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DESIGUALDADES ELEMENTARES
Antonio Caminha Muniz Neto
F 0 A 8Nível Avançado.
Pretendemos neste artigo desenvolver ferramentas básicas a fim de que o leitor se torne apto a resolver uma vasta gama de problemas de competições matemáticas que envolvam desigualdades. Tentamos tornar nossa exposição a mais auto-suficiente possível. Em certas passagens, contudo, algum conhecimento de cálculo é útil, ainda que não imprescindível. Em tais ocasiões indicamos ao leitor a referência [3] como bibliografia auxiliar.
Antes de discutirmos qualquer desigualdade em especial, consideremos um exemplo preliminar.
Exemplo 1 : Para todo inteiro positivo n , prove que.
Solução : Veja que, para todo inteiro k > 1,
Portanto, sendo a maior potência de 2 menor ou igual a n , temos
Mas , e a desigualdade do enunciado é imediata.F 0 6 F
O exemplo acima foi colocado de propósito. Ele chama atenção para o fato de que nem sempre precisamos de algo mais que raciocínio para resolver problemas envolvendo desigualdades. A proposição abaixo mostra um pouco mais sobre como podemos derivar desigualdades interessantes com muito pouca matemática.
Proposição 1 (Desigualdade do Rearranjo) : Sejam reais positivos dados, e considere a expressão , onde é uma reordenação de. Então
Prova : Vamos primeiro tornar S a maior possível. Como só há um número finito ( n fatorial) de possíveis reordenações , há uma delas que torna S máxima. Suponha então que estamos com a reordenação que torna S máxima.
Queremos mostrar que essa reordenação é exatamente. Para isso, basta mostrarmos que deve ser. Suponha o contrário, i.e., que existam índices i < j tais que. Trocando as posições de e (i.e., pondo ao lado de e ao lado de ), S varia de , quer dizer, S aumenta. Mas isso contraria o fato de ser a reordenação aquela que torna S máxima. Logo, e daí para todo i , donde o maior valor possível de S é. O raciocínio para minimizar S é análogo.F 0 6 F
Passemos agora a nosso principal objetivo, o estudo de desigualdades especiais. A mais importante destas é a dada pela proposição 2 abaixo. Antes, uma definição.
Definição 1 : Dados n > 1 reais positivos , definimos
i. A média aritmética de como o número. ii. A média geométrica de como o número.
Proposição 2 (Desigualdade Entre as Médias Aritmética e Geométrica) : Dados n > 1 reais positivos , sua média aritmética é sempre maior ou igual que a média geométrica, ocorrendo a igualdade se e só se forem todos iguais. Em símbolos:
Prova : Façamos a prova em dois passos:
i. A desigualdade é verdadeira quando n for uma potência de 2, ocorrendo a igualdade se e só se todos os números forem iguais. ii. (^) A desigualdade é verdadeira em geral, e a igualdade ocorre se e só se os números forem todos iguais.
i. Façamos indução sobre k F 0 B 31, sendo : Para k = 1, temos , o que é verdade. Há igualdade se e só se , i.e., se e só se. Se já provamos que , com igualdade se e só se para , então
Para haver igualdade, devemos ter igualdade em todas as passagens. Então, deve ser
, e
Para as duas primeiras igualdades, segue da hipóteses de indução que deve ser e A última igualdade ocorre se e só se. Estas duas condições juntas implicam que devemos ter. É também evidente que se os números forem todos iguais a igualdade ocorre.
ii. Seja agora n > 1 um natural qualquer e reais positivos. Tome k natural tal que Usando a desigualdade entre as médias para os números e cópias de , obtemos
,
e daí , ou ainda , que era a desigualdade desejada.
Para haver igualdade, segue do item i que deve ser. Em particular, todos os números devem ser iguais. É fácil ver que se esses números forem todos iguais então há igualdade.F 0 6 F
Corolário 2.1 : Dados n > 1 reais positivos , temos , com igualdade se e só se forem todos iguais.
Prova : Basta aplicarmos duas vezes a proposição 2 e multiplicarmos os resultados: e F 0 6 F Exemplo 2 : ( Olimpíada Israelense ) Sejam k e n inteiros positivos, n > 1. Prove que
Prova : Basta ver que
,
onde aplicamos a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica uma vez. Note que,
como os números são dois a dois distintos, não há igualdade, razão do sinal > acima.F 0 6 F
Dentre todas as desigualdades especiais que temos oportunidade de usar em problemas de competições matemáticas, a desigualdade a seguir se constitui, juntamente com a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica, num dos dois mais importantes resultados a serem guardados.
Prova :
já que os são igualmente ordenados.
Note que a condição do enunciado é suficiente para haver igualdade. Por outro lado, suponha que tenhamos a igualdade. Como para todos i , j , devemos ter para todos os i , j. Suponha que existisse um índice k com. Então , e de segue que para i F 0 A 3 k. Portanto. De e concluímos
que. Logo, todos os devem ser iguais.F 0 6 F
Corolário 4.1 : Sejam reais positivos e k um natural. Então , com igualdade se e só se todos os forem iguais ou k F 0 C E{0, 1}.
Prova : Por indução, o resultado acima é trivialmente verdadeiro para k = 1. Suponha k > 1 e o resultado válido para k - 1. Como ambos os membros da desigualdade acima são invariantes por permutações dos índices 1, 2, ..., n , podemos supor sem perda de generalidade que. Daí, , e da desigualdade de Chebychev obtemos. Pela hipótese de indução, vem que. Combinando as duas desigualdades acima segue o resultado. A condição de igualdade é óbvia a partir da desigualdade de Chebychev.F 0 6 F
Por fim, vejamos algo um pouco mais sofisticado.
