Desenho Geometrico, Notas de estudo de Matemática

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FICHA TÉCNICA

Governador Eduardo Braga Vice-Governador Omar Aziz Reitor Lourenço dos Santos Pereira Braga Vice-Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Planejamento e Administração Antônio Dias Couto Pró-Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Ademar R. M. Teixeira Pró-Reitor de Ensino de Graduação Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa Walmir de Albuquerque Barbosa Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings Coordenador Pedagógico Luciano Balbino dos Santos

NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes Projeto Gráfico Mário Lima Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Revisão Técnico-gramatical João Batista Gomes

Queiroga, Alberto Luiz Fernandes.

Q3d Desenho geométrico. / Alberto Luiz Fernandes Queiroga, Cláudio Barros Vitor. - Manaus/AM : UEA, 2007. - (Licenciatura em Matemática. 2. Período)

113 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia e anexo.

1. Desenho geométrico. I. Vitor, Cláudio Barros. II. Série. III. Título.

CDU (1997): 514. CDD (19.ed.): 604.

SUMÁRIO

• Palavra do Reitor
• UNIDADE I – Introdução ao desenho geométrico
• TEMA 01 – O material utilizado no desenho geométrico
• TEMA 02 – Entes fundamentais
• TEMA 03 – Operações com segmentos e ângulos
• UNIDADE II – Construções de ângulos e retas
• TEMA 04 – Uso do esquadro, compasso e régua para construção de ângulos e retas
• UNIDADE III – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais
• TEMA 05 – Divisão de segmento
• TEMA 06 – Divisão em partes proporcionais
• TEMA 07 – Média proporcional ou geométrica
• TEMA 08 – Divisão harmônica e segmento áureo
• UNIDADE IV – Figuras da geometria plana
• TEMA 09 – Divisão de circunferência em duas partes iguais (pelo ângulo central)
• TEMA 10 – Triângulos
• TEMA 11 – Quadriláteros
• TEMA 12 – Trapézio
• TEMA 13 – Lozangos e paralelogramos
• UNIDADE V – Polígonos e poliedros
• TEMA 14 – Polígonos
• TEMA 15 – Poliedros
• Anexos
• Respostas de Exercícios
• Referências

PALAVRA DO REITOR

A realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigada à sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado do Amazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon- der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados em dinamismo técnico−científico.

Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere- cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis- tenciais, estimulando−lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando− lhes uma visão multifacetada das maneiras de educar.

Os livros−textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a história da educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos- tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi- no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”.

A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafios que se impõem hoje.

Lourenço dos Santos Pereira Braga Reitor da Universidade do Estado do Amazonas

TEMA 01

MATERIAL UTILIZADO NO DESENHO

GEOMÉTRICO

Um breve histórico

Como linguagem de comunicação e expres- são, a arte do desenho antecede em muito a da escrita. O que é a escrita senão a combi- nação de pequenos símbolos desenhados? Por meio de gravuras traçadas nas paredes das cavernas, o homem pré-histórico registrou fatos relacionados ao seu cotidiano, deixando indicadores importantes para os pesquisado- res modernos estudarem os ancestrais de nos- sa espécie. Enfim, a arte do desenho é algo inerente ao homem.

Não se sabe quando, ou onde, alguém formu- lou pela primeira vez, em forma de desenho, um problema que pretendia resolver – talvez tivesse sido um “projeto” de moradia ou tem- plo, ou algo semelhante. Mas esse passo re- presentou um avanço fundamental na capaci- dade de raciocínio abstrato, pois esse desenho representava algo que ainda não existia, que ainda viria a se concretizar. Essa ferramenta, gradativamente aprimorada, foi muito impor- tante para o desenvolvimento de civilizações, como a dos babilônios e a dos egípcios, as quais, como sabemos, realizaram verdadeiras façanhas arquitetônicas.

Porém uma outra civilização, que não hesitava em absorver elementos de outras culturas, aprendeu depressa como passar à frente de seus predecessores; em tudo que tocavam, davam mais vida. Eram os gregos. Em todas as áreas do pensamento humano em que se propuseram a trabalhar, realizaram feitos que marcaram definitivamente a história da huma- nidade.

Foram os gregos que deram um molde deduti- vo à Matemática. A obra Elementos , de Eucli- des (?300 a.C.), é um marco de valor inesti- mável, na qual a Geometria é desenvolvida de modo bastante elaborado. É na Geometria gre- ga que nasce o Desenho Geométrico que aqui vamos estudar. Na realidade, não havia entre os gregos uma diferenciação entre Desenho Geométrico e Geometria. O primeiro aparecia simplesmente na forma de problemas de construções geo- métricas, após a exposição de um item teórico dos textos de Geometria. Essa conduta eucli- diana é seguida até hoje em países como a França, Suíça, Espanha, etc., mas, infelizmen- te, os problemas de construção foram há muito banidos dos nossos livros de Geometria. Assim, pode-se dizer que o Desenho Geomé- trico é um capítulo da Geometria que, com o auxílio de dois instrumentos, a régua e o com- passo, se propõe a resolver graficamente pro- blemas de natureza teórica e prática.

Material de desenho e seu uso O lápis

Em desenho geométrico, utilizaremos o lápis com grafite HB para os traçados de letras, con- tornos e esboços. Para seu desenho ter as linhas bem definidas, mantenha a grafite sempre bem-apontada, em forma cônica, usando para isso um pedaço de lixa. A lapiseira

Você pode também utilizar as práticas lapisei- ras com grafites 0.5mm, pois elas têm grossura ideal para o desenho geométrico. A borracha

Use borracha macia para não deixar marcas no papel.

