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derivada - derivada
Tipologia: Notas de estudo
1 / 18
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Já definimos o coeficiente angular de uma curva y = f(x) no
ponto onde x = x
0
h
0 0
0
Chamamos esse limite, quando ele existia, de derivada de f em x
0
Definição de Derivada – Função Derivada
A derivada de uma função f ( x ) em relação à variável x é a
função
f ´ cujo valor em x é:
h
0
desde que o limite exista.
Calculando f´(x) a partir da Definição de Derivada
Escreva expressões para f ( x ) e f ( x + h ).
Desenvolva e simplifique o quociente de diferença
h
f ( x h ) f ( x )
Limite:
h
f x h f x
f x
h
( ) ( )
´( ) lim
0
dx
d
y f ( x )
dx
df
y ´
Como ler os símbolos de derivadas:
y ´´
2
2
dx
d y
( n )
y
n
n
“y linha”
“y duas linhas”
“d dois y d x dois”
“y três linhas”
“n” ou “a derivada enésima de y”
“d n y d x n”
Regra 2 – Regra de Derivação para Potências Inteiras Positivas,
Inteiras Negativas e Racional.
Se n for um positivo ou negativo inteiro ou racional, então
1
n n
Regra 3 – Regra da Multiplicação por Constante
Se u é uma função derivável de x e c é uma constante, então
dx
du
cu c
dx
d
( )
Exemplo 4 – Usando a Regra 3
(a)
x x x
dx
d
( 3 ) 3. 2 6
2
Interpretação: Multiplicando-se cada ordenada por 3 para obter outra
escala no gráfico y = x
2
, multiplica-se o coeficiente angular em cada
ponto por 3.
(b) Um caso especial útil : a derivada da oposta de uma função
derivável é a oposta da derivada da função. A Regra 3 com c = - 1
fornece
dx
du
u
dx
d
u
dx
d
u
dx
d
( ) ( 1. ) 1. ( )
Teorema 1 – Diferenciabilidade (Derivabilidade) Implica Continuidade
Se f tem uma derivada em x = c, então f é contínua em x = c.
Teorema 2 – Propriedade do Valor Intermediário para Derivadas
Se a e b são dois pontos quaisquer de um intervalo em que f é
derivável, então f ´ assume qualquer valor entre
f ´( a ) e f ´( b ).
Regra 5 Regra do Produto
Se u e v são deriváveis em x , então o produto uv
também é e
ou
Regra 6 - Regra da Derivada do Quociente
Se u e v são deriváveis em v(x) 0, então o
quociente u/v é derivável em x e
2
´.. ´
V
U V U V
V
U
dx
d
ou
Exemplo: Usando a Regra 6 (do quociente) encontre a derivada de
1
1
2
2
t
t
y
Aplicando a Regra 6 com e :
1
2
u t 1
2
u t
2 2 2 2
3 3
2 2
2 2
( 1 )
4
( 1 )
2 2 2 2
( 1 )
( 1 ). 2 ( 1 ). 2
t
t
t
t t t t
t
t t t t
dt
dy
A derivada da função cosseno é a oposta da função seno
Exemplo 2 – Revendo as Regras da Derivada
(a)
sen (cos ) cos (sen x )
dx
d
x x
dx
d
x
dx
dy
2 2
(b)
x
x
y
1 sen
cos
2
( 1 sen )
( 1 sen ) (cos ) cos ( 1 sen )
x
x
dx
d
x x
dx
d
x
dx
dy
2
( 1 sen )
( 1 sen )( sen ) cos ( 0 cos )
x
x x x x
2
( 1 sen )
1 sen
x
x
1 sen x
1
Derivadas de Outras Funções Trigonométricas Básicas
2
x xtg x
dx
d
(sec ) sec
2
x x x
dx
d
( cosec ) cosec cotg
