Baixe Cálculo Numérico e Exercícios e outras Notas de aula em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
CÁLCULO NUMÉRICO
Bibliografia
- RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. São Paulo: McGraw-Hill, 1997.
- SPERANDIO, Décio; MENDES, João Teixeira e Silva; LUIZ H. M.. Cálculo Numérico Características matemáticas e computacionais. São Paulo: Prantice Hall, 2003
- CLAUDIO, Dalcídio Moraes; MARINS, Jussara Maria. Cálculo numérico computacional - teoria e prática. São Paulo : Atlas, 1989. Introdução Cálculo Numérico trata de métodos numéricos para resolução de problemas em diversas áreas. O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses métodos se aplicam principalmente a problemas que não apresentam uma solução exata, portanto precisam ser resolvidos numericamente. Para chegarmos a um resultado numérico, é necessário percorrer uma seqüência de passos preestabelecidos: ✓ Levantamento de dados; ✓ Construção de modelo matemático; ✓ Escolha de método numérico; ✓ Implementação Computacional; ✓ Análise dos resultados; ✓ Se necessário, reformular o modelo. Em cada passo pode existir uma parcela de erro que se acumula ao final do processo. Os erros na fase de levantamento de dados ocorrem, por exemplo, por causa de aparelhos imprecisos ou leitura mal feita de resultados experimentais. Os erros na fase de modelagem são causados, geralmente por simplificações no modelo usado. Assim, pode ocorrer que os resultados finais estejam distantes do que se esperaria obter ainda que todas as fases da resolução tenham sido realizadas corretamente. Os resultados dependem também: ✓ Da precisão da máquina. ✓ Da forma de representação do número. ✓ Das operações numéricas efetuadas. Por exemplo, na interação usuário com o computador os dados de entrada são enviados para o computador no sistema decimal e é convertido pelo computador em sistema binário e as operações são realizadas em binário, onde os resultados são convertidos novamente em decimal. Todo esse processo de conversão é fonte de erros. Exemplos: Calcule a área e o perímetro de uma circunferência de raio 100m, considerando: = 3, = 3, = 3, É possível obter a área exata da circunferência? Qual o melhor resultado? Calcule 1/3 *3 com uma máquina de bolso e com uma máquina científica.
1. ERROS
Os erros de truncamento e de arredondamento já conhecidos não podem ser eliminados ou mesmo minimizados, pois dependem do Sistema Operacional da máquina usada. Erro absoluto e Erro Relativo
Seja x o valor exato de um número e x seu valor aproximado, calculado por algum método
numérico.
O erro absoluto nessa aproximação é dado por Eax = x - x.
Em geral não conhecemos o valor de x, apenas seu valor aproximado x , e podemos apenas
estimar o erro absoluto. Exemplos: Sabemos que (3,14; 3,15), logo o erro estimado será EA < 0,01.
Considerando x = 2112,9 com EAx < 0,1 e y =5,3 com EAy < 0,1, qual o intervalo de
aproximação de x e de y? Observando que os limitantes superiores do erro são os mesmos podemos dizer que a precisão na representação é a mesma? Como os números são de ordens de grandezas diferentes precisamos de uma outra medida para compara-los; precisamos do Erro Relativo. ERx = EAx / x No exemplo 2 temos, ERx = 0,1/2112,9 4,710-^5 e ERy = 0,1/ 5,3 0,210-^1. Logo, temos que x é representado com maior precisão. QUANTO MENOR O ERRO RELATIVO MAIOR A PRECISÃO. Erros nas operações
Temos que: EAx = x - x ➔ x = x +EAx
EAy = y - y ➔ y = y +EAy
Na adição: x+y = x + y +EAx +EAy, ou seja, EAx+y = EAx + EAy.
Na multiplicação: xy =( x +EAx)( y +EAy) = x y + x .EAy + y EAx + EAxEAy
Como EAxEAy é pequeno, será desprezado. Logo, EAx*y = x .EAy + y EAx.
Observamos que o erro na multiplicação é maior que na adição. Exemplos:
- Considere uma máquina que permite até 4 dígitos, x = 0,349110^4 e y = 0,278910^0 Calcule (x+y) – x.
- Considere máquina que permite até 8 dígitos, x = 3,00000053 e y = 2,00000021. Calcule x+y e x*y nessa máquina.
