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Álgebra
Porcentagem
Taxa percentual ou porcentagem de um número a sobre um número b , b ≠ 0 é a razão
x
tal que: x
100 b
= a^ , e se indica: x^ x%
A palavra porcentagem deriva de por (dividido) e centagem (100). Quando se fala x % de
um número, significa multiplicar este número por
x
Exemplo: 15 % de 200 = 15. 200 30
Potenciação
Definições
0 n n 1
a R a 1
a R e n N a a −^. a
Propriedades
1. a m^. a n^ =a m^ +n
m m n n
a
a , a
a
= −^ ≠ 0
n
3. (am^ )n^ = am. n
4. (a. b)n^ = an^. b
5. (a : b)n^ = an^ : bn^ , b ≠ 0
6. a – n^ = n
, a 0
a
Nota: Em geral ( )
n n
am^ ≠ am
Em geral ( a + b) n^ ≠ a n^ + bn
Radiciação
Propriedades
1. n^ a. b = n^ a. n^ b
2. n^ a : b = n^ a : n^ b , b ≠ 0
n m^ n^ m
a = a
4. m^ n^ a = n. m^ a
m
n a m = an
6. n. p^ am. p^ = n^ am
Produtos notáveis
(a + b) × (a – b) = a^2 - b^2
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
(a – b) 2 = a^2 – 2ab + b^2
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3
(a – b) 3 = a^3 – 3a^2 b + 3ab^2 – b 3
(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 × (ab + ac + bc)
Fatoração
ab + ac = a × (b + c)
ab + ac + db + dc = a × (b + c) + d × (b + c) = (b +c) × (a + d)
a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2
a^2 – 2ab + b^2 = (a – b)^2
ax^2 + bx + c = a.(x – a 1 ) × (x – a 2 ), onde a 1 e a 2 são as raízes de ax^2 + bx + c = 0.
a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3 = (a + b)^3
a^3 – 3a^2 b + 3ab^2 – b 3 = (a – b)^3
a^3 + b^3 = (a + b) × (a^2 – ab + b^2 )
a^3 – b 3 = (a – b) × (a^2 + ab + b^2 )
a^2 + b^2 +c^2 + 2 × (ab + ac + bc) = (a + b + c)^2
Números naturais
Números primos : Um número natural e maior que 1 é primo se ele tiver apenas dois divisores naturais distintos: 1 e ele mesmo.
Números primos entre si : Dois números naturais são primos entre si se o único divisor natural comum entre eles for 1.
Quantidade de divisores naturais de um número natural
Se n = ap.bq.cr.ds^ ..., então n tem (p+1) × (q+1) × (r+1)... divisores positivos, sendo n um número natural e a, b, c, d, ... fatores primos do número n.
Seqüências
Definições
Seqüência real é toda função f : I ® R, onde I = N* ou I = {1, 2, 3, ... ..., n} Se I = N*, a seqüência é chamada infinita. Se I = {1, 2, 3, ... ..., n} , a seqüência é chamada finita.
Progressão Geométrica (PG)
Definição
Progressão geométrica (PG) é toda seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante q, que é chamada razão da P.G.
Conseqüência da definição:
Se an ¹ 0, então q = a a
n 1 n
- (^) ; ou seja, encontramos a razão da PG dividindo um termo
qualquer pelo seu antecessor.
