Cálculo Diferencial e Integral: Derivadas, Funções Inversas e Integrais, Notas de aula de Cálculo

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UNISO

2018

Responsabilidade é saber que cada um de meus atos vai me construindo, vai me definindo, vai me

inventando. Ao escolher o que quero fazer vou me transformando pouco a pouco.

(Savater, 1998, p. 111).

Plano de Ensino

Ementa

1. Estudo da variação das funções
2. Funções inversas.
3. Integrais indefinidas e métodos de integração.

4.Integrais definidas e aplicações.

.

Objetivos

Criar habilidades matemáticas para utilização na vida profissional. Obter conceitos matemáticos e

raciocínio lógico para situações do dia a dia. Aprender a usar noções de Cálculo Diferencial como

forte ferramenta de trabalho.

Ao final do componente curricular o aluno deve ser capaz de:

-construir e interpretar gráficos de funções utilizando os conceitos de cálculo desenvolvidos.

-calcular integrais utilizando as técnicas desenvolvidas.

-aplicar os conceitos na resolução de problemas.

-calcular área de regiões planas e volumes de sólidos pelos métodos desenvolvidos.

Sistema de avaliação

-Serão realizadas 3 avaliações individuais (P1, P2, P3), de acordo com calendário pré-

estabelecido com os alunos, cuja nota será de 0 a 10.

• A participação do aluno será avaliada através de listas de exercícios (E) e “chamada oral” durante

as aulas, e terá peso 1 na média final.

-Além disso, haverá prova substitutiva, cuja nota substituirá a menor nota entre as 3 provas, com o

conteúdo da avaliação que obteve a menor nota.

-Assim, a média final (MF) será obtida pela equação:

MF = 10

2. P 1  3. P 2  4. P 3  E

Se MF for maior ou igual do que 6,0 e frequência mínima de 75%, o aluno está aprovado.

Bibliografia

1. ANTON , Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6. ed. Porto Alegre, RS: Bookman, 2000. v.
2. GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2001, v.1.
3. STEWART,James Cálculo .São Paulo:Pioneira-Thomson Learning,2001 v.1.
4. ÁVILA , G. S. S.. Cálculo I: funções de uma variável. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1981.
5. BOULOS , P.. Introdução ao cálculo. São Paulo: Edgard Blücher, 1999. v.
6. HALLETT H., et al. Cálculo e Aplicações. SãoPaulo: Edgard Blucher, 1999. v. 1.
7. HOFFMANN, L. D.; BRADLEY , Gerald L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 7.

ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002.

1. LEITHOLD, L. O Cálculo com geometria analítica. São Paulo : Harbra, 1994, v.1. São Paulo:

Harbra. 1994, v.2.

e-mail: [email protected]

b) x

x x x x x

x 1 .

4 5 45 1 5

4

   

  

c)

2 3 2 32 232 72 7 x. x  x. x  x  x  x



d) x x x x x

x

x

x

x     

2 ^322 ^3212

2

3

2

3

2

.

e) (^233 )

3

2 3 15 3

5

3 3 5 5

x^ x

xx x x

x

x

x

x      

  

f)

x x x

x x x x

x

x

x

x

2

1 2

1

2

1 2 25 2

5 2

2

5

2

5

2

      

  

g) 4 9

7

x

x j) x^3 .x^7 m) x

x

h) x. x k)

5 (^2) x. x n) 3 x. x

i) 5

7

x

x l)

5 6 x. x o) 6

7

x

x p) 7 5

1. x

x

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL

Vimos que dada uma função real f(x), a sua taxa média de variação no intervalo  a , b é dada pelo

quociente

b a

f b f a

(1)

Geometricamente,

tg( )=

b a

f b f a

(1)

Esta taxa de variação é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (a,f(a))e (b,f(b)). Esta

reta recebe o nome de reta secante ao gráfico de f(x) pelos pontos (a,f(a)) e (b,f(b)). O ideal é

trabalharmos com intervalo  a , b  suficientemente pequeno, ou seja, devemos aproximar os

valores de a e b. Quando “a” e “b” estiverem suficientemente próximos temos a Taxa Instantânea

de Variação que é matematicamente definida como:

b a

f b f a

b a 



lim ,

e como b a (b tende para a) temos a taxa instantânea de variação da função f(x) no instante x =

a.

