Desenho Geométrico, Manuais, Projetos, Pesquisas de Geometria

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DESENHO GEOMÉTRICO

EBER NUNES FERREIRA

ÍNDICE

• 1 - INTRODUÇÃO À GEOMETRIA
• 2 - LUGARES GEOMÉTRICOS
• 3 - DIVISÃO DE SEGMENTOS
• 4 - ÂNGULOS
• 5 - POLÍGONOS
• 6 - TRIÂNGULOS
• 7 - QUADRILÁTEROS
• 8 - CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO
• 9 - TANGÊNCIA
• 10 - CONCORDÂNCIA
• 11 - CALIGRAFIA TÉCNICA
• 12 - INSTRUMENTALIZAÇÃO

2 - LUGARES GEOMÉTRICOS

Conceito:

Lugar Geométrico de pontos é o lugar do plano onde todos os pontos nele situados gozam

de uma mesma propriedade.

Existem vários lugares geométricos, no entanto, cinco são considerados os mais importantes.

São eles: circunferência, mediatriz, bissetriz, paralela e arco-capaz.

1 - Circunferência : é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de um ponto dado.

Plano

O plano pode ser considerado como o conjunto das posições de uma linha reta móvel, que se desloca

paralelamente a si mêsma em uma única direção. É designado por letras minúsculas do alfabeto grego.

É representado da seguinte forma.

αβχδεφγηιϕκλμνοπθρθστυϖζ

2 - Mediatriz : é o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de dois pontos dados.

O O

A1=1B AP=PB

P

P

A

A

B

B

5 - Arco-capaz: é o lugar gemétrico dos pontos de onde segmentos dados, são vistos

segundo ângulos dados.

4 - Bissetriz : é o lugar gemétrico dos pontos eqüidistantes de duas retas concorrentes, ou

o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes dos lados de um ângulo dado.

3 - Paralela : é o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de uma reta dada.

Lembre-se que a maior corda de uma circunferência é o seu diâmetro. O valor do arco-

capaz quando a corda passa pelo centro é de 90º e neste caso, os ângulos ααααα e βββββ são congruentes

(iguais).

x x x

y y

y'

1 1 1

1'

2 2 2

2'

3 3 3

3'

4 4 4

4'

5 5 5

5'

A A A

d d

d

B C D E B C D E B C D E

A

A

A A

A A O

O

O O

O O

B

B

B B

B B

CORDA

CORDA

CORDA CORDA

P CORDA CORDA

P

Q

Q'

P'

Esta é uma propriedade observada entre a circunferência e sua corda. (Corda é o segmento que une dois pontos distintos da circunferência) P'

P"

P"

A O A O

B (^) B

Q CORDA = DIÂMETRO

Q

A B C A B C BISSETRIZ

BISSETRIZ

O O

d d

x (^) d x d (^) x

y y y

04 - Por um ponto P , situado na reta x , levantar a reta y perpendicular à x. Construção: Centro em P , abertura qualquer, descreve-se um arco determinando os pontos 1 e 2 sobre x. Obtenha y determinando a mediatriz de 12.

PROCESSO II - Construção: Determina-se arbitrariamente o ponto 1 sobre a reta x. Centro em 1 , abertura 1P , descreve- se um arco determinando o ponto 2 sobre 1x. Centro em 2 , abertura 2P descreve-se outro arco que interceptará o primeiro no ponto 3. Uni-se 3 a P e obtém-se a perpendicular pedida.

y

x

P

x

P

y

P (^) x P (^) x

05 - Pelo ponto P , situado na extremidade da reta x , levantar a reta y perpendicular à x. (Nos

processos referentes a este exercício, não é previsto o prolongamento da reta) PROCESSO I - Construção: Tomando como extremidade o ponto P , abertura qualquer, descreve-se um arco (maior que 120º) determinando o ponto 1 sobre x. Com mesma abertura, centro em 1 , determina-se 2 , em seguida, centro em 2 e determina-se 3 , ambos sobre o arco inicial. Agora, basta encontrar a mediatriz dos pontos 2 e 3 e teremos solucionado o exercício. Pelo fato do ponto P , pertencer à mediatriz, basta determinar o ponto 4. Obs.: a abertura inicial é qualquer, mas depois de estabelecida, não poderá ser alterada dentro do exercício.