Classificação das PG´s:
Uma PG pode ser:
I.Crescente: quando an+1 > an Exemplo: PG(1, 2, 4, 8, 16, ...), q = 2 II.Decrescente: quando an+1 < an Exemplo: PG(81, 27, 9, 3, 1, ...), q = 1/
III. Constante: quando an+1 = an Exemplo: PG(2, 2, 2, 2, 2, ...), q = 1
IV.Alternante: quando a 1 ¹ 0 e q < 0 Exemplo: PG(2, – 4, 8, – 16, 32, ...), a 1 = 2 e q = –
V. Não decrescente: quando a 1 < 0 e q = 0 Exemplo: PG(– 2, 0, 0, 0, 0, ...), a 1 = – 2 e q = 0
VI.Não crescente: quando a 1 > 0 e q = 0 Exemplo: PG(5, 0, 0, 0, 0, ...), a 1 = 5 e q = 0
Fórmula do termo geral da PG
Termos eqüidistantes em PG
Na PG genérica: PG(a 1 , a 2 , a 3 ,... ..., ap-1, ap, ap+1,... ...,an), então:
Produto dos n primeiros termos de uma PG (Pn)
Seja a PG genérica: PG(a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ......). Assim:
Conseqüência : Para obtermos um termo qualquer an, a partir de um termo de ordem p
(ap ), poderemos utilizar a regra:
an = a 1 × qn – 1^ , n Î N*
an = ap × qn – p^ , n,p Î N*
(ap ) 2 = (ap – k) × (ap + k ), p,k Î N*
Seja a PG(a 1 , a 2 , a 3 , ..., an , ..., .... ) indicaremos por P (^) n o produto de seus n primeiros
termos. Assim: P (^) n = a 1 n^ ×q
n(n 1) 2
× - ou Pn = (a 1 × an )
n 2
Soma dos n primeiros termos de uma PG (Sn)
Soma dos termos de uma PG infinita (S)
Seja a P.G. = (a 1 , a 2 , a 3 ,... , an,... ) de razão q e a soma de seus infinitos termos Sn = a 1 + a 2 + a 3 +... + an +... (série) Quando lim S = S n ®¥ n existe e é finito, dizemos que a série converge para S. Quando esse limite não existe ou não é finito dizemos que a série diverge (não se pode
determinar tal soma). Se – 1 < q < 1, pode-se demonstrar que: lim S = S n ®¥ n = a 1 q
1
Função Exponencial
f(x) = ax^ ; a > 0 e a (^) ¹ 1 Im (^) f = IR *+ Df = IR
Propriedades de potência
- am^. an^ = am + n
- am^ : an^ = am – n^ , a ¹ 0
- (am) n^ = am .n
- n^ a m= a m n^ , n Î IN / n >
- a– n^ =^1 a n^
, a ¹ 0
0
1
x
a > 1 função crescente
0 x
0 < a < 1 função decrescente
y y
Sn = a^ (q^ 1) q 1
1 × n-
Sn = n × a 1
Seja (a 1 , a 2 , a 3 , ..., an, ...) uma PG de razão q e indiquemos por Sn a soma de seus n primeiros termos. Assim:
Se a PG não for constante, ou seja q ¹ 1 teremos:
Se a PG for constante, ou seja q = 1 teremos:
Geometria Plana
Relações métricas no triângulo retângulo
Relações métricas no círculo
PA × PB = PC × PD PA × PB = PC × PD (PT) 2 = PA × PB
Lei dos
Lei dos cossenos
A B C
D
P
T
B
A
P
A
B
C
P D
h m n
a
b c
h^2 =m × n b × c=a × h b^2 =a × m a^2 =b^2 + c^2 (Pitágoras). c^2 =a × n
a sen
b sen
c sen
2R
a b g
a^2 = b^2 + c^2 – 2 × b × c ×cos a b^2 = a^2 + c^2 – 2 × a × c ×cos b c^2 = a^2 + b^2 – 2 × a × b ×cos g
Teorema de Tales
a 1 // a 2 // a 3 // .....
Teorema da bissetriz interna
Teorema da bissetriz externa
Semelhança de triângulos
a x
b y
c z
H
h
= = = = k Área^ ABC Área PQR
D k 2 D
AB
A' B'
BC
B' C'
CD
C' D'
AC
A' C'
AD
A' D'
x y
b c
S
A
b x
c y
c y
x
b c
C (^) B S
A
b x
c y
c^ b
A
B (^) a C
H (^) z y
P
Q (^) x R
h
Base média de trapézio
Baricentro de triângulo
Polígonos convexos
Sendo n = número de lados; d = número de diagonais; Si = soma dos ângulos internos e Se = soma dos ângulos externos,
temos: d = n(n – 3) 2
Si = (n – 2) × 180ºe Se = 360º
Áreas
Retângulo Quadrado Paralelogramo
Triângulo Trapézio
MN
// AB
MN = AB+ CD
Losango 1 Losango 2
Fórmulas especiais para área do triângulo
A 3
= l
2 A b c 2
= ×^ A = p(p – a) (p – b)(p – c)×
em que p a^ b^ c 2
= +^ +
A 1
= × a b sen× × a A = r p A a b c 4R
= ×^ ×
p a^ b^ c 2
= +^ +
Círculo
Setor circular
A R^
2 = a p×^ × 360º
A R^
2 = a× 2
A = l×R 2 a em radianos
C
B A (^) Los = (AC) (BD)× 2
R
A = p×R 2
Exemplo Contra-exemplo
Tipos de função
Função crescente e decrescente
· Uma função f é crescente em A Ì Df Û (x 1 < x 2 Þ f(x 1 ) < f(x 2 ), " x 1 , x 2 Î A). · Uma função f é decrescente em A Ì Df Û (x 1 < x 2 Þ f(x 1 ) > f(x 2 ), " x 1 , x 2 Î A).
