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4. AS FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
4.1. A FUNÇÃO EXPONENCIAL
Vimos no capítulo anterior que dado a ∈ R (^) +*^ , a potência ax pode ser definida
para qualquer número x ∈ R. Portanto, fixando a ∈ R (^) +*^ , podemos definir uma função
que a cada x ∈ R associa ax^ ∈ R *+^. Esta função será chamada de função exponencial
de base a.
Definição
Seja a ∈ R (^) +^ *^ , a ≠ 1. Chama-se função exponencial de base a , a função f R R x a x
Observações
A exigência a ≠ 1 é para que a função exponencial não seja uma função constante.
Segue da propriedade P (^) 9), vista anteriormente para potências, que Im( f ) = R *+^ , ou
seja, f é sobrejetora.
- Das propriedades P 6 ) e P (^) 7), temos que a função exponencial é estritamente crescente para a > 1, e estritamente decrescente para 0 < a < 1.
Apresentamos a seguir o gráfico da função exponencial nos casos a > 1 e 0 < a < 1.
a > 1 0 < a < 1
Para o traçado desses gráficos, utilizamos os seguintes fatos:
- Se a > 1, o gráfico de f aproxima-se do eixo Ox quando x decresce indefinidamente. Dizemos que o eixo Ox é uma assíntota horizontal do gráfico de f e usamos a notação
xlim →−∞^ a^ =^0
x
Quando x cresce indefinidamente , ax^ também cresce indefinidamente e então
xlim →+∞ a^ = +∞
x
- Se 0 < a < 1, o gráfico de f aproxima-se do eixo Ox quando x cresce indefinidamente. Dizemos que o eixo Ox é uma assíntota horizontal do gráfico de f e usamos a notação
xlim →+∞ a^ =
x (^) 0.
Quando x decresce indefinidamente, ax^ cresce indefinidamente e então
D]
i) Suponhamos, por absurdo, que x 1 ≥ x 2. Como a > 1, a função exponencial é
crescente, logo a x^1 ≥ ax^2 , o que contradiz a hipótese.
ii) Análogo ao item i).
Da Proposição 4.2. e das observações feitas anteriormente sobre o crescimento e decrescimento da função exponencial, concluímos:
i) Para a > 1, a x^1 < ax^2 ⇔ x 1 < x 2.
ii) Para 0 < a < 1, a x^1 < ax^2 ⇔ x 1 > x 2.
4.2. A FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Trabalhamos anteriormente com a parte operacional dos logaritmos. Aprendemos
que, fixado como base um número real a , positivo e diferente de 1 ( a ∈ R *+^ , a ≠ 1),
temos que para cada número real número real x positivo, o número log (^) ax existe e é
único. Estas condições de existência e unicidade nos dão a possibilidade de tratar os logaritmos, assim como fizemos com os expoentes, sob o ponto de vista da teoria das funções, pois a idéia básica na definição de função é que a cada elemento x de um conjunto A se faça corresponder um único elemento y de um conjunto B.
Definição
Seja a ∈ R (^) +^ *^ , a ≠ 1. Chama-se função logaritmica de base a , a função g : R *+^ → R x → log (^) ax
Proposição 4.
Seja g : R (^) +^ → R, a ∈ R (^) +^ , com a ≠ 1. Temos x → log (^) ax
i) Se a > 1 então g é estritamente crescente. ii) Se 0 < a < 1 então g é estritamente decrescente.
D]
i) Sejam a > 1, x , x 1 2 ∈ R (^) +* e suponhamos que x 1 < x 2
Consideremos que
y 1 = (^) log xa 1 ⇔ a y^1 = x 1 e y 2 = (^) log xa 2 ⇔ a y^2 = x 2
De x 1 < x 2 temos que a^ y^1^ <^ ay^2. Como a > 1, como consequência da Proposição
4.2, segue-se que y 1 < y 2 , ou seja, (^) log (^) a x 1 < (^) log (^) a x 2.
ii) A demonstração é análoga ao caso i)
Proposição 4.
Seja g : R (^) +*^ → R, a ∈ R *+^ , com a ≠ 1. x → log (^) ax
i) Para a > 1, loga x 1 < log (^) a x 2 ⇒ x 1 < x 2.
ii) Para 0 < a < 1, log xa 1 < log xa 2 ⇒ x 1 > x 2.
D]
i) Consideremos que
y 1 = log xa 1 ⇔ a y^1 = x 1 e y 2 = log xa 2 ⇔ a y^2 = x 2.
Se x 1 e x 2 ∈ R *+, então:
D] As funções f e g são bijetoras, logo admitem inversas. Além disso,
g(f( )) x = log aa x = x , ∀ x ∈ R e f(g( ) x = a log^ ax = x, ∀ x ∈ R *+ O fato da função logarítmica ser a inversa da exponencial nos permite construir o seu gráfico usando a simetria em relação à 1a^ bissetriz.