Graficamente:

A derivada da função no ponto x = a, é a inclinação da reta tangente ao gráfico f(x) no ponto (a,f(a))

h

f x h f x f x h

' ( ) lim 0



A derivada f ’(x) pode ser denotada também dx

df .

Observe que quando calculamos f `(x), a derivada da função f(x) em um instante qualquer x, temos

uma nova função f(x), ou seja, derivada de uma função é também uma função.

Exemplo: Seja f(x) = x². Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) para x =1.

Y=f(x)=f(1)=1²=1. Ponto (1, 1)

A equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto (1,1) é:

y=f(a)x+b, ou seja,y=f(1)+b=2x+b y=2x+b

Como a reta é tangente ao gráfico de f(x) no ponto (1,1), temos que este ponto pertence a esta

reta. Assim, de y =2x+b obtemos:1=2 +b ou b=-

Logo, a equação procurada é y =2x-1.

Observe que nesta regra, dependendo do valor de n, podemos ter restrições sobre x. Por exemplo,

se n =

2

então x x x

n  2 

1

, daí

1 2

1 2

1

. 2

 x  x ou seja^2

1 2

1

. 2

 x  x  x.

Logo (x 2

1

)`=

2

1

2

x

,isto é, ( x )`= 2 x

e assim devemos exigir que x>0.

Também, se n=

3

então 3 3

1

x x x

n  

Daí

3

2

3

2 1 3

1 3

1

x

x  x  x 

  , isto é, 3

3

3 ²

x

x .

Uma vez que

j j^ i

i

x  x. Observe que neste caso devemos exigir x 0.

Uma aplicação da derivada

Sabemos que a velocidade média é dada pelo quociente: vm = variaçãodotempo

variaçãodaposição , que é uma

taxa média de variação. Se a posição é dada em função do tempo t por y = f(t) temos que a

velocidade média entre os instantes t 0 e t 1 é determinada por vm = t

y

= 1 0

t t

f t f t

=

t

f t t f t

.

Agora, para calcular a velocidade em cada instante t (velocidade instantânea), devemos observar

intervalos cada vez menores de tempos, ou seja, devemos calcular o limite da velocidade média,

quando t se aproxima de zero:

v(t) = t

f t t f t

t (^) 

 

lim 0

= f ’(t)

Exemplo: Um móvel tem a posição (em km) dada em função do tempo (em h) por f(t) = 20t 2 , então

a sua velocidade no instante t é dada por v(t) = f’(t) = 40t. Logo no instante t = 3h a velocidade

será v(3) = 40.3 =120km/h.

Exercícios resolvidos

1. Calcule as derivadas das seguintes funções:

a) y=6x b) y=-7x+8 c) y=-3x+x²-1 d) y=-2x

10

y’=6 y’=- 7 y’=2x- 3 y’=-20x

9

e) y=x 5

1

+x²-3x

y’= 2 3

5

5 4 5

4

5

4 1 5

1

          

  x x

x

x

x x x x

f) y=. x 2 x 3

1

  

y’= 2 21

7 6 7

6

7

6 1 7

1



 

x x

x x

1. Seja f(x)=x²-5x+6, calcule a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto x=2 e

interprete geometricamente.

Para x=2 temos f(x)=0. Logo o ponto de tangência no gráfico de f(x) é o ponto (2,0) pertence ao

gráfico de f(x) e a reta tangente

f(x)=x²-5x+6 f ’(x)=2x- 5

f `(2)=2.2-5=-1 (^) inclinação da reta tangente procurada

Portanto a equação desta é: y =-1x+b

Como (2,0) está nesta reta temos: 0=-1.2+b e b=2.

E a equação é y = -x+2.