x

y

P P x

PROCESSO II - Construção: Tomando como extremidade o ponto P , abertura qualquer, descreve-se um arco (maior que 60º) determinando o ponto 1 sobre x. Com mesma abertura, centro em 1 , determina-se 2 sobre o arco. Une-se 1 a 2 prolongando-o, determinando assim a reta auxiliar a. Com a mesma abertura, à partir de 2 determina-se 3 sobre a. O ponto 3 ligado ao ponto P determinará a perpendicular y pedida.

PROCESSO III - Construção: De um ponto O qualquer, fora da reta dada, com abertura PO , descreve-se um arco (maior que 180°) determinando o ponto 1 sobre x. Une-se 1 a O prolongando-o, Determina-se assim, a reta auxiliar a que encontrará o ponto 2 sobre o arco. O ponto 2 ligado ao ponto P determinará a perpendicular y pedida.

x P x

y

a

P

PROCESSO IV - Construção: Este processo baseia-se no fato de que todo triângulo de lados 3u, 4u e 5u, é um triângulo retângulo. Sobre uma reta auxiliar e com o auxílio do compasso ou com o uso da régua graduada, marca-se 5 módulos quaisquer, mas que sejamiguais entre si. Centro em P , abertura igual a 3 módulos, descreve-se um arco determinando o ponco 1 sobre x. Centro novamente em P , abertura igual a 4 módulos e descreve-se um segundo arco. Centro em 1 , abertura igual a 5 módulos e descreve-se um arco que interceptará o anterior determinando o ponto 2. Une-se P a 2 e obtém-se a perpendicular y desejada.

x P x

y

a

P

O

x P x

y

3u

u u u u u

4u

5u

P

09 - Determine a bissetriz do ângulo dado, sem recorrer ao vértice. Construção: Traçe uma reta auxiliar qualquer cortando os lados do ângulo dado, obtendo os ângulos auxiliares A , B , C e D. Encontre o ponto 1 com o cruzamento das bissetrizes dos ângulos A e B , e o ponto 2 com as bissetrizes dos ângulos C e D. Com a união dos pontos 1 e 2 , obtém-se a bissetriz pedida.

10 - Dados os pontos 1 , 2 , 3 e 4 , encontre o ponto P que seja equidistante dos pontos 1 e 2 e

dos pontos 3 e 4.

11 - Construa uma circunferência cujo centro pertença a reta x e que contenha os pontos

R e S.

x

S

R

B

A

C

D

12 - Construa uma circunferência de raio = 3cm e que contenha os pontos R e S.

S

R

13 - Encontre os pontos equidistantes das retas x e y , pertencentes a reta z. Sabe-se que a

reta z é aralela a reta x e contém o ponto R.

x

y

R

14- Encontre o ponto K sabendo-se que o mesmo se encontra equidistante dos lados não

paralelos do trapézio ABCD e distante 2,5 cm da base maior. Quantos pontos solucionam este

exercício? B

C

D

A

3 - DIVISÃO DE SEGMENTOS

TEOREMA DE TALES

Um feixe de retas paralelas determina em duas ou mais transversais quaisquer, segmentos

proporcionais.

Considerando o feixe de retas paralelas equidistantes ( v , x , y , w e z ), cortado pelas retas transversais s e t , temos na reta s , segmentos iguais de medida a , e na reta t , segmentos iguais de medida b.

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

s//s'

s

s'

DIVISÃO DE SEGMENTOS

Dividir o segmento AB em n partes iguais. Considerar n = 4.

Dividir o segmento AB em n partes iguais. Considerar n = 3.

PROCESSO I : Contrução: Por A , passe uma reta auxiliar x formando um ângulo qualquer com o segmento dado. A partir de A , com o uso do compasso ou de uma régua graduada, marque sobre x , n módulos iguais. Una o ponto B a extremidade do último módulo marcado determinando a reta y. Pelas extremidades de cada módulo marcado passe uma reta paralela a y. O encontro de cada reta paralela com o AB , divide o segmento em n partes iguais.

