
s d x cd
ε = x − h + d ⋅ ε
1
sd ξ h^ ε cd
ε = ξ−κ +^1 ⋅
1
h sd h
1 (eq. 22)
1.3.1 Limite com a Zona O
Na zona O, por definição, As 1 = As 2 = 0. Sendo ω 2 = 0, a (eq. 17) de equilíbrio fornece: 0 , (^80) , 8
ν d = ⋅ξ→ξ=^ ν d
Levando na (eq. 18) de equilíbrio:
cd 3h/
x
h
s1d
d'
= ⋅⎛^ ⋅ − ⋅
0 , 5 0 ,^4 d d d h
μ ν κ^ ν
2 d 0 h d^ d
μ = ⋅κ ⋅ν −^ ν (eq. 23)
Equação de uma parábola do 2º grau com raízes νd = 0 e νd = Kh.
d
d
A
B
h
O
(fig. 8) 1.4 Zona C Na zona C As 1 está comprimida e As 2 , tracionada. São três incógnitas: As 1 (ω 1 ), As 2 (ω 2 ) e x (ξ). As equações de equilíbrio sendo duas, o problema apresenta infinitas soluções. A melhor solução é a que minimiza a soma (As (^) 1 + As2 ). Lauro Modesto dos Santos em sua obra: Cálculo de Concreto Armado, Vol. 1, apresenta os resultados de investigação de qual valor de ξ torna a solução mais econômica. Para o aço CA-50A a solução mais econômica corresponde a ξ = ξlim.
s2d
s1d xlim y
As 2
As 1
Nd
e Md
d' 0,85.f^ cd As 1. s1d
h/2 As 2 .f yd
(fig. 9) Equações de equilíbrio:
Nd = 0 , 85 ⋅ fcd ⋅ b ⋅ 0 , 80 x + As 1 ⋅ σ s 1 d − As 2 ⋅ f yd (eq. 24)
Fazendo ω 2 = 0 na expressão que permite o seu cálculo fica:
μ d C − B = ν d ⋅ ( 1 − 0 , 5 ⋅ κ h ) + 0 , 8 ⋅ ξlim ⋅( κ h − 1 − 0 , 4 ⋅ ξlim) (eq. 31)
1.4.2 Limite com a Zona D Na zona D tem-se As 1 = 0. Fazendo ω 1 = 0 na expressão que permite seu cálculo fica:
ν d − 0 , 8 ⋅ξlim +ω 2 = 0
Substituindo o valor de ω 2 dado pela expressão que permite o seu cálculo e desenvolvendo, tem-se:
μ d C − D = ν d ⋅ ( 0 , 5 ⋅ κ h − 1 ) + 0 , 8 ⋅ ξlim ⋅( 1 − 0 , 4 ⋅ ξlim)
Como já foi visto:
μ d lim= 0 , 8 ⋅ ξlim ( 1 − 0 , 4 ⋅ ξlim)
Assim, a reta de separação das zonas C e D fica:
μ d C − D = ν d ⋅ ( 0 , 5 ⋅ κ h − 1 ) + μ d lim (eq. 32)
1.4.3 Limite com a Zona O Sendo na zona O ω 1 = ω 2 = 0, a (eq.26) de equilíbrio fica:
ν d = 0 , 8 ⋅ ξ lim (eq. 33)
Levando esse valor na (eq. 27) de equilíbrio: ⎟ ⎠
= ⋅⎛^ ⋅ −
μ d O ν d κ h^ ν d
d^2 d (^) O h d
μ = ⋅κ ⋅ν −^ ν (eq. 23)
Nota-se que é a mesma equação obtida através da formulação da zona B.
1.4.4 Caso particular de flexão simples com armadura dupla
No caso da flexão simples, Nd = 0 ( νd = 0) e as armaduras ω 1 e ω 2 são determinadas pelas expressões:
( h )
d h κ ω μ ξ κ ξ −
0 , (^8) lim 1 0 , (^4) lim 2
2 ( 2 ) 0 ,^8 lim
lim ξ
h
d d (eq. 34)
( h ) sd yd
d d (^1) f 1 2
lim
κ^ σ
(eq. 35)
1.5 Zona D Na zona D, sendo As 1 = 0 e As 2 tracionada, o problema fica com 2 equações e 2 incógnitas (ξ e ω 2 ), tendo solução única.