Função injetora, sobrejetora e bijetora
· Uma f : A ® B é injetora se todos os elementos distintos em A têm imagens distintas em B (" x 1 , x 2 Î A, x 1 ¹ x 2 Þ f(x 1 ) ¹ f(x 2 )). · Uma f : A ® B é sobrejetora se todos os elementos de B são imagens de elementos de A (Im(f) = CD(f) ou " y Î B, $ x Î A / f(x) = y)
· Uma função de f : A ® B é bijetora se é injetora e sobrejetora.
Exemplos:
Função par e ímpar
· Uma função f : A ® B é par Û " x Î A, f(x) = f( – x).
· Uma função f : A ® B é ímpar Û " x Î A, f(x) = – f( – x).
Função periódica
· Uma função f : A ® B é periódica de período p Û " x Î A, f(x + p) = f(x), p > 0.
Função composta
· Dadas duas funções f e g, podemos obter uma outra função fog, tal que fog(x) = f(g(x)), chamada função composta de f com g.
1 2 3
4 5
A B f
f é sobrejetora e não é injetora
3 4 6
1 2 3
A B f
f é bijetora
1 2 3
4 5 6
A B f
f não é injetora e nem sobrejetora
1 3 5
4 3 2 1
A B f
f é injetora e não é sobrejetora
1 2 5
1 2 3
3 4 6
4 5 6
A B A B f g
f é função g não é função
· Domínio de f = D(f) = A = {1, 2, 5} · Conjunto Imagem de f = Im(f) = {3, 4} · Contradomínio = CD(f) = B = {3, 4, 6} · 4 é imagem de 5, isto é, 4 = f(5) · 4 é imagem de 2, isto é, 4 = f(2)
Função inversa
· Denomina-se inversa da função bijetora y = f(x), f : A ® B a função f– 1: B ® A, tal que f–1^ (y) = x. Observação: Para se obter a inversa de uma função f (bijetora) definida por uma sentença matemática y = f(x) a. troca-se x por y e y por x; b. coloca-se o novo y em função do novo x.
Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
Propriedades dos determinantes
a. det(At^ ) = det(A). b. Se uma linha (ou coluna) é formada só de zeros, o determinante é igual a zero. c. Quando trocamos de lugar duas linhas (ou colunas) paralelas, o determinante fica multiplicado por –1. d. Se duas linhas (ou colunas) paralelas são iguais (ou proporcionais), o determinante é igual a zero. e. Se os elementos de uma linha (ou coluna) apresentam um fator comum k, este pode ser colocado em “evidência”. f. Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então det(k.A) = kn.det(A) g. Teorema de Binet: det(A.B) = det(A).det(B) Atenção: em geral, det(A+B) ¹ det(A) + det(B) h. Teorema de Jacobi (importante para obtenção de zeros). O determinante de uma matriz não se altera quando somamos a uma linha (ou coluna) outra linha (ou coluna) paralela multiplicada por uma constante.
i. Matriz Triangular: A
= det(A) 1 4(–5) 8
é
ë
ê ê ê ê
ù
û
ú ú ú ú
Þ = × ×
Multiplicação de matrizes
a b c d
x y z w
ax + bz ay + bw cx + dz cy + dw
æ
è
çç ö ø
÷÷ ×æ è
çç ö ø
÷÷ æ è
çç ö ø
÷÷
a. Todo sistema de equações lineares apresenta apenas uma solução, ou seja, é um sistema possível e determinado (s. p. d.), quando D ¹ 0, onde D é o determinante da matriz dos coeficientes de tal sistema. b. Para os casos onde D = 0, para analisar o sistema, ou seja, dizer se o mesmo é impossível (s. i.) ou indeterminado (s. p. i.), deve-se escalonar tal sistema, eliminando ordenadamente as incógnitas das equações. A equação, na incógnita x, ax = b tem apenas uma solução para a ¹ 0; tem infinitas soluções para a = 0 e b = 0 e não tem solução para a = 0 e b ¹ 0.