PROCESSO II : Contrução: Por A passe um reta auxiliar s determinando um ângulo qualquer com o segmento AB. Transporte este ângulo para o ponto B determinando a reta s' paralela a reta s. Com o uso do compasso ou de uma régua graduada, marque sobre s e s' , n módulos iguais. Ao unirmos os pontos dos módulos, formando retas paralelas, o segmento AB é dividido em n partes iguais.

DIVISÃO SIMULTÂNEA DE SEGMENTOS

Dividir os segmentos AB, CD e EF em n partes iguasis. Considerar n= 5

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5

A (^) B

C D

E F

A B

C D

E F

P

A B

C D

E F

P

E (^) F

P

PRIMEIRO PASSO

SEGUNDO PASSO TERCEIROPASSO

Contrução: Sobre uma reta auxiliar qualquer , com o uso do compasso ou de uma régua graduada, marque n módulos iguais. Contrua um triângulo equilátero tendo por lado um dos segmentos a serem diivididos, preferencialmente o maior deles. Centro em P com abertura AB, transporta-se o segmento para o triângulo. Repete-se esta operação para todos os demais segmentos a serem divididos incluisve o segmento formado pelos módulos. Ao unirmos os pontos dos módulos ao ponto P todos os segmentos são divididos simultaneamente em n partes iguais.

DIVISÃO DE SEGMENTOS EM PARTES PROPORCIONAIS

Dividir os segmentos AB proporcional aos lados do Triângulo XYZ.

A B

x

X

y

z^ Y

Z

A B

x

x'

y

y'

z

z'

PROCESSO I : Contrução: Por A , passe uma reta auxiliar r formando um ângulo qualquer com o segmento dado. Sobre r , a partir de A , transporte os lados y , z e x com o uso do compasso. Una o ponto B a extremidade do lado x determinando a reta s. Pelas extremidades de cada segmento transportado, passe uma reta paralela a y. O encontro de cada reta paralela com o AB , divide o segmento em partes proporcionais a y , z e x.

PROCESSO II : Aplicar o mesmo raciocínio utilizado o segundo processo de divisão em partes iguais.

OBSERVAÇÃO: Com a divisão do segmento AB em partes proporcionais aos lados x , y e z ,

do triângulo, podemos construir um outro triângulo de lados x ' , y' e z' proporcional a ao primeiro e

cujo perímetro é igual ao segmento AB. Assim sendo, podemos contruir várias figuras proporcionais

as outras conhecendo-se o seu perímetro.

A - ELEMENTOS DE UM ÂNGULO Vértice do Ângulo : é o ponto comum às semi-retas. Lados : são as próprias semi-retas. Abertura Angular : é a unidade de medida do ângulo. Região Angular : é a porção compreendida ou delimitada pelos lados.

B- MEDIDAS DA ABERTURA ANGULAR

A abertura angular pode ser expressa em graus, grados e radianos, onde o maior ângulo que

se obtém ao nível do desenho geométrico é o de 360° , 400 gr ou 2πrd, ou seja, um ângulo de volta

inteira. No entanto utilizaremos durante o curso, o grau, como unidade de medida.

NOTAÇÃO : Para indicarmos que um ângulo, tem uma determinada abertura, escrevemos

das seguintes maneiras:

B  C = 45° ou  = 45°

Atente para o fato de que dois ou mais ângulos que possuem medidas iguais são chamados

ângulos congruentes.

A

lado

Abertura Angular

Região Angular

Vértice

lado

0° 0 gr

100 gr

200 gr

300 gr

400 gr

90°

270°

360° 180° Πrd Πrd

Πr

Πrd

Πrd

 Â

 Â

0° 90° 180° 360° ÂNGULO NULO ÂNGULO RETO ÂNGULO RASO ÂNGULO DE VOLTA INTEIRA

C - REGIÃO INTERNA E PONTO INTERIOR (PONTO INTERNO)

Excluíndo os lados de um ângulo, obtemos as seguintes regiões:

• região interna do ângulo convexo
• e a região interna do ângulo côncavo. Um ponto é considerado ponto interior , quando pertecer à região interna do ângulo.