- Com 3 dígitos significativos calcule 15,9(4,99+0,02) e depois (15,94,99)+(15,9*0,02) Conversão dos Números nos Sistemas Decimal e Binário Números Inteiros
Exemplo (4) Converter o número ( 237 ) 10 da base 10 para a base 2, utilizando o processo
prático. Exemplo (5) Converter os números abaixo da base 10 para a base 2, utilizando o processo prático.
(a)( 245 ) 10 =
(b)( 347 ) 10 =
Agora, vamos criar um algoritmo. Considerando o processo prático descrito anteriormente e
que ( 237 ) 10 =( a j aj − 1 ... a 1 a 0 ) 10. Desta forma, vamos admitir que:
N 0 = 237 = 2. 118 + 1
Assim, temos que o resto desta divisão (237 por 2) é 1, e este valor será tomado como a 0 , ou
seja, a 0 = 1. Agora, iremos repetir este processo para o quociente 118, e este valor será o N 1 ,
ou seja, N 1 = 118. Daí,
N 1 = 118 = 2. 59 + 0
Desta forma, vemos que o resto da divisão é zero, assim temos que a 1 = 0. Continuando o processo temos: N2 = N3= N4= N5= N6= N7=
Portanto,( 237 ) 10 =
De modo geral, ao considerarmos um número N qualquer na base 10, N Z , e sua
representação binária dada por ( a j aj − 1 ... a 1 a 0 ) 10 , podemos utilizar o seguinte algoritmo, onde
a cada k , se obtém o dígito binário ak. Vejamos:
Passo 0: Para k = 0 , temos Nk = N.
Passo 1: Obtenha qk e rk tais que N^ k =^2. qk + rk.
Faça a^ k = rk
Passo 2: Se qk = 0 , pare.
Caso contrário, faça N k + 1 = qk.
Faça k = k + 1 e volte para o Passo 1.
Números Fracionários Números fracionários são números da forma:
r = 0 , 125 , s = 0 , 6666 ... ou t = 0 , 141592654 ...
Como se pode notar acima estes números podem ser finitos ( r ) ou infinitos ( s e t ).
Primeiramente trataremos da conversão de números fracionários da base decimal para a base binária.
Considere r =( 0 , 125 ) 10. Sua representação na base binária será dada por ( 0 , d 1 d 2 ... dj ...) 2.
Vamos tomar este número como exemplo para descobrir uma forma de conversão para o sistema binário.
Assim,( 0 , 125 ) 10 = d 1. 2 −^1 + d 2. 2 −^2 +...+ dj. 2 − j +....
Multiplicando toda a igualdade por 2, temos:
1 1 10 1 2 2 2 1 10 1
− − + − − − j j j j
d d d
d d d
Daí, temos que d 1 = 0 , uma vez que a parte inteira do número 0 , 25 é zero. Agora, vamos
aplicar este mesmo processo até que a parte fracionária seja igual a zero. Quando isso ocorrer,
a conversão se encerra. Vejamos: 2 .( 0 , 25 ) 10 =
Portanto, ( 0 , 125 ) 10 =. Agora, nem sempre este processo é finito. Veja o exemplo a
seguir:
Exemplo (6) Converter o número r =( 0 , 1 ) 10 da base 10 para a base 2, utilizando o processo
anterior.
Assim,( 0 , 1 ) 10 =
Analisando o exemplo acima, podemos notar que a representação não finita de certos números pode causar erros aparentemente inexplicáveis nas máquinas, como foi o caso do exemplo (2). Este tipo de erro ocorre, pois as máquinas não têm a capacidade de guardar infinitos dígitos na mantissa. Agora vamos fazer a conversão do sistema binário para o decimal. Para isso, considere
( r ) 2 =( 0 , d 1 d 2 ... dj ...) 2. Sua representação no sistema decimal será obtida de forma muito
semelhante ao que foi feito no processo de conversão para números inteiros. De modo geral,
seguiremos o seguinte algoritmo: defina r 1 = r e multiplique o número rk por 10, mas na base
binária, é dado por ( 1010 ) 2 , para assim obtermos o dígito bk , que é a parte inteira deste
produto, mas convertido para a base decimal. Vejamos este processo através de um exemplo. Exemplo (7) Converter o número r =( 0 , 000111 ) 2 da base binária para a base decimal.