Fórmulas de divisão
sen x 2
= 1– cos x 2
± cos x 2
= 1+ cos x 2
± tg x 2
= 1– cos x 1+ cos x
Fórmulas de transformação em produto
cos p+ cos q = 2 cos p+ q 2
cos p – q 2
cos p – cos q = –2 sen p+ q
× ×
×
sen p – q 2
sen p+ sen q = 2 sen p+ q 2
cos p – q 2
sen p – sen q =
×
× ×
2 sen p – q 2
cos p+ q 2
tg p+ tg q = sen(p+ q) cos p cos q
tg p
× ×
×
- tg q = sen(p – q) cos p cos q×
Equações trigonométricas fundamentais
sen a = sen b Þ a = b+ 2kp ou a = (p – b) + 2kp cos a = cos b Þ a = ±b + 2kp tg a = tg b Þ a = b+ kp
Funções circulares inversas
y = arc senx Û seny = x e – p 2
£ y £ p 2
y = arc cosx Û cosy = x e 0 £ y £ p
y = arc tgx Û tgy = x e – p 2
< y < p 2
Geometria Espacial
· O volume de um prisma e o de um cilindro (retos ou oblíquos) é igual ao produto da área da base (B) pela altura (H). E o volume de uma pirâmide e o de um cone reto (ou oblíquo) é igual a 1/3 do produto da área da base pela altura.
· Planificando a superfície lateral de um cilindro reto de raio R e altura H obtemos um retângulo de lados 2pR e H. Então a área lateral (AL) do cilindro reto é:
· Planificando a superfície lateral de um cone reto de raio R e geratriz g obtemos um setor circular de raio g e arco 2 pR. Então a área lateral do cone reto é.
· O volume V e a área A de uma esfera de raio R são dados por:
B
H H
R
V = BH
B
H (^) H g
R
V = 1 BH
A (^) L = Asetor Þ A (^) L =^2 2
pR g× (^) Þ A L =^ pRg Sendo a a medida, em graus, do setor, temos: A (^) setor =^2 2
pR g× (^) = a 360º
pg 2 Þ R = a 360º
g
R (^) A = 4 pR 2 e V =^4 3
pR 3
Igualdade na forma algébrica
Representação no plano de Argand-Gauss
Propriedades
- | z | 2 = z. z
- |z. w | = | z |. | w |
- z w
z w
(w ¹0)
- | z n^ | = | z | n^ , n Î ZZ
- | z + w | £ | z | + | w |
- | z | = | z |
Forma trigonométrica de z Î C*
z = a + bi = | z | (cos q +isen q)
| z | = a 2 + b^2 e
cos = a z sen = b z
q
q
ì
í
ïï
î
ï ï
Igualdade na forma trigonométrica
|z|( cos + i sen
z
1 444 q 2 444 q ) 3 =^ |w|( cos^ + i sen w
1 444 a 2 444 a ) 3
a + bi = c + di Û a = c e b = d (a, b, c, d Î IR)
z = a + bi = (a, b) = P (a, b Î IR)
P = afixo de z dop = |z| = a 2 + b^2 = módulo de z q + k. 2p = arg(z) = argumento de z (0 £ q < 2p) q = argumento principal de z
0
z = w Û |z| = |w|^ e q = a + k. 2p k Î ZZ
Operações na forma trigonométrica
Sejam z = |z| (cos q +isen q) z 1 = |z 1 | (cos q 1 +isen q 1 ) z 2 = |z 2 | (cos q 2 +isen q 2 )
· Multiplicação z 1. z 2 = |z 1 |. |z 2 |. [cos (q 1 + q 2 ) + isen (q 1 + q 2 )] · Divisão z z
1 2
= |z |z
1 2
[cos (q 1 – q 2 ) + isen (q 1 – q 2 )]
· Potenciação zn^ = |z|n^. [cos (n q) + isen (nq)] · Radiciação
z = w = z cos n
n C k n æq^ × p^ q^ p è ç ö ø ÷ æ × è ç ö ø
÷
é ëê
(^2 2) ù ûú^
, (k = 0, 1, 2,... , n – 1)
Propriedades
- w 0 + w 1 + w 2 +... + w (^) n – 1 = 0
- A raiz enésima de z divide a circunferência em n partes iguais.
- O raio dessa circunferência é n^ | z |.
- O “ponto de partida” (w (^) o) é o arco q n
e o “pulo’ de uma raiz para outra é de^2 p n
Equação binômia em C
axn^ + b = 0 (a ¹ 0)
axn^ = – b Þ xn^ = –b a
Þ x = –b a
n
C = w (^) k , (k = 0, 1, 2,... , n – 1)
Geometria Analítica
Distâncias
De dois pontos A e B
d (^) AB = (x (^) B – x (^) A ) 2 +(y (^) B – y (^) A )^2
Do ponto P à reta (r) ax + by + c = 0
d |ax^ + by^ + c| a + b
P P 2 2