1. Calcule a derivada das seguintes funções:

a) y=3x²-

x  y’=6x-ln(5). 5

x

b) y=

x

. ³ 2 e 3

x   y’=x²

x  2 e

1. Seja f(x)= 7 ln( 5 ).ln( )

3

x e x

x

x

 ^  



. Calcule f `(x).

x

f x x e

x

x 1 7 ln( 5 ). 3

.( 4 ). ln 5

`( )

5    



1. Calcule a derivada da função y = 3 7. 3 2 ( ) 4 cos()

5 x senx x

x   

` 15 7 ln( 3 ). 3 2 cos() 4 ( )

4 y x x senx

x    

Derivadas - resumo das regras

(k)’ = 0

(kx)’ = k

(x n )’ = n.x n- 1

(u n )’=n.u n- 1 .u’

(e

x )’ =e

x

(e

u )’ = u’.e

u

(a x )’= a x .ln(a)

(a u )’= u’. a u .ln(a)

(lnx)’ = x

(ln(u))’= u

u '

(u.v)’ = u’.v + u.v’

(sen(x))’=cos(x)

(cos(x))’=-sen(x)

(tg(x))’ = sec²(x) (sen (u))’ = u’.cos (u) (cos(u))’= - u’.sen (u) (tg(u))’=u’.sec²(u)

(loga(x))’= x ln a

(loga(u))’= u a

u

. ln

v

u ’= 2 ( )

v

u v  uv

REGRA DA CADEIA

Se f(u) e por sua vez u=g(x) então( f ( u ))'( f ( g ( x )))' f '( g ( x )). g '( x )

Exemplos: Calcule a derivada das seguintes funções:

1. y =

3 2 x  5 x =(x²-5x) 1/  y’ = 1/3 (x²-5x) -2/ .(2x-5) = 3 3 ( ² 5 )²

x x

x

1. y = 3 x ^9 =(3x+9)

1/  y’ = ½ (3x+9)

-1/ .3 = 2 3 9

3

2 ( 3 9 )

3 1 / 2 

 x  x

1. x²y + xy²= 6

2xy+x²y’+1y²+x2yy’=

(x²+2xy)y’ = -y²-2xy

y’ = -y²-2xy/x²+2xy

Exercício: Use a derivação implícita para determinar dy/dx:

a) x²y + x³y²= x f) ln(y-x)=ln(y+x) b) 2xy + y² = x+ y g) (x²-y²)² = y²+x² c) y. sen(y) = 1 – x h) y³ = (x-y)/(x+y) d) sen(y) = xy i) ln(yx) = e xy

e) ey^ = x+y j) x³+y³=

Quando temos vários tipos de funções envolvidas no cálculo da derivada, devemos aplicar

o logaritmo natural e a derivação implícita.

Exemplos:

1. y = x x

aplicar logaritmo dos 2 lados ln y = ln xx usar a regra do expoente ln y = x.ln x derivar dos 2 lados  (ln y) ‘ = (x.ln x)’ y’/y =1lnx+x.1/x isolar y’  y’ = (lnx+1).y substituir y  y’ = (lnx+1).x x

1. y = x cos(x)

ln y = ln xcos(x) ln y = cos(x).ln(x) y’/y = -sen(x).ln(x)+cos(x).1/x y’ = (-sen(x).ln(x)+cos(x)/x).y y’ = (-sen(x).ln(x)+cos(x)/x).xcos(x)

1. Y=

x e x

ln y =ln

x e x

ln y = e x .ln x

derivando

y’/y = e x .lnx+e x .1/x

y’= e x (lnx+1/x).y

y’ = e x (lnx+1/x)

ex x

Em geral :

Se y=

() ( )

gx f x então ' ( ) .( ( ).ln( ( )))'

( ) y f x g x f x

gx 

Exercício: Usando a derivada de logaritmo, calcule y’.

a) Y=

x  2 ^ x e) y=

2 ln( )

x x

b) Y =

ln( x ) x f) y =(x²) x

c) Y =

x ( sen ( x )) g) y = x2x+

d) Y =

sen ( x ) x h)Y = x 2/x

DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR

Observando as regras de derivação, percebemos, que a derivada de uma função f(x), isto é, f ’(x)

ou dx

df , é também uma função. Assim sendo, podemos derivá-la também, obtendo a 2ª derivada

de f(x), que denotaremos por f ’’(x) ou

²

dx

d f .

Da mesma maneira f ' '( x )também é uma função e assim podemos, derivá-la para obter f ' ''( x )

ou

³

dx

d f .

De maneira geral, à partir de uma função f(x) podemos obter a n-ésima derivada de f(x), denotada

por ( )

( ) f x

n ou n

n

dx

d f ,onde n  1 , n (^) .

