DEMONSTRAÇÕES DE TEOREMAS (parte 1)
Função logarítmica natural
Teorema 1: ln 1=0
Prova
A função logarítmica natural é a função definida por
ln x= x > 0
Se x=1, temos:
ln 1=
O segundo membro acima é zero, pela definição:
Se f(a) existe, então
Desta forma, temos;
ln 1=0
Teorema 2: Se a e b forem números positivos quaisquer,então
ln (ab) = ln a+ ln b
Prova
Considere a função f definida por
F(x)=ln(ax) onde x > 0.Então,
F’(x) =(a) → a derivada do logaritmo natural de uma função u é
F’(x) =
Portanto, as derivadas de ln(ax) e ln(x)são iguais.Assim, observando
o teorema a seguir:
Se f e g forem duas funções, tais que f’(x) = g’(x) para todo x no
intervalo I, então haverá uma constante K, tal que
f(x)=g(x)+K para todo x em I
Desta forma, há uma constante K, tal que
ln(ax)=ln x+ K para todo x > 0