cd
d
h/
As 2 .f yd
0,85.f cd
d'
e
Md Nd As 2
xlim y
s2d
(fig. 10) Equações de equilíbrio
Nd = 0 , 85 ⋅ fcd ⋅ b ⋅ 0 , 8 x − As 2 ⋅ σ s 2 d (eq. 36)
Md = 0 , 85 ⋅ fcd ⋅ b ⋅ 0 , 8 x ⋅ ( 0 , 5 h + 0 , 4 x ) + As 2 ⋅ σ s 2 d ⋅( d − 0 , 5 ⋅ h ) (eq. 37)
Dividindo a (eq. 37) por 0 , 85 ⋅ f (^) cd ⋅ b ⋅ d e a (eq. 38) por 0 , 85 ⋅ f (^) cd ⋅ b ⋅ d^2 , fica:
yd d sd f
ν = 0 , 8 ⋅ξ−ω 2 ⋅^ σ^2 (eq. 38)
( ) ( h )
yd d h sd
f^ κ
μ = 0 , 8 ⋅ξ⋅ 0 , 5 ⋅κ − 0 , 4 ⋅ξ +ω ⋅σ^2 ⋅ 1 − 0 , 5 ⋅
2 (eq. 39)
Da (eq. 36) tem-se:
= ⋅⎛^ ⋅ −
μ do ν d κ h^ ν d
d^2 do h d
μ = ⋅κ ⋅ν −^ ν (eq. 23)
1.6 Zona E Na zona E As 1 e As 2 são tracionadas. São três as incógnitas: As 1 (ω 1 ), As 2 (ω 2 ) e x (ξ) e apenas duas equações de equilíbrio. São infinitas as soluções. A solução mais econômica é aquela em que σs1d = σs2d = f (^) yd (as duas armaduras escoando). Como na zona E o concreto não trabalha, pode-se determinar ω 1 e ω 2 diretamente das equações de equilíbrio, sem determinar o valor de ξ.
10‰
As 2. s2d
As (^1) s1d As 1. s1d
s2d
x
As 2
Nd
Md
e d'
h/ d
(fig. 11) Na zona E está-se no domínio 1. Basta impor x de tal ordem que εs1d ≥ εyd. Com isso, garante-se σs1d = σs2d = f (^) yd. Equações de equilíbrio:
Nd = − ( As 1 + As 2 ) ⋅ fyd (eq. 46)
Md = As 2 ⋅ fyd ⋅ ( d − 0 , 5 ⋅ h ) − As 1 ⋅ fyd ⋅( d − 0 , 5 ⋅ h ) (eq. 47)
Dividindo a (eq. 46) por 0 , 85 ⋅ f (^) cd ⋅ b ⋅ d e a (eq. 47) por 0 , 85 ⋅ f (^) cd ⋅ b ⋅ d^2 , fica:
ν d =− ω 1 − ω 2 (eq. 48)
μ d = ω 2 ⋅ ( 1 − 0 , 5 ⋅ κ h ) − ω 1 ⋅( 1 − 0 , 5 ⋅ κ h ) (eq. 49)
Resolvendo o sistema, vem:
( h )
d d h
1 (eq. 50)
( h )
d d h
2 (eq. 51) Deve-se observar que, por convenção, quando a força normal é de tração, νd resulta negativo. No caso particular da tração simples, onde μd = 0, resulta:
( h )
d h
1 2
ω = ω =−^ ν^ d (eq. 52)
1.6.1 Limite com a Zona D Como na zona D tem-se ω 1 = 0, basta fazer ω 1 = 0 na equação que permite seu cálculo, chegando-se a :
μ d D − E =− ν d ⋅ ( 1 − 0 , 5 ⋅ κ h ) (eq. 53)
1.7 Limite entre a 6 Zonas
Para determinar as armaduras, uma vez dados os valores de νd , μd e Kh , o primeiro passo consiste em determinar em que zona se encontra a solicitação.
Reunindo os resultados encontrados, tem-se:
- Nk = -490 kN, Mk = 100 kN.m G.1) Nk = 1400 kN e Mk = 90 kN.m
0 , 851 ,^242057
⋅ ⋅ ⋅^2 =
d
d
Pesquisa da zona de solicitação
κ h = 5760 = 1 , 053
Como ν d > κ h só pode ser zona A, B ou C.