Exemplo (8) Converter ( 0 , 11 ) 2 da base 2 para a base 10. (Utilize 6 casas decimais).
Aritmética de Ponto Flutuante Uma máquina representa um número real em um sistema chamado aritmética de ponto flutuante, isto é, e r =( 0 , d 1 d 2 d 3 ... dj ...). Onde,
: base em que a máquina opera;
t : número de dígitos da mantissa;
0 d j − 1 , com j = 1 , 2 ,..., t e d 1 0 ;
e : expoente no intervalo [ e 1 , e 2 ], com e 1 0 , e 2 1 e e 1 , e 2 Z.
Em qualquer máquina, poucos números reais são representados exatamente, e, portanto, a representação de um número real será feita por truncamento ou arredondamento. Vejamos um exemplo:
| ERx |=
No arredondamento, fx é modificado para levar gx em consideração. A forma de
arredondamento mais utilizada é a seguinte:
−
x e et x x e x
f g
f g
x
Portanto, se
| gx | , gx é desprezado, caso contrário, soma-se 1 ao último dígito de fx.
Assim, se
| gx | , temos:
| EAx |=
| ERx |=
E, se
| gx | , teremos:
et
EAx
| | e. 10 1
| ERx | − t +.
A prova desta última desigualdade pode ser encontrada nos livros textos da bibliografia básica deste curso. Observação: apesar de erros menor ocorrerem quando se utiliza arredondamento, este acarreta em um tempo de execução maior, e por isso, o truncamento é mais utilizado. Análise de Erros nas Operações de Aritmética de Ponto Flutuante
Dada uma sequência de operações, como por exemplo, u = [( x + y )− z − t ] w , é importante
saber como o erro se propaga ao longo das operações seguintes. O erro total de em uma operação é composto pelo erro das parcelas e pelo erro no resultado da operação. Para os exemplos 14, 15, 16 e 17, vamos considerar um sistema de aritmética de ponto
flutuante com t = 4 , =^10 e com acumulador de precisão dupla.
Exemplo (14) Dados x = 0 , 937. 104 e y = 0 , 1272. 102 , obter os valores aproximados e exatos
de:
a) x + y b) x. y
No exemplo acima se pode notar que mesmo que as parcelas de uma operação estejam representadas exatamente no sistema, o resultado final armazenado pode não ser exato. Fórmulas de Erros nos Fatores Na maioria dos sistemas, o resultado exato da operação denotado por OP é normalizado e
depois arredondado ou truncado para t dígitos, obtendo assim o resultado aproximado OP
que é armazenado na memória da máquina.
Já vimos que o erro no resultado de uma operação, supondo que as parcelas estão exatamente representadas será:
| | 10 − t +^1
EROP no truncamento
e
| EROP | − t + no arredondamento.
Vamos agora ver as fórmulas para os erros absolutos e relativos nas operações de aritmética de ponto flutuante com erros nas parcelas. Estas fórmulas de erros não serão provadas, mas fica a critério do aluno olhar a demonstração nos livros da bibliografia. Para estas fórmulas, vamos supor que erro final é arredondado.
Sejam x e y , tais que x = x + EAx e y = y + EAy.
ADIÇÃO: x + y
Erro absoluto: EAx^ + y = EAx + EAy e Erro relativo:
x y
y
ER
x y
x
ER x y ERx y.
SUBTRAÇÃO: x − y
Erro absoluto: EAx^ − y = EAx − EAy e Erro relativo:
x y
y
ER
x y
x
ER x y ERx y.
MULTIPLICAÇÃO: x. y
Erro absoluto: EAx . y x. EAy + y. EAx e Erro relativo: ERx . y ERx + ERy.
DIVISÃO: x / y
Erro absoluto: / 2 2
y
yEA xEA
y
xEA
y
EA
EA
x y x y xy
− = e Erro relativo:
ERx / y ERx − ERy
Note que o erro todas as fórmulas acima foram escritas sem considerar o erro de arredondamento (truncamento) no resultado final. E não se esqueça que a análise completa da propagação de erros se faz considerando os erros nas parcelas e no resultado de cada operação efetuada.
Exemplo (15) Suponha que x , y , z , e t estejam representados exatamente. Qual é o erro no
cálculo de u^ =^ ( x + y ). z − t?