( a > 1)
Observando o gráfico anterior concluímos: 1) O gráfico passa pelo ponto (1,0). 2) (^) xlim g(x) → 0 + = −∞ e (^) xlim g(x)→+∞ = +∞.
3) O eixo Oy ( x = 0 ) é assíntota do gráfico de g.
(0 < a < 1)
Neste caso temos: 1) O gráfico passa pelo ponto (1,0). 2) x 0 x
lim g(x)^ e^ lim g(x) → +^ →+∞
3) O eixo Oy ( x = 0 ) é assíntota do gráfico de g.
Trabalharemos a seguir com exemplos de funções obtidas a partir de funções logarítmicas, aplicando-se operações com funções, tais como, composição, soma, multiplicação, etc.
Exemplos
1) Determine o domínio das seguintes funções:
a) f(x) = log (x 2 2 −1)
2) Esboce o gráfico das seguintes funções, indicando o domínio, a imagem e assíntota vertical. a) f(x) = 1 +lnx
Solução: Temos y = 1 + lnx ⇔ y − 1 = lnx
Fazendo y − 1 = y’ e x = x’ transladamos os eixos coordenados para a nova
origem O’(0,1) e construímos no novo sistema o gráfico de y' = lnx'.
D(f) = R *+^ , Im(f) = [1, +∞[. A reta x = 0 é assíntota vertical.
b) f(x) = 2 + ln(1 −x)
Solução: Temos que
y − 2 = ln(1 − x) = ln(−(x − 1))
Fazendo y − 2 = y’ e x − 1 = x’, transladamos os eixos coordenados para a nova
origem, O’(1,2) e construímos no novo sistema o gráfico de y’= ln(−x’)
D(f) = ]− ∞,1[, Im(f) = R.
x = 1 é assíntota vertical.
c) f −^1 (x), sendo f(x) = 1 + ex +
Solução:
Vamos determinar, inicialmente, f −^1 (x) :
y = 1 + e x^ +^2 ⇔ y − 1 = e x^ +^2 ⇔ ln(y − 1) = x + 2 ⇔ x = ln(y − 1) − 2.
Temos assim que f −^1 (x) = ln(x − 1) − 2.
Fazendo y + 2 = y’ e x − 1 = x’, construímos o gráfico da função y’= lnx’no novo
sistema cuja origem é O’(1, −2).
x (^) y = x2 y = ex 0 0 1 cm 3 9 20 cm 5 25 148 cm 10 100 220 cm 15 225 33 km 20 400 4.852 km 30,3357 920 Distância da Terra ao Sol 41,39 1.713 1 ano-luz 42,85 1.836 4,3 anos-luz ... ... ... ( Distância da Terra ao sol = 149.500.000) (1 ano-luz = 946.728 x 10^7 km) (4,3 anos-luz = 407.093 x 10^8 = distância da estrela mais próxima do Sol) Estes poucos cálculos mostram claramente o quão rapidamente cresce a função exponencial com o crescer do seu argumento.
Em correspondência ao rápido crescimento da exponencial está o vagaroso crescimento da função logarítmica. Assim, se a 3 a^ coluna da tabela representar y temos que a nossa 1 a^ coluna representa o logaritmo na base e de y. Para conseguirmos subir 5cm na vertical das ordenadas é preciso fazer y = 148cm. Para subir 10cm é preciso andar 220m na horizontal.
4.4. EXERCÍCIOS
4.1. Esboce o gráfico das seguintes funções:
a) f(x) = 3 x+1^ ; b) f(x) = 12 − 1; c) f(x) = − − ; d) f(x) = e- x
x x 2
4.2. Mostre que a função f ( ) x = ( m^2 − 2 m + 3 ) x é crescente para qualquer m ∈ R.
4 .3. Determine o domínio das seguintes funções:
a) b)
c) d)
f x f x x x
f x x f x
x x
x (^) x x
( ) (. ) ( ) log (log (^ ))
( ) log ( ) ( ) ( ).
− (^) − −
2 1 3 5 (^3 )
4.4. Determine a expressão que define a inversa de cada função abaixo, indicando o domínio e a imagem de f -1. a) b) c) d) (Use o fato que x < x 2 , x R)
f x x f x f x f x
x
x x^ x
( ) log ( ) ( ) log ( ).
−
5 2 3
4.5.Esboce o gráfico das funções definidas pelas seguintes sentenças: a) b) c) d) e) f)
f x x f x x f x x f x x f x x f x x
( ) log ( ) log ( ) ( ) log ( ) log ( ) log ( ) log ( )
/ / /
2 1 2 2 1 2 2 1 2
4.6. Mostre que se a,b ∈ R (^) +^ e x ∈ R então ax = bx^ ⇒ a = b.Esta propriedade é válida em geral?
