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Neste documento, aprende-se a derivar funções constantes, funções potências, funções polinomiais e funções exponenciais. As regras de derivação são apresentadas e ilustradas com exemplos.
Tipologia: Notas de estudo
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© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
Derivadas de funções
Polinomiais e Exponenciais
Nesta seção, nós aprenderemos sobre:
Como derivar as funções constantes, funçõespotências, funções polinomiais e exponenciais.
REGRAS DE DERIVAÇÃO
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Vamos iniciar com a função mais simples, afunção constante,
f
x
c
O gráfico dessa função é a reta horizontal y = c
, cuja inclinação é 0;
logo, devemos ter f’
x
) = 0 (veja a figura).
FUNÇÃO CONSTANTE
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Essa regra, na notação de Leibniz, é escrita desta forma:
DERIVADA
( )
0
d
c
dx
=
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Vamos olhar a função
f
(x) = x
n
, onde
n
é
um inteiro positivo.
Se
n
= 1, o gráfico de
f (x) = x
é a reta
y = x
, cuja inclinação é
1 (veja a figura).
Logo,
FUNÇÃO POTÊNCIA
Equação 1
( )
1
d
x
dx
=
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Para
n =
4 achamos a derivada de
f
x
x
4
a seguir:
FUNÇÃO POTÊNCIA
(
)
4
4
0
0
4
3
2
2
3
4
4
0
3
2
2
3
4
0
3
2
2
3
3
0
(
)
( )
(
)
'( )
lim
lim
4
6
4
lim
4
6
4
lim lim 4
6
4
4
h
h
h h h
f
x
h
f
x
x
h
x
f
x
h
h
x
x h
x h
xh
h
x
h
x h
x h
xh
h
h
x
x h
xh
h
x
→
→
→ → →
−
−
=
=
−
=
= =
=
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Assim,
Comparando as equações em (1), (2) e (3), vemosum modelo emergir.
Parece ser uma conjectura razoável que, quando
n
é
um número inteiro, (
d/dx
)(
x
n
) =
nx
n-
1
.
Resulta que isto é de fato verdade.
FUNÇÃO POTÊNCIA
Equação 4
4
3
(
)
4
d
x
x
dx
=
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Ilustraremos a Regra da Potência usandovárias notações no Exemplo 1. a.
Se
f
(
x
) =
x
6
, então
f’
(
x
) = 6
x
5
.
b.
Se
y = x
, então
y’
= 1.
x
999
.
c.
Se
y = t
4
, então
= 4
t
3
.
d.
= 3
r
2
REGRA DA POTÊNCIA
EXEMPLO 1
3
(
)
d
r
d r
dy
dt
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O que dizer sobre as funções potências comos expoentes negativos?
No Exercício 61 solicitamos que você verifique,a partir da definição de derivada, que
INTEIROS NEGATIVOS
2
d
dx
x
x
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E se o expoente for uma fração? FRAÇÕES
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E se o expoente for uma fração?
No Exemplo 3 da Seção 2.8 encontramos que
Podemos reescrever essa equação como
FRAÇÕES
1
2
d
x
dx
x
=
1 2
1 2
1 2
d
x
x
dx
−
=
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Se
n
for um número real qualquer,
então
A REGRA DA POTÊNCIA (VERSÃO GERAL)
1
(
)
n
n
d
x
nx
dx
−
=
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Derive: a. b.
Em cada caso reescrevemos a função comouma potência de
x
.
REGRA DA POTÊNCIA
EXEMPLO 2
2
1
( )
f
x
x
=
3
2
y
x
=
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REGRA DA POTÊNCIA
EXEMPLO 2 b
3
2
2 3
2 3
1
1 3
2 3
(
)
(
)
2 3
dy
d
x
dx
dx
d
x
dx
x
x
−
−
=
= =
=
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A Regra da Potência nos permite encontrar retas tangentes sem ter de recorrer àdefinição de derivada.
Ela também nos permite encontrar
retas
normais
RETAS TANGENTES E NORMAIS