Exemplo (16) Sejam 3
x = 0 , 2357. 10 e
3
y = 0 , 2353. 10. Determine o erro relativo da
operação z = x − y , que é denominado cancelamento subtrativo. Exemplo (17) Considerando o valor de z do exemplo acima, determine o valor de w = z. t , se
t = 0 , 4537. 103 e y = 0 , 2353. 103. Determine também o erro relativo desta operação.
Os métodos iterativos, assim, constam de duas fases: Localização ou isolamento das raízes, onde encontramos um intervalo que contém a raiz. Refinamento onde após escolhidas as aproximações iniciais no intervalo, melhoramos sucessivamente até obter uma aproximação para a raiz dentro de uma precisão prefixada. FASE 1: ISOLAMENTO DE RAÍZES: Analise teórica ou gráfica de f(x) Teorema: Seja f(x) uma função contínua num intervalo [a,b]. Se f(a). f(b) <0 então existe pelo menos um ponto x = entre a e b que é zero de f(x). Observação: Se, além disso, existir f’(x) e f´(x) preservar sinal em (a,b), este intervalo contém um único zero. Uma forma de isolar as raízes de f(x) usando resultados anteriores é tabelar f(x) para vários valores de x e analisar as mudanças de sinal de f(x) e o sinal da derivada nos intervalos em que f(x) mudou de sinal. Exemplos:
- f(x) = x³-9x+ X - - 100 - 10 - 5 - 3 - 1 0 1 2 3 4 5 f(x) (^) - - - - + + + - - + + + Sabendo que f(x) é contínua para qualquer x real e observando as variações de sinal, podemos concluir que cada um dos intervalos I 1 = [-5,-3], I 2 = [0,1] e I 3 = [2,3] contém pelo menos um zero. Como f(x) é um polinômio de grau 3 podemos afirmar que cada intervalo contém um único zero de f(x). Assim, localizamos todas as raízes de f(x).
- f(x) = x+ex X - 2 - 1 0 1 2 3 f(x) - - + + + +
- f(x) = x
x e
−
X - 1 0 1 2 3
f(x) - - + + + Obs: Se f(a).f(b) > 0 então podemos ter várias situações no intervalo [a,b], e devemos fazer uma criteriosa analise gráfica de f(x) para obter aproximações para a raiz.
- Faça você: f(x) = x³-8x+ x - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 Logo, as raízes estão nos intervalos: ______________________. FASE 2: REFINAMENTO DAS RAÍZES: Os métodos iterativos para obter zeros da função fornece apenas uma aproximação da raiz exata. Vamos estudar cinco métodos: Bisseção, Falsa posição, ponto fixo e Newton e secante. Critério de parada Quando parar as iterações? Quando a aproximação xk está suficientemente próxima da raiz exata? Existem dois testes a serem considerados: |x-|< ➔que equivale a |b-a|< após as reduções do intervalo. |f(x)| <➔ que pode ser |f(a)|< e |f(b)| <.
2.1. Método da Bisseção Seja a função f(x) contínua no intervalo [a,b] e tal que f(a).f(b) <0. Vamos supor que f(x) possui uma única raiz no intervalo (a,b). O Objetivo deste método é reduzir a amplitude do intervalo que contem a raiz até atingir a precisão requerida : b-a<, usando para isto a sucessiva divisão de [a,b] ao meio. Após cada divisão é escolhido um novo intervalo (a,b) que possui a raiz procurada. Para isto devemos avaliar os valores de f em a, b e no ponto médio m. Logo para este método temos como entradas: extremos do intervalo (a,b), precisão solicitada para a aproximação. Como saídas a aproximação para o zero da função, ou seja, a solução. Exemplos:
- Seja f(x) = x.log(x) – 1, determine uma aproximação para o zero desta função no intervalo [2,3] com precisão = 10 -^2. Solução: x 1 2 3 4 f(x) - 1 - 0,3979 0,4314 1, Logo, existe um zero de f em (2,3). 1 a^ iteração: x 1 = (a+b)/2 = (2+3)/2 = 2, f(2) = - 0, f(2,5) = 2,5.log2,5 – 1 = - 0, f(3) = 0,4314. Zero procurado está em (2,5;3). Critério de parada: |f(x1)| =|-0,00515 < . Logo a solução será = 2,5. Outro modo rápido de resolver esse exercício é usando uma tabela. a b f(a) f(b) xk f(xk) 2 3 - 0,3979 0,4314 2,5 (^) - 0,00515<
- Sabendo que f(x)=x+ex, determine uma aproximação para o zero desta função no intervalo [- 1, 0] com precisão = 10-^2 a b f(a) f(b) xk f(xk)
- 1,000000 0,000000 - 0,632121 1,000000 - 0,500000 0,
- 1,000000 - 0,500000 - 0,632121 0,106531 - 0,750000 - 0,
- 0,750000 - 0,500000 - 0,277633 0,106531 - 0,625000 - 0,
- 0,625000 - 0,500000 - 0,089739 0,106531 - 0,562500 0,007283< Logo, a solução será = - 0,5625.