Definição 2 : Seja I um intervalo da reta e uma função. A função f é dita i. Convexa se para todos os x , y em I. ii. Côncava se para todos os x , y em I. Nas aplicações, quase sempre lidamos com funções contínuas (se você não sabe o que vem a ser uma função contínua, pense na mesma como uma função cujo gráfico não sofre interrupções ou saltos ao longo de seu domínio). Se f for contínua a proposição a seguir é geometricamente evidente. A partir de agora, sempre que nos referirmos a uma função estaremos sempre supondo ser seu domínio um intervalo da reta e a função contínua nesse intervalo.
Proposição 5 : Sejam f : I F 0 A ER uma função. Então:
i. f é convexa se e só se, para todos x , y em I e todo tivermos
ii. f é convexa se e só se, para todos x , y em I e todo tivermos
Façamos o caso em que f é convexa. O outro caso é análogo. Observe que , e que, no trapézio abaixo, é o comprimento da paralela às bases pelo ponto
Prova : Suponha primeiro que f satisfaz a condição do item i. Tomando concluímos que f é convexa. Reciprocamente, suponha que f seja convexa. Dados x , y em I , temos
Trocando x por y e raciocinando como acima segue que, para ,
(*)
Por indução sobre k inteiro positivo podemos concluir de maneira análoga que (*) continua válida para todo t da forma , onde é inteiro. Como todo real em [0,1] é limite de uma
seqüência de números dessa forma, segue que (*) continua válida para todo t em [0, 1].F 0 6 F
As afirmações a seguir são agora bastante evidentes, e vão ser nosso principal guia quando quisermos decidir se uma dada função é ou não convexa ou côncava.
i. Se para todos a < b em I o gráfico de f entre as retas x = a e x = b estiver abaixo da reta que passa por , então f é convexa, e reciprocamente.
ii. Se para todos a < b em I o gráfico de f entre as retas x = a e x = b estiver acima da reta que passa por , então f é côncava, e reciprocamente.
A figura abaixo para se convencer da validez desse resultado no caso em que f é convexa.
Nele,. É evidente que e. Daí, e f é convexa.
Para nós, a importância dessa discussão sobre funções côncavas e convexas reside na seguinte:
Proposição 6 (Desigualdade de Jensen) : Sejam I um intervalo da reta e f : I F 0 A ER uma função. Se e , com , então e
i. f convexa
ii. (^) f côncava
Prova : Façamos a prova, por indução sobre n > 1, para o caso em que f é convexa, sendo o outro caso análogo. O caso n = 2 é nossa hipótese. Suponha agora que para um certo n > 1 e todos e , com , tenhamos e Considere agora e , com. Se então e nada há a fazer. Senão, defina , onde. Como , segue da hipótese de indução que. Daí,
já que f é convexa. Aplicando a outra metade da hipótese de indução, obtemos
Juntando essas duas desigualdades, obtemos a desigualdade de Jensen.F 0 6 F
Vejamos agora um exemplo de como aplicar a desigualdade de Jensen.
Exemplo 5 : ( Olimpíada Balcânica ) Sejam n > 1 e reais positivos com soma 1. Para cada i , seja. Prove que.
Prova : Veja que , e então temos de provar que
Afirmamos que a função dada por é convexa. Para ver isso, basta escrever , e esboçar o gráfico de f , como abaixo.
Portanto, temos pela desigualdade de Jensen que
- ( Banco IMO ) : Sejam a , b , c , d reais não negativos tais que . Prove que 10. Sejam n > 1 e reais positivos cuja soma é 1. Prove que
- Sejam reais pertencentes ao intervalo [0, 1] e tais que , com. Prove que
Outras Desigualdades
- ( Desigualdade de Bernoulli ): Sejam n um inteiro positivo e um real. Prove que.
- ( Desigualdade entre as Médias de Potências ): Sejam reais positivos. Então, para todos reais positivos, vale
, com igualdade se e só se forem todos iguais.
- ( Desigualdade de Giroux ): Sejam intervalos fechados da reta e considere a função de n variáveis, convexa separadamente em relação a cada variável. Então, se , f atinge seu valor máximo em um dos pontos da forma , com ou para cada i. Prove isto e enuncie um resultado análogo à desigualdade de Giroux para uma função de n variáveis f , côncava separadamente em relação a cada variável. 15. ( Olimpíada Búlgara ): Sejam n F 0 B 32 um inteiro e para 1F 0 A 3 i F 0 A 3 n. Prove que 16. Os três itens a seguir visam derivar uma desigualdade difícil. i. ( Desigualdade de Young ): Sejam p e q reais positivos tais que. Prove que , ii. ( Desigualdade de Holder ): Sejam reais positivos e p , q reais positivos tais que. Prove que
iii. ( Desigualdade de Minkowsky ): Sejam reais positivos e p um real maior que 1. Prove que
Sugestão: Faça c (^) i = e use o ítem anterior para ( a (^) i ) e ( c (^) i ) e para ( bi ) e ( c (^) i ).
Referências:
[1] Shklarsky, D. O., Chentzov, N. N. e Yaglom, I. M. The USSR Olympiad Problem Book. Dover. Toronto, 1993. [2] Rousseau, C. e Lozansky, E. Winning Solutions. Springer-Verlag, 1996. [3] Lima, Elon L., Análise Real, vol. 1. IMPA, 1995.