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Desenho Geométrico – Introdução ao desenho geométrico

AB: é o segmento de reta;

A e B: são os extremos;

r: é a reta suporte do segmento AB.

Segmentos que pertencem à mesma reta cha- mam-se colineares.

Segmentos que possuem uma extremidade em comum chamam-se consecutivos.

O plano

A noção intuitiva de plano apóia-se na idéia de superfícies como a de um quadro ou a de uma parede.

O plano é uma figura ideal. A partir da idéia que dele fazemos, deve-se entendê-lo como formado por infinitos pontos. Ele é aberto e infinito.

A identificação do plano é dada por letras

minúsculas do alfabeto grego: α, β, δ, ϕ, ψ,

etc.

TEMA 03

OPERAÇÕES COM SEGMENTOS E

ÂNGULOS

Transporte de segmentos O transporte gráfico de segmento consiste em construir um segmento congruente ao segmen- to dado.

Assim, dado o segmento AB, para transportá-⎯

lo de modo a que tenha por extremidade M e esteja na reta r, faz-se ponta-seca do compas- so em M e abertura

AB, descrevendo-se um arco de circunferência, obtendo-se N. Assim,

obtém-se MN⎯ ≡ AB.

MN^ ⎯ ≡ AB.⎯

Adição de segmentos A soma gráfica de segmentos é obtida pelo transporte sucessivo dos segmentos dados.

MN ≡

AB e

NP ≡

CD

MP é o segmento-soma.^ ⎯

Subtração de segmentos Transportam-se os segmentos dados para uma reta suporte r, com centro em P.

PQ^ ⎯ ≡ AB⎯ e PR⎯ ≡ CD⎯

QR é o segmento-diferença.^ ⎯

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Desenho Geométrico – Introdução ao desenho geométrico

Ângulos Um breve histórico

O conceito de ângulo aparece primeiramente em materiais gregos no estudo de relações en- volvendo elementos de um círculo junto com o estudo de arcos e cordas. As propriedades das cordas, como medidas de ângulos centrais ou inscritas em círculos, eram conhecidas desde o tempo de Hipócrates. Talvez Eudoxo tenha usado razões e medidas de ângulos na deter- minação das dimensões do planeta Terra e no cálculo de distâncias relativas entre o Sol e a Terra. Eratóstenes de Cirene (276 a.C.– a.C.) já tratava de problemas relacionados com métodos sistemáticos de uso de ângulos e cor- das. Desde os tempos mais antigos, os povos vêm olhando para o céu na tentativa de encontrar respostas para a vida na Terra e entender os corpos celestes que aparecem à nossa vista. Assim, a Astronomia talvez tenha sido a pri- meira ciência a incorporar o estudo de ângulos como uma aplicação da Matemática. Na determinação de um calendário ou de uma hora do dia, havia a necessidade de realizar contagens e medidas de distâncias. Freqüentemente, o Sol servia como referência, e a determinação da hora dependia da incli- nação do Sol e da relativa sombra projetada sobre um certo indicador (relógio de sol). Para obter a distância que a Lua estava acima do horizonte, dever-se-ia calcular uma distân- cia que nunca poderia ser medida por um ser humano comum. Para resolver esse problema, esticava-se o braço e calculavam-se quantos dedos comportava o espaço entre a Lua e o horizonte, ou então, segurava-se um fio entre as mãos afastadas do corpo e media-se a dis- tância.

Os braços deveriam permanecer bem estica- dos para que a resposta fosse a mais fiel pos- sível. A medida era diferente de uma medida comum, e esse modo foi o primeiro passo para medir um ângulo, objeto este que se tornou importantíssimo no contexto científico.

Algumas definições históricas Grécia antiga

“Um ângulo é uma deflexão ou quebra em uma linha reta”. Euclides

“Um ângulo plano é a inclinação recíproca de duas retas que num plano têm um extremo comum e não estão em prolongamento”. H. Schotten Em 1893, resumiu as definições de ângulo em três tipos:

1. A diferença de direção entre duas retas.
2. A medida de rotação necessária para trazer um lado de sua posição original para a posição do outro, permanecendo entre- mentes no outro lado do ângulo.
3. A porção do plano contida entre as duas retas que definem o ângulo. P. Henrigone Em 1634, definiu ângulo como um conjunto de pontos, definição essa que tem sido usada com mais freqüência. Neste trabalho, aparece pela primeira vez o símbolo “<” para representar ângulo.

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UEA – Licenciatura em Matemática

1. Dados os segmentos de medidas a, b e c, ob- tenha o segmento de medida 2a + b + c.
2. Obtenha, sobre uma reta r, o segmento cuja medida corresponde ao perímetro das figuras dadas. a)

b)

c)

3. Dados os segmentos de medidas a, b e c, obte- nha os segmentos de medidas (b – a) + (c – b).
4. Sabendo que AB = 55mm, CD = 37mm e EF = 40mm, desenhe o segmento de medida 2AB – 10(EF – CD).
5. A partir de , dado graficamente abaixo, transporte A^OB e A^OC, em cada caso: a)

b)

6. Tome um ângulo qualquer e transporte para uma outra semi-reta, usando o compasso, um ângulo congruente ao ângulo determinado.
7. Verifique, por transporte de ângulos, as rela- ções de ângulos congruentes na figura dada.

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UEA – Licenciatura em Matemática

8. Mostre, por transporte de ângulos, que a soma dos ângulos internos de um triângulo é um ângulo raso.
9. Dado o triângulo ABC, verifique se “o ângulo externo é a soma dos ângulos internos não- adjacentes”.

10. Dado α e β, encontre o que se pede:

a) α + β

b) β – α

c) 3α – β

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Desenho Geométrico – Introdução ao desenho geométrico

UNIDADE II

Construção de ângulos e retas