4 ) Dada a função f(x) = x³+3x-1 pesquise a existência de raízes reais em intervalos. E determine uma aproximação para cada raiz real com precisão e = 0,1. 5 ) Determine uma aproximação para a raiz da função f(x) = x² - sen(x), com 4 iterações. Calcule o erro cometido. Vantagens: Envolve operações aritméticas simples. É possível estimar o número de iterações. Desvantagens: convergência lenta. 2.2. Método da Falsa Posição Seja f(x) contínua no intervalo [a, b] e tal que f(a).f(b) <0. Queremos encontrar a raiz de uma função f(x), ou seja, encontrar o xi na qual f(xi) mais se aproxime de zero. Precisamos, primeiro, localizar a raiz, ou seja, definir o intervalo onde ela se encontra: [a,b]. Podemos ter a raiz mais próxima de a do que de b, ou vice versa, logo, uma vez definido o intervalo, traçamos uma reta que passe por x 1 = a e x 2 = b. Esta reta irá cortar o eixo X em um ponto, x 3 , que é uma aproximação da raiz. Assim, em vez de tomar a média aritmética entre a e b, o método da falsa posição toma a média ponderada entre a e b com pesos |f(b)| e |f(a)|, respectivamente:
f b f a
a f b b f a
x
= ou
f b f a
af b bf a
xk
Repete-se o processo até que | f(xk+1) | < e. O Método da Falsa Posição é um excelente método quando o intervalo escolhido para a raiz é pouco preciso. Em último caso podemos simplesmente escolher dois pontos x que tenham f(x) de sinais opostos e aplicar o método. O método pode ser aplicado a qualquer função e, assim como o Método da Bisseção, a raiz irá sempre convergir (desde que considerado um intervalo contínuo). Além disso, o método utiliza apenas matemática elementar, não exigindo conhecimentos de integração ou derivação. Em contrapartida, sua convergência é lenta. Exemplos: Usando o método da falsa posição:
- Ache a raiz de f(x) = sen (x)-x/2 , no intervalo [π/2, π]com e = 10-^2.
- Ache as raízes de f(x) = x² - 3, com e = 10-^2.
- Determine o zero de f(x) = x.log(x) - 1 em [2,3] com 5 iterações.
- No intervalo [0,1] e e = 5x10-^4 , determine o zero de f(x) = x³-9x+3.
Exercícios Resolvidos usando
f b f a
af b bf a
xk
1) sen(x)-x/2 =0 [pi/2; pi] e = 0,
k a f(a) b f(b) x f(x)
Logo x = 1,888954 é solução
2)f(x) = x² - 3, com e = 10-^2.
x 0 1 2 3
f(x) - 3 - 2 1 6 raiz em [1,2]
k a f(a) b f(b) x f(x)
Logo x = 1,731707 é solução
3) f(x) = x.log(x) - 1 em [2,3] com 5 iterações.
k a f(a) b f(b) x f(x)
5 2,506182 - 0,000002 3,000000 0,431364 2,506184 - 0,0000001 < 10-^6
erro sempre positivo Logo x = 2,506184 é solução
4) [0,1] e = 5x10-^4 , f(x) = x³-9x+3.
k a f(a) b f(b) x f(x) 1 0,000000 3,000000 1,000000 - 5,000000 0,375000 - 0, 2 0,000000 3,000000 0,375000 - 0,322266 0,338624 - 0, 3 0,000 000 3,000000 0,338624 - 0,008787 0,337635 - 0,000226< Logo x = 0,337635 é solução
- Método do Ponto Fixo (MPF) Seja f(x) função contínua em [a,b], intervalo que contém uma raiz da equação f(x) = 0. O MPF consiste em transformar f(x) =0 em uma equação equivalente x = (x) e a partir de uma aproximação inicial x 0 gerar a seqüência {xk} de aproximações para (raiz) pela relação xk+1 = (xk), pois a função (x) é tal que f() = 0 () = . Logo, transformamos o problema de determinar um zero da função em determinar um ponto fixo da função. A função (x) é chamada de função de iteração para a equação f(x)=0.
