Conceitos e cálculo de derivadas de funções, Slides de Engenharia de Minas

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A Derivada como uma Função Nesta seção apreenderemos sobre a derivada da

função f.

LIMITES E DERIVADAS

ƒ^ Na seção precedente consideramos aderivada de uma função © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.

f^ em um número fixo^ a : ƒ Aqui, mudamos nosso ponto de vista evamos variar o número

(^ )^ ( ) f a^ h^ f a +^ −'( ) lim f a = (^0) h → h^ a. LIMITES E DERIVADAS

1.^ Equação

ƒ^ Dado qualquer número © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.

x^ para o qual esse limite exista, atribuímos a

x^ o número^ f’ (x).

-^ Assim, podemos^ considerar

f^ como^ uma^ nova função, chamada^ derivada de

f’^ e definida^ pela^ Equação

-^ Sabemos^ que^ o valor de

f’^ em^ x, f’^ ( x ), pode^

ser interpretado^ geometricamente

como^ a inclinação^ da reta^ tangente^ ao^ gráfico

de^ f^ no ponto^ ( x ,^ f^ (

x )). ƒ^ A função^ f’^ é denominada derivada de

f , pois foi “derivada” a partir de

f^ pela operação-limite na Equação 2.^ •^ O domínio^ de^ f^ é o conjunto {

x | f’ ( x ) existe} e pode

ser menor^ que^ o domínio

de^ f. A DERIVADA COMO UMA FUNÇÃO

(^3) a. Se f ( x ) = x © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.

-^ x , encontre^ uma

fórmula^ para f’ ( x ). b. Ilustre, comparando

os^ gráficos^ de

f^ e^ f’. A DERIVADA COMO UMA FUNÇÃO

Exemplo 2

ƒ^ Assim, © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.

(^3) ( ) (^ ) 3 0

(^ )^ ( )^0

'( )^ lim^

lim

h^

x^ h^ x^ h^ h

x^ x

f^ x^ h^ f^ xf x h^

h

→^

⎡^ →

⎤^ ⎡^ ⎤+ − + −^ −⎣^ ⎦

+^ −^ ⎣^

=^

= 3 2 2 3 33 3 x x h xh h^ x^ h^ x^ x + + +^ −^ −^ −^ +lim 0 h → h

=^2 2

2 2 0

0

3 3 lim

lim(3^3

h^

h

x^ xh^ h^ h^

x^ xh^ h h

→^

+^ +^ − →

=^

=^ +^ +^

A DERIVADA COMO UMA FUNÇÃO^23 1 x =^ −

Exemplo 2 a

ƒ^ Vamos fazer os gráficos de © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.

f^ e^ f’^ utilizando alguma ferramenta gráfica.^ •^ Observe que^ f’ ( x

) = 0 quando^ f^ tem tangentes horizontais e que^ f^ ( x ) é^ positivo^ quando

as tangentes têm^ inclinação^ positiva. • Assim, esses^ gráficos

servem^ como^ verificação

do

A DERIVADA COMO UMA FUNÇÃO trabalho^ feito^ em^ (a).

Exemplo 2 b

ƒ^ Vejamos se o resultado do Exemplo 3 érazoável observando os gráficos de© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.

f^ e^ f’^ na Figura.^ •^ Quando^ x^ estiver

próximo^ de 0,^ estará

próximo^ de 0.

-^ Então,^ f’(x)^ = 1/(^

) é^ muito^ grande.

-^ Isso^ corresponde^

a retas^ tangentes^ íngremes

próximas de (0, 0) na^ Figura^ 4(a) e a grandes

valores^ de^ f’^ ( x ) logo à^ direita^ de 0 na^ Figura

4(b). A DERIVADA COMO UMA FUNÇÃO

x x

ƒ^ Quando^ x^ for grande, © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.

f’^ ( x ) será muito pequena^ •^ Isso^ corresponde

ao^ achatamento^ das retas

tangentes no extremo^ direito^ do gráfico

de^ f^ e à^ assíntota horizontal do gráfico

de^ f’. A DERIVADA COMO UMA FUNÇÃO

ƒ^ Se usarmos a notação tradicional© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.

y^ =^ f ( x ) para indicar que a variável independente é x^ enquanto^ y^ é a variável dependente,então algumas notações alternativas para aderivada são as seguintes:^ '( )^ '^

( )^ ( )^

( ) x dy^ df^ df x y f^ x

Df^ x^ D f^

x =^ =^ =^ =^ dx^ dx^ dx

=^ = OUTRAS NOTAÇÕES

ƒ^ Os símbolos^ © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.

D^ e^ d / dx^ são chamados operadores diferenciais , pois indicam aoperação de diferenciação , que é oprocesso de cálculo de uma derivada. ƒ^ O símbolo^ dy/dx

, introduzido por Leibniz, não deve ser encarado como um quociente(por ora).^ •^ Trata-se simplesmente

de um sinônimo^ para

f’ ( x ).

-^ Todavia, essa^ notação

é^ muito^ útil^ e proveitosa, especialmente^ quando

usada^ em^ conjunto

com a

OTHER NOTATIONS notação^ de incremento.

ƒ^ Para indicar o valor de uma derivada© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.

dy/dx na notação de Leibniz em um númeroespecífico^ a,^ usamos a notação^ ou que^ é^ um sinônimo x^ a^ para^ f’ ( a ). dy dx^ = dy^ ⎤^ x^ a =⎥ dx^ ⎦ OUTRAS NOTAÇÕES

ƒ^ Uma função^ f © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.

é^ derivável ou diferenciávelem a se f’ ( a ) existir. ƒ^ É^ derivável ou diferenciável em umintervalo aberto

( a, b ) [ou^ ou^

ou^ ] se for diferenciável^ em

3. Definição ( , ) a −∞ ( , )−∞ ∞ ( , ) a ∞ cada número^ do intervalo. OUTRAS NOTAÇÕES

-^ Analogamente, para © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.

x^ < 0, temos^ | x | = -x e

podemos^ escolher

h^ suficientemente

pequeno^ para

que^ x^ +^ h^ < 0, e, assim, |

x^ +^ h | = -( x^ +^ h ).

-^ Portanto, para^

x^ < 0,

-^ E dessa^ forma^ f^ é

diferenciável^ para^ qualquer

x^ < 0.

(^0 00

)^ (^ )

'( )^ lim^

lim

lim^ lim( 1)^

h^ h^1

x^ h^ x^ h h

x^ h^ x

f^ x^ h^

h

+^ −^ → → h → → h

−^ +^ − −

=^ = −= =^ −^ = −

Exemplo 5 OUTRAS NOTAÇÕES

-^ Para^ x^ = 0, temos © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.

de averiguar^ (se ele

existir) (0^ )^ (0) f h^ f +^ −'(0) lim f = (^0) h → h | 0 |^ | 0 | h +^ −lim= (^0) h → h Exemplo 5 OUTRAS NOTAÇÕES