A derivada de segunda ordem de f é a derivada da derivada de f, a derivada de terceira ordem de f

é a derivada da derivada de segunda ordem, e assim sucessivamente.

y = f(x)  função y’ = f ’(x) 1ª derivada y’’= f ’’(x) 2ª derivada y’’’= f ’’’(x)  3ª derivada y(4)^ = f (4)(x)  4ª derivada y (n) = f (n) (x)  n-ésima derivada.

Exemplos:

1. f(x) = x 4 +x 3 +x 2 +x+ f ’(x) = 4x 3 +3x 2 +2x+ f ’’(x) = 12x 2 +6x+ f ‘’’(x) = 24 x+ f (4) (x) = 24 f (5) (x) = 0 (e todas as demais derivadas também)

2. f(x) = ln x f ’(x) = 1/x f ’’(x) = -1/x 2

f ’’’(x) = 1/x 3 ...

3)f(x) = e -x

f’(x) = -e -x

f”(x) = e -x

f ”’(x) = -e -x ...

Conclusão

Vemos que a derivação é uma técnica matemática de grande poder e versatilidade. É um

dos conceitos centrais do Cálculo, e tem diversas aplicações: Traçado de curvas, Otimização de

funções, Análise de taxas de variação, Cálculo de velocidade e aceleração.

Para cada tipo de função existe uma regra para encontrarmos a derivada. Precisamos

conhecer cada função para aplicar a regra correta. Devemos observar qual é a variável

(geralmente x) e quais são constantes (n, c, k, a, e que representam números fixos). Veja:

1. y = (x^3 – 3x^2 )^4 38. y = (4 – 7x)^7 39. y = (e5x+3)^4
2. y =

3 2 x  e

1. y = 2.e3x-^1 42. y = 5x – 3x^2 +
2. y = e^5 - 2x^ 44. y = 5.e^2 - x^ 45. y = 2x^. x^2
3. y = ln (x^2 - 5x+1) 47. y = ln ( 3x-4) 48. y = x.(x+3)^3
4. y = log (4-x 2 ) 50. y = log 2 ( x+x 2 ) 51. y = 3x 5 .e 4x+
5. y = 2 3x

• 5.(3-x 2 ) 6
• e 5x+

1. y = 10 2x- 3
2. y = 3x 2 e 2 - x . 1. Funções inversas

1.1 Função inversível: definição, teoremas e construção de gráficos

Se y =f(x) é uma função estritamente crescente ou estritamente decrescente no intervalo I, então

existe uma função x = f

• (y), chamada de função inversa, tal que f(f - (y)) = y e

f

• (f(x)) = x. Onde o domínio da função f é a imagem da função f - e a imagem de f é o domínio da

f

• .

Para obter a expressão de f

• (x) devemos isolar a variável x em y = f(x) e depois trocamos as

variáveis.

Exemplos:

(1) y = f(x) = x + 4 é estritamente crescente, então

y = x + 4 - x = - y + 4 x = y – 4 x = f –^1 (y) = y – 4  y = x-4 é a inversa.

(2) y = f(x) = 2x é estritamente crescente, então

y =2x  x= y/2  x = f

• 1 (y) = y/2  y = x/2 é a inversa.

(3) y = f(x) = ex^ é estritamente crescente, então existe a inversa de f, que é dada por

f

• 1 (y) = x = ln y, pois f - (f(x)) = f - 1 (e x ) = ln e x = x; f(f - 1 (y)) = f(ln y) = e ln y = y.

Ou seja, as funções exponencial e logarítmica são inversas uma da outra.

(4) y = f(x) = x 2 não é estritamente crescente (ou decrescente) em |R, por isso devemos tomar um

intervalo de crescimento ou decrescimento. Por exemplo, considerando a função y = f(x) = x 2

definida no intervalo I =(0,+) (estritamente crescente) temos

y =x 2  x = f

• 1 (y) = + y  y = + x é a função inversa da f. Se tivéssemos tomado o intervalo

decrescente I =(-,0) teríamos y = x 2  x = f

• 1 (y) = - y  y = - x como função inversa de f.

1.2 Funções Trigonométricas Inversas

Como as funções trigonométricas não são estritamente crescentes ou decrescentes, elas

não têm funções inversas. Mas podemos restringir o seu domínio de forma a torná-las crescentes

ou estritamente decrescentes.