Exercício: Verifique a convergência das funções de iteração 1 (x) = 6-x² e 2 (x) = 6 − x para a
função f(x) = x²+x-6. Temos que quanto menor for |’(x)| mais rápida será a convergência. Então, basta tomarmos ’() = 0. Assim, podemos construir uma função (x) para a qual a convergência da seqüência xk está garantida, desde que xI = (a,b). (x) = x+A(x).f(x) ’(x) = 1+A’(x).f(x)+A(x).f ’(x) ’() = 1+A’().f()+A().f ’(), como f() = 0 ’() = 1+A().f ’(), fazendo ’() = 0, temos 1+A().f ’() = 0 ➔ A() =
f
Para satisfazer isso, basta escolhermos A(x) =
f x
Logo, (x) = x+A(x).f(x) =
f x
f x
x − , que será a função de iteração do método de Newton.
- Método de Newton- Raphson No método de Newton, na tentativa de garantir e acelerar a convergência do MPF, escolhemos a função de iteração (x) tal que `() = 0, ou seja, escolhemos a função de iteração (x) =
f x
f x
x − , com o processo iterativo xk+1 =
k k k
f x
f x
x − , k = 0,1,2,3...
Critério de parada Seja xk+1 = (xk) a partir de uma aproximação inicial x 0 dada. Se desejamos uma precisão >0 na aproximação obtida o ideal é que |xk+1 - |<. Mas, como em geral é desconhecido não podemos fazer este cálculo. Assim, adotamos como critério de parada o cálculo da distância relativa entre dois termos consecutivos da sequência de aproximações: |f(xk+1)| < . Exemplos: Encontre um zero de f(x) = x²+x-6 pelo método de Newton com precisão = 0,01 a partir da aproximação inicial x 0 = 1,5.
- Método da Secante Ao estudarmos o Método de Newton-Rapshon podemos notar que ele possui a desvantagem,
de ter que obter f '^ ( x )e calcular seu valor numérico a cada iteração.
Mas, existe uma forma de se contornar este problema, basta substituir a derivada f ' ( xk )pelo
quociente das diferenças: 1
'( ) ( ) (^1 )
− −
k k k k k
x x
f x f x
f x
onde xk e xk − 1 são duas aproximações para a raiz.
Neste caso, a função de iteração fica:
1 1 1 − − − −
= − k k
k k k k k k k k k
k k x x
f x f x
f x
x
x x
f x f x
f x
x x
E, simplificando, temos:
1 1 1 − − −
k k k k k k k
f x f x
x f x x f x
x^ , ou seja,
1 1 1 1 − − −
k k k k k k k
f x f x
x f x x f x
x
Note que para aplicar este método são necessárias duas aproximações iniciais. Interpretação Geométrica Exemplos:
1) Aplicar o Método da Secante para encontrar a raiz da função f ( x )= x^2 + x + 6 , com
x 0 = 1 , 5 , (^) x 1 = 1 , 7 e = 10 −^5 e, sabendo-se que (^) 2 = 2.
2) Aplicar o Método da Secante para encontrar a raiz da função f ( x )= x^2 − 9 x + 3 , com
x 0 = 0 , x 1 = 1 e = 5. 10 −^4.
3) Resolva a equação x³-5=0 com x 0 = 1,5 e x 1 = 1,8 e precisão = 0,01pelo método da
secante.
Como vimos, o Método da Secante é uma aproximação para o Método de Newton-Raphson, e por isso as condições de convergência são praticamente as mesmas, acrescentando apenas que
este método pode divergir se f ( xk ) f ( xk − 1 ). E, ainda podemos salientar que a ordem de
convergência do Método da Secante não é quadrática como a do Método de Newton-Raphson, mas também não é linear. É possível provar que a ordem de convergência para este método é
aproximadamente p = 1 , 62
Alguns exercícios Resolvidos 1 ) Seja f(x) = x
x e
−
− 5 , determine uma aproximação para o zero desta função no intervalo
[1,2] com precisão = 0,5.
x 0 1 2 3
f(x) - 5 - 0,8394 0,737537 1,
Raiz em (1,2)
2ª iteração: k = 1 f(2,65) = 0,0225 f’(2,65) = 5, x 2 = x 1 – f(x 1 ) / f’(x 1 ) = 2,65 – 0,0225/5,3 = 2, Critério de Parada: |f(x 2 )| = |f(2,645755)| = 0,000019 < Logo, a raiz procurada é α= 2,645755.