Teste no limite entre as zonas A e B:
μ d A − B = ( ν d − κ h ) (⋅ 1 − 0 , 5 ⋅ κ h )
μ dA − B = ( 1 , 416 − 1 , 053 ) (⋅ 1 − 0 , 5 ⋅ 1 , 053 ) = 0 , 172
Como μ d = 0 , 160 < μ dA − B →zona A
Fórmulas:
= (^) ⋅ ⋅ − − ⋅ h h d d sd
fyd κ
yd
sd f
( 1 0 , 51 , 053 ) 1 ,^0530 ,^0132
1 , 416 0 ,^160
( 1 0 , 51 , 053 ) 1 ,^0530 ,^3629
1 , 416 0 ,^160
As 1 (^) = 11 , 55 cm^2 As 2 (^) = 0 , 42 cm^2
G.2) Nk = 790 kN e Mk = 140 kN.m
0 , 851 ,^242057
⋅ ⋅ ⋅^2 =
d
d
lim
lim ⋅ =
Como 0 , 8 ⋅ ξlim< ν d < κ h →Zona O, B ou C.
Teste no limite da zona O:
0 , (^52) d^2 do h d
μ = ⋅κ ⋅ν −^ ν
0 , 51 , 053 0 , 799 0 ,^79920 , 101
2
μ do = ⋅ ⋅ − =
Como μ d > μ dO →zonas B ou C.
Teste no limite entre as zonas B e C:
μ dB − C = 0 , 799 ⋅ ( 1 − 0 , 5 ⋅ 1 , 053 ) + 0 , 376 − 0 , 8 ⋅ 0 , 6284 ⋅( 2 − 1 , 053 )
μ dB − C = 0 , 278
Como μ d < μ dB − C →zona B.
ξ= 1 , 25 ⋅ ( 1 , 053 − 1 ) + 1 , 5625 ⋅( 1 − 1 , 053 ) 2 +^0 ,^799 −^0 ,^5 ⋅^0 , 0799 , 32 ⋅^1 ,^053 −^0 ,^248
ξ = 0 , 708 → domínio 4.
Deformação na armadura 1:
ξ ε ξ κ h sd
ε sd ε yd
(^1) = 1 , 0 yd
sd f
σ
Taxa de armadura:
1 2
1
1
7 , 41
As cm
d
=
As 2 (^) = 2 , 57 cm^2
G.4) Nk = 300 kN e Mk = 112 kN.m
0 , 851 ,^242057
⋅ ⋅ ⋅^2 =
d
d
Pesquisa da zona de solicitação.
Sendo ν d < 0 , 8 ⋅ ξlim= 0 , 5027 →Zona O, D ou C.
Limite com a zona O: 0 , (^52) d^2 do h d
μ = ⋅κ ⋅ν −^ ν
0 , 51 , 053 0 , 303 0 ,^30320 , 114
2
μ do = ⋅ ⋅ − =
Como μ d > μ dO →zonas D ou C.
Limite entre as zonas C e D:
μ d C − D = ν d ⋅ ( 0 , 5 ⋅ κ h − 1 ) + μ d lim
μ dC − D = 0 , 303 ⋅ ( 0 , 5 ⋅ 1 , 053 − 1 ) + 0 , 376
μ dC − D = 0 , 232
Como μ d < μ dC − D → zona D.
Posição da linha neutra.
ξ = 1 , 25 − 1 , 5625 −ν d ⋅^1 −^0 ,^5 ⋅κ h +^ μ d
ξ= 1 , 25 − 1 , 5625 −^0 ,^303 ⋅^1 −^0 ,^5 ⋅^1 ,^053 +^0 ,^199
Sendo ξ< ξlim→ σ s 2 d = fyd
Armadura tracionada:
ω 2 = 0 , 8 ⋅ ξ− ν d
As 2 (^) = 4 , 32 cm^2
G.5) Nk = -490 kN e Mk = 395 kN.m
0 , 851 ,^242057
2
d
d
Pesquisa da zona de solicitação. Por se tratar de flexo-tração, as zonas possíveis são C, D e E. Limite entre as zonas C e D.
μ d C − D = ν d ⋅ ( 0 , 5 ⋅ κ h − 1 ) + μ d lim
μ dC − D =^ (^ − 0 , 496 ) (⋅^0 , 5 ⋅ 1 , 053 − 1 )^ + 0 , 376
μ dC − D = 0 , 611
Sendo μ d > μ dC − D →zona C.
Determinação das armaduras:
( h )
d h d h
0 , (^8) lim 1 0 , (^4) lim 1 0 , 5 2
Para determinar ω 1 necessita-se da relação σ s 2 d fyd.
ε sd ε yd
Logo, σ s 1 d fyd = 1 , 0
yd
sd
d (^1) f 1 0 ,^8 lim^2