Inversa da função seno

Devemos restringir o domínio da função y = sen (x) em -/2  x  /2. A inversa da função

seno restrita é denotada por y = arcsen (x) ou y = sen-1(x). ( note que sen-^1 (x)  1/sen(x)).

arcsen(x) = y  sen(y) = x e - /2  y  /

Assim, se _1 x  1, arcsen(x) é o número entre -/2  y  /2 cujo seno é x.A inversa da função

seno, y =arcsen(x) tem domínio [-1,1] e variação [-/2, /2].

Exemplos : 1) arcsen(1/2) = /6. 2) arcsen( 2 /2) = /

Inversa da função co-seno

Devemos restringir o domínio da função y = cos (x) em 0  x  . A inversa da função co-seno

restrita é denotada por y = arccos (x) ou y = cos

• (x). ( note que cos - 1 (x)  1/cos(x)). arccos(x) = y  cos(y) = x e 0  y  

Assim, se _1 x  1, arccos(x) é o número entre 0 y   cujo co-seno é x.

1.3 Derivadas das funções trigonométricas

1) f(x) = sen (x)  f ’(x) =cos (x)

Dem.: f ’(x) = h

f x h f x

h

lim 0



= h

x h x

h

sen( ) sen( ) lim 0



=

h

x h x h x

h

sen( ).cos() cos( ).sen( ) sen( ) lim 0



=  

 (^) h

h x h

h x h

sen( ) cos().

cos( ) 1 limsen( ) 0

  h

h x h h

cos( ) 1 lim sen( )lim 0 0

+limcos() 0

x h 

 (^) h

h

h

sen( ) lim 0

= sen(x).0 + cos(x).1 = cos(x).

2) f(x) = cos(x)  f ’(x) = -sen(x)

Demonstração: Exercício

3) f(x) = tg(x)  f ’(x) = sec^2 (x)

Demonstração:

f(x) = tg(x) =

cos()

sen( )

x

x

f ’(x) = 2 (cos( ))

cos().cos( ) sen( ).( sen( ))

x

x x  x  x

cos( )

cos ( ) sen ( ) 2

2 2

x

x  x

cos( )

2 x

= sec^2 (x)

4)(f(x) = cotg(x)  f ’(x) = -cossec 2 (x)

Demonstração: Exercício.

5) f(x) = sec(x)  f ’(x) = sec(x).tg(x)

Demonstração:

f(x) = sec(x) = cos( )

x

 f ’(x) = cos( )

1. cos( ) 1 .( sen( )) 2 x

x   x

cos ( )

sen( ) 2 x

x

cos().cos()

sen( )

x x

x

cos()

sen( ) . cos()

x

x

x

=sec(x) .tg(x).

6) f(x) = cossec(x)  f ’(x) = - cossec(x).cotg(x)

Demonstração: Exercício.

2.4 Derivadas das funções trigonométricas inversas

Seja f uma função inversível, com inversa g, temos que f(g(x))=x, para todo xDg. Deste modo,

para todo x Dg [f(g(x))]’ = x’

f ’(g(x)).g’(x) = 1

g’(x) = '( ( ))

f g x

Agora, podemos estabelecer a derivada das funções trigonométricas inversas:

g(x) = arcsen(x)  g’(x) = 2 1

 x

, -1< x <

Demonstração: Lembre-se que sen (arcsen(x)) = x, pois g(x) =arcsen (x) é inversa de f(x)=sen(x).

g(x) = arcsen(x)  g ’(x) = '(arcsen())

f x

= cos(arcsen( ))

x

=

2 1

 x

.

• cos 2 (arcsen(x))+sen 2 (arcsen(x))=1 cos 2 (arcsen(x))+x 2 =1 cos 2 (arcsen(x))=1-x 2 

cos(arcsen(x)) =

2 1  x , pois arcsen(x) [-/2, /2].

g(x) = arccos(x)  g’(x) = - 2 1

 x

, -1< x <

Demonstração: Exercício.

g(x) = arctg(x)  g’(x) = 2 1

 x

Demonstração: Exercício.