- Determine uma raiz de f(x) = 2x-cos(x) no intervalo [0,/4] pelo método de Newton, com x 0 = /8 e = 0,1. f(x) = 2x-cos(x) f’(x) =2+sen(x) 1ª iteração: k = 0 f(0,392699) = - 0, f’(0,392699) = 2, x 1 = x 0 – f(x 0 ) / f’(x 0 ) = 0,392699 - (-0,138481)/2,382683 = 0, Critério de Parada|f(x1)| = 0,138481 > 2ª iteração: k = 1 f(0,450819) = 0, f’(0,450819) = 2, x 2 = x 1 – f(x 1 ) / f’(x 1 ) = 0,450819-0,001547/2,435703= 0, Critério de Parada: |f(x 2 )| = |f(0,450184)| = 0,000001 < Logo, a raiz procurada é α= 0,450184.
- Determine uma raiz de f(x) = x^5 - 6 pelo método de Newton com x 0 = 1,5 e = 0,1. f(x) = x^5 - 6 f ’(x) =5x^4 1ª iteração: k = 0 f(1,5) = 1,5^5 - 6= 1, f’(1,5) = 5.1,5^4 = 25, x 1 = x 0 – f(x 0 ) / f’(x 0 ) = 1,5 - 1,593750/25,3125 = 1,4370 37 Critério de Parada: |f(x1)|=1,593750 > 2ª iteração: k = 1 f(1,437037) = 0, f’(2,65) = 21, x 2 = x 1 – f(x 1 ) / f’(x 1 ) = 1,437037 – 0,128296/21,322681 = 1, Critério de Parada: |f(x 2 )| = |f(1,431020)| = 0,001068 < Logo, a raiz procurada é α= 1,431020.
- Determine uma raiz de f(x) = xlnx-1 pelo método de Newton com x 0 = 1,5 e = 10-^7. Por termos o erro 10-^7 devemos trabalhar com 8 casas decimais. f(x) = xlnx- 1 f’(x) = 1.ln(x)+x.1/x = lnx+ f(1,5) = 1,5.ln(1,5)-1 = - 0, f’(1,5) = ln(1,5)+1 = 1, x 1 = x 0 – f(x 0 ) / f’(x 0 ) = 1,5 – (-0,39180234)/1,40546511 = 1, Critério de Parada: |f(x1)| > 2ª iteração: k = 1 f(1,77877059) = 0, f’(1,77877059) = 1, x 2 = x 1 – f(x 1 ) / f’(x 1 ) = 1,77877059-0,02443391/1,57592268 = 1, Critério de Parada: |f(x2)|> 3ª iteração: k = 2 f(1,76326608) = 0, f’(1,76326608) = 1, x 3 = x 2 – f(x 2 ) / f’(x 2 ) = 1,76326608-0,00006777/1,56716782= 1, Critério de Parada: |f(x 3 )| = |f(1,76322283)| = 0,00000001 < Logo, a raiz procurada é α= 1,76322283.
8) A equação x³-2x-1=0 tem raízes reais.
a) Determine o intervalo onde está a raiz positiva e onde está a raiz negativa.
X - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5
F(x) - 116 - 57 - 22 - 5 0 - 1 - 2 3 20 55 114
α=-1 é uma raiz negativa e a raiz positiva, está no intervalo [1,2].
b) Determine uma aproximação para a raiz em [1,2] com 3 iterações usando o
método da Bisseção. Estime o erro.
f(1) = 1³-2.1-1 = - 2 f(2) = 2³-2*2-1 =
k=1➔ x 1 = (1+2)/2 = 1,
f(1,5) = 1,5³-2.1,5-1 =-0,62 5
a= 1,5 e b = 2
k=2➔ x 2 = (1,5+2)/2 = 1,
f(1,75) = 1,75³-2.1,75-1=0,
a=1,5 e b = 1,
