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DERIVADA
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Professor:
Alessandro Caldeira Alves
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Aplicação da Derivada, Notas de estudo de Engenharia Elétrica
derivada - derivada
Tipologia: Notas de estudo
2011
1 / 13
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APLICAÇÕES DEAPLICAÇÕES DE
DERIVADA DERIVADA
Professor: Alessandro Caldeira Alves ENGENHARIA ENGENHARIA
Suponha que f seja uma função definida em
um intervalo aberto contendo o ponto x 0.
Se f tem um extremo relativo em x = x
0
então x 0 é um ponto crítico de f; assim f
´(x 0 ) = 0 ou f não é derivável em x 0.
Ponto crítico
Teste da segunda Derivada
a) Se f’(x
0
) = 0 e f’’(x
0
) > 0 , então f tem um
mínimo relativo em x
0
b) Se f’(x
0
) = 0 e f’’(x
0
) < 0 , então f tem um
máximo relativo em x
0
c) Se f’(x
0
) = 0 e f’’(x
0
) = 0 , então o teste é
inconclusivo.
Os pontos x = 1 e x = -1 são os pontos
críticos da função y = x
3
- 3x + 1.
Qual deles é máximo e mínimo relativo?
Calculando a segunda derivada temos:
y = x
3
- 3x + 1 → y’ = 3x 2 - 3 → y’’ = 6x
Assim ,
para x = 1 temos y’’ = 6 .(1)= 6, logo
x = 1 é ponto mínimo relativo.
para x = – 1 temos y’’ = 6 .(-1)= - 6, logo
x = - 1 é ponto máximo relativo.
Exercícios: 4 3 3 2
)f x 3 4
a) f x 2 15 36
funções :
1)Determine os extremosrelativosdas seguintes
b x x
x x x
2) Devemos projetar um jardim de área
retangular e protegido por uma cerca.
Qual é a maior área possível de tal jardim
se dispusermos de apenas 100 m de
cerca?
4) Uma forma líquida de penicilina fabricada por
uma firma farmacêutica é vendida a granel a
um preço de R$ 200,00 por unidade. Se o
custo total de produção para x unidades for
C(x) = 500000 + 80x + 0,003x
2
e se a
capacidade de produção da firma for de, no
máximo, 30000 unidades, quantas unidades de
penicilina devem ser fabricadas e vendidas
para maximizar o lucro?
5) Uma empresa verificou que a receita total (em
reais) com a venda de um produto pode ser
modelada pela função
R = - x
3
+ 450 x
2
+ 52500x
onde x é o número de unidades produzidas
(e vendidas). Que nível de produção maximiza
a receita?
7) Uma lata cilíndrica aberta deve conter
500cm
3