DERIVADAS
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Prof. Alexandre Ortiz Calvão
Derivada de uma função. A derivada de f em x é
dada por
f'(x)=Limx 0 [f(x+x)-f(x)]/x
desde que o limite exista.
Derivada de f(x) no ponto a é a inclinação da reta
tangente ao gráfico de f no ponto (a,f(a))
f'(a)=Limx 0 [f(a+x)-f(a)]/x
e determina a taxa de variação instantânea de f em a.
Taxa de variação média de f em [a,b] =
[f(b)-f(a)]/(b-a)
Esta relação é a inclinação da reta secante de f(x) em
um intervalo [a,b].
As unidades de f'(x) são: Unidades de f(x)/Unidades de x.
DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA. Se y está definida
implicitamente por uma equação como função de x,
então, para calcular dy/dx devemos diferenciar a
equação(lembrando de aplicar a regra da cadeia)
(d/dx)f(g(x))=f'(g(x)).g'(x)
Informações dadas pela derivada
Primeira derivada
- Se f'>0 em um intervalo, então f é crescente nesse
intervalo.
-Se f'<0 em um intervalo, então f é decrescente nesse
intervalo.
Segunda derivada
- Se f''>0 em um intervalo, então f é convexa, nesse
intervalo. (côncava para cima)
- Se f''<0 em um intervalo, então f é côncava, nesse
intervalo. (côncava para baixo)
Linearidade local
- A reta tangente em (a,f(a)) é o gráfico de
y=f(a)+f'(a)(x-a).
- Aproximação pela reta tangente. Para valores de
x perto de a,
f(x) ≈ f(a)+f'(a)(x-a).
A expressão f(a)+f'(a)(x-a) é chamada de linearização
local de f perto de x=a.
APLICAÇÕES
Regra de L'Hospital. Se f e g são contínuas,
f(a)=g(a)=0 e g'(a)≠0, então
Limx f(x)/g(x) = f'(x)/g'(x)
MÁXIMOS E MÍNIMOS LOCAIS. f tem um máximo
local em p se f(p) é maior ou igual ao valor de f em
todos os pontos próximos a p. f tem um mínino local
em p se f(p) é menor ou igual ao valor de f em todos
os pontos próximos a p.
MÁXIMOS E MÍNIMOS GLOBAIS em um intervalo. f
tem um máximo global em p se f(p) é maior ou igual
ao valor de f em todos os pontos do intervalo. f tem
um mínimo global em p se f(p) é menor ou igual ao
valor de f em todos os pontos do intervalo.
PONTO CRÍTICO. Um ponto crítico de uma função
f(x) é um ponto no domínio de f onde f'(p)=0 ou f'(p)
não está definida.
Teorema. Os máximos e mínimos que não ocorrem
nos extremos do domínio ocorrem nos pontos críticos.
O TESTE DA PRIMEIRA DERIVADA PARA
MÁXIMOS E MÍNIMOS. a) Se f' troca de sinal em p,
de negativa para positiva, então f tem mínimo local
em p. b) Se f' troca de sinal em p, de positiva para
negativa, então f tem máximo local em p.
O TESTE DA SEGUNDA DERIVADA PARA
MÁXIMOS E MÍNIMOS LOCAIS. a) Se f'(p)=0 e
f''(p)>0, então f tem um mínimo local em p. b) Se
f'(p)=0 e f''(p)<0, então f tem um máximo local em p.
c) Se f'(p)=0 e f''(p)=0, nada podemos afirmar.
Para encontrar máximos e mínimos globais de uma
função em um intervalo, comparamos os valores de f
em todos os pontos críticos do intervalo e os valores
de f nos extremos do intervalo (Limx->∓∞ se o intervalo
é ilimitado)
Ponto de inflexão de f é um ponto onde o gráfico de
f muda de concavidade; f'' é zero ou não está definida
em um ponto de inflexão.
Teoremas sobre Derivadas
TEOREMA DE ROLLE
Se uma função é contínua em um intervalo fechado
[a,b], derivável no intervalo aberto (a,b) e se
f(a)=f(b), então f'(c)=0 para ao menos um número c
em (a,b).
Se uma função é contínua em um intervalo fechado
[a,b], e se f(a)=f(b), então f tem ao menos um um
ponto crítico no intervalo aberto (a,b).
TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO
Se uma função é contínua em um intervalo fechado
[a,b], e é diferenciável no intervalo (a,b), então existe
um número c em (a,b), tal que
f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)
Uma função diferenciável é contínua. Se f é
diferenciável no ponto x=a, então f é contínua em a.
Obs. Uma função pode ser contínua em um ponto e
não ser diferenciável nele.
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côncava
convexa
Ponto de inflexão
Ponto de máximo
Ponto de mínimo
Pontos de
inflexão
f(x)
b
a
Teorema de Rolle
g(x)
b
a
Teo. Val. Intermediário