A (^) P

P

P

A A A

ÂNGULO CONVEXO ÂNGULO CÔNCAVO PONTO INTERIOR

D - ÂNGULOS CONSECUTIVOS

Dois ângulos são consecutivos quando possuem o mesmo vértice e um mesmo lado comum.

ângulos consecutivos (^) ângulos não

consecutivos

AÔB e BÔC são ângulos consecutivos

AÔB e AÔC são ângulos consecutivos

E - ÂNGULOS ADJACENTES Dois ângulos consecutivos são adjacentes quando não possem ponto interior comum

AÔB e BÔC são ângulos consecutivos adjacentes , pois não possuem ponto interior comum, ou seja, o ponto P quando pertence a região interna de AÔB, não pertence a região interna de BÔC e vice-versa.

Se consideramos os ângulos AÔC e BÔC, eles serão classificados como ângulos consecutivos não adjacentes , pois possuem ponto (P) interior comum, ou seja o ponto P pertence a região interna dos dois ângulos.

Se consideramos os ângulos AÔC e BÔD, eles serão classificados como ângulos não consecutivos ,(possuem mesmo vértice, porém não possuem lado comum), e não adjacentes , pois possuem um ponto (P) interior comum (o ponto P pertence a região interna dos dois ângulos).

F - ÂNGULOS COMPLEMENTARES E SUPLEMENTARES Dois ângulos são complementares, quando a soma de suas aberturas angulares é igual a

um ângulo reto (90°).

Dois ângulos são suplementares, quando a soma de suas aberturas angulares (medidas) é igual a um ângulo raso (180°).

H - ADIÇÃO DE ÂNGULOS

Dados os âgulos ααααα e βββββ, pede-se somá-los geometricamente tendo como vértice o ponto V.

O O V

Adotando uma abertura qualquer, descreve-se com ela, em cada um dos vértices, os arcos 12 e 23 e o ponto 1'.

O O V

Com a abertura 12 e centro em 1' determina-se o ponto 2'.

V V V

2' 2'^ 2'

a a a

b

Com a abertura 23 e centro em 2' determina-se o ponto 3'.

Os ângulos são somados, ao tornarem-se consecutivos adjacentes

I - SUBTRAÇÃO DE ÂNGULOS

Dados os âgulos ααααα e βββββ, pede-se subtraí-los geometricamente tendo como vértice o ponto V.

O O V

Adotando uma abertura qualquer, descreve-se com ela, em cada um dos vértices, os arcos 12 e 23 e o ponto 1'.

O O V

Com a abertura 12 e centro em 1' determina-se o ponto 2'.

Com a abertura 23 e centro novamente em 1'' determina- se o ponto 3'.

O ângulo procurado é a diferença entre ααααα e β.β.β.β.β. Portanto basta tornar os ângulos ααααα e βββββ em ângulos consecutivos não adjacentes

V V V

EXERCÍCIOS EFETUE GRAFICAMENTE AS OPERAÇÕES COM OS ÂNGULOS ABAIXO.

CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS DOS ÂNGULOS

O

O

O

O

O

O

V

V

1- Construção do ângulo de 45º através da divisão do ângulo de 90º

Observe ao dividir um ângulo reto em 3 partes iguais obtém-se também um ângulo de 30º e outro de 60º

2 - Construção do ângulo de 30º através da divisão do ângulo de 90º em 3 partes iguais.

O

O

O

O

O

O

Centro em O com abertura qualquer obtem-se 1 e 3.

Com a mesma abertura centros em 1 e 3 e determina-se 2.

O2 divide o ângulo de 90º em 2 ângulos de 45º.

Com igual abertura, centros em 1 e 4 e determina-se 2 e 3.

O2 e 03 dividem o ângulo de 90º em 3 ângulos de 30º.

Centro em O com abertura qualquer obtem-se 1 e 4.