Lista de exercícios

1. Derive: a) F(x) = cos(ln(x)) k) f(x) = e-cos(x) b) F(x) = cos(x).cossec(x) l) f(x) = 7cossec(x) c) F(x) = ln(cotg(7x)) m) f(x) = (cos(x))^5

d) F(x) = (tg(2x)) 5 n) f(x) = sen( x )

e) F(x) =arcsen(x²) o) f(x) = sec²(x) f) f(x) = cotg(x) p) f(x) = sec(x²)

g) F(x) = cossec(3-x) q) f(x) =

h) F(x) = sen(x).tg(x) r)f(x) = (cos(2x)) 4

i) F(x) = s) f(x) = 5.sen(x²-2)

j) F(x) = tg(x+5)

1. Uma partícula move-se sobre o eixo x de modo que no instante t a posição é dada por x = cos(4t). Determine: a) a posição no instante t = π/12 e t = π/ b) a velocidade no instante t. c) a aceleração no instante t.

2. ESTUDO DA VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES

Através dos conceitos de diferenciabilidade e de continuidade de uma função num intervalo

contido em seu domínio, vamos descobrir que é possível estudar sua variação e, portanto,

construir o seu gráfico. Para tanto, precisamos estabelecer alguns conceitos e alguns resultados,

como, por exemplo, determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, a concavidade, o

ponto de inflexão. Um resultado que é muito importante e estabelece um dos resultados centrais

do Cálculo Diferencial, com consequências fundamentais para o estudo de uma função, a partir de

informações sobre sua derivada num determinado intervalo é o Teorema do Valor Médio.

2.1. Intervalos de crescimento e decrescimento

Seja f uma função definida em um intervalo I.

f é crescente em I se para todos pontos x 1 , x 2  I temos x 1 < x 2  f ( x 1 ) < f ( x 2 ). f é decrescente em I se para todos pontos x 1 , x 2  I temos x 1 < x 2  f ( x 1 ) > f ( x 2 ).

Se y = f(x) é derivável no intervalo J. Então temos:

Se f ’(x) > 0 para todo x interior a J, f(x) será crescente em J. Se f ’(x) < 0 para todo x interior a J, f(x) será decrescente em J.

Se f ’(p) = 0, então p é dito ponto crítico.

Exemplos:

1. Estude as funções com relação à concavidade e pontos de inflexão.

a). f(x) = x 3

• 6x 2 +4x -10  f ’(x) = 3x 2 -12x + 4 f ’’(x) = 6x-12 > 0  x > 2 f tem concavidade para cima em (2,+). f ’’(x) = 6x –12 < 0  x < 2 f tem concavidade para baixo em (-, 2). Logo 2 é o ponto de inflexão.

b). f(x) = x 2 +3x f ’(x) = 2x+ f ’’(x) = 2> 0 para todo x. Logo f tem concavidade para cima em todo seu domínio. Não há pontos de inflexão.

2.3. Teorema do valor médio

Antes de enunciar o teorema do Valor médio, vamos analisar alguns resultados. O teorema

abaixo garante a existência de pontos extremos (máximo e mínimo) de uma função, sem a

hipótese de que a função seja derivável.

Teorema (Weierstrass): Seja f : [a, b] → R contínua. Então existem x 1 e x 2 em [a, b] tais que:

f(x 1 ) ≤ f(x) ≤ f(x 2 ), para todo x [a, b].

FIGURA 1

Teorema (Rolle): Seja f : [a, b] → R contínua, derivável em (a, b) e tal que f(a) = f(b). Então, existe

pelo menos um c (a, b) tal que f′(c) = 0.

FIGURA 2

A importância do próximo teorema deve-se ao fato dele estabelecer uma relação

importante entre a função e sua derivada.

Teorema do valor Médio: Seja f uma função contínua em [a,b] e derivável em (a,b) então existe c

pertencente a (a,b) tal que

b a

f b f a f c 

Em outras palavras, existe pelo menos um ponto no gráfico de f, onde a reta tangente

nesse ponto é paralela à reta secante que liga (a, f(a)) e (b, f(b)), ou seja, a reta tangente ao

gráfico de f traçada pelo ponto (c,f(c)) é paralela à reta que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)).

(b,f(b)) (c,f(c))

(a, f(a)) (c,f(c))

FIGURA 3

É preciso observar que o TVM não garante a unicidade do ponto c. Na figura acima, existem dois

desses pontos.

Na figura abaixo apenas um: x 0.