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Chebychev, Holder, Lyapunov, etc
Tipologia: Notas de estudo
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Desigualdades e Convergˆencia
Eduardo M. A. M. Mendes DELT - UFMG Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia El´etrica Universidade Federal de Minas Gerais [email protected] Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia El´MACSIN etrica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes1 / 40
A seguir ser˜ao descritas as v´arias desigualdades usadas no contexto de probabilidade e processos estoc´asticos. Ser˜ao mencionadas tamb´em as defini¸c˜oes de convergˆencia. Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia El´MACSIN etrica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes2 / 40
Como (^1) p + (^) q^1 = 1 ou (p pq+q )= 1, temos (p+ q q)= p e (p+ p q)= q e ab ≤ bp p
aq q Substituindo b =
(E (|X |p)) (^1) p^ e^ a^ =^
(E (|Y |q)) (^1) q na express˜ao logo acima, temos:
(E (|X |p)) (^1) p (E (|Y |q)) q^1 ≤
|X | (E (|X |p^ )) p^1 )p p
|Y | (E (|Y |q^ )) (^1) q )q q
|X |p E (|X |p^ ) p
|Y |q E (|Y |q^ ) q Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia El´MACSIN etrica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes4 / 40
Tomando o valor esperado obtemos E (XY ) (E (|X |p)) 1 p (^) (E (|Y |q)) 1 q
p
q
a desigualdade segue direto da rela¸c˜ao acima. Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia El´MACSIN etrica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes5 / 40
Se p ´e um n´umero real com p ≥ 1 e se as vari´aveis aleat´orias X , Y e |X |p, |Y |p^ s˜ao integr´aveis, ent˜ao (E (|X + Y |p)) (^1) p ≤ (E (|X |p)) (^1) p
Se φ ´e uma fun¸c˜ao convexa e cont´ınua e se ambos X e φ(X ) s˜ao integr´aveis, ent˜ao φ(E (X )) ≤ E (φ(X )) Prova: Se φ ´e uma fun¸c˜ao convexa, podemos construir uma corda ai + bi x tal que ai + bi x ≤ φ(x) e sup x (ai + bi x) = φ(x) logo ai + bi X ≤ φ(X ) e ai + bi E (X ) ≤ E (φ(X )) Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia El´MACSIN etrica Universidade Federal de Minas Gerais emmendes8 / 40
Objetivo: Achar um limite para a probabilidade a partir da variˆancia P(|X − E (X )| > γ) O que pode ser dito se pX (x) n˜ao pode ser integrada ou n˜ao ´e conhecida? Podemos estimar E (X ) e Var (X ), ent˜ao P(|X − E (X )| > γ) ≤ B onde B = Var (X ) γ^2 Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia El´MACSIN etrica Universidade Federal de Minas Gerais 10 / 40emmendes
Exemplo: X ∼ N(0, 1), E (X ) = 0, Var (X ) = 1. Supondo γ = 3, temos P(|X − 0 | > 3) ≤
Calculando P(|X | > 3) = 2P(X > 3) ≈ 0 , 0027 < 0 , 11 limite muito conservador! Exemplo: PDF Laplaciano com σ^2 = 1 = Var (X )
1 9 ≈ 0 , 11
Conclus˜ao: Mesmo limite para todas as PDFs com Var (X ) = 1. Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia El´MACSIN etrica Universidade Federal de Minas Gerais 11 / 40emmendes
o que conclui a nossa prova. Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia El´MACSIN etrica Universidade Federal de Minas Gerais 13 / 40emmendes
Teorema: Se X ´e uma vari´avel aleat´oria e g (X ) ´e uma transforma¸c˜ao de X tal que g (X ) > 0, ent˜ao, para qualquer K > 0 P(g (X ) ≥ K ) ≤ E (g (X )) K Prova: Usando a fun¸c˜ao indicadora, ou seja I (g (X )) =
1 se g (X ) ≥ K , 0 caso contr´ario Se g (X ) ≥ 0 e I (g (X )) ≤ 1, podemos escrever para a primeira condi¸c˜ao I (g (X )) ≤ g (X ) K Tomando o valor esperado Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia El´MACSIN etrica Universidade Federal de Minas Gerais 14 / 40emmendes
Repare que se fizermos g (X ) = (X − μ)^2 e K = k^2 σ^2 , temos
(
(X − μ)^2 ≥ k^2 σ^2
≤ E (
(X − μ)^2
k^2 σ^2
σ^2 k^2 σ^2 Podemos usar (X − μ)^2 ≥ k^2 σ^2 da seguinte maneira (X − μ)^2 ≥ k^2 σ^2 →
X − μ ≥
k^2 σ^2
ou
X − μ ≤ −
k^2 σ^2
|X − μ| ≥
k^2 σ^2
→ (|X − μ| ≥ kσ) Logo P (|X − μ| ≥ kσ) ≤
k^2 que ´e a desigualdade de Chebyshev para k = γσ. Lembrando que σ^2 nada mais ´e do que Var (•). Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia El´MACSIN etrica Universidade Federal de Minas Gerais 16 / 40emmendes
Fornece um limite menos conservador comparado com Markov e Chebyshev. ´E aplicado quando a vari´avel aleat´oria ´e a soma de v´arias vari´aveis aleat´orias mutuamente independentes. ´E o limite na probabilidade de se desviar da m´edia. N˜ao se aplica a todas as distribui¸c˜oes. S´o aplic´avel a soma de VAs definidas no intervalo [0, 1]. N˜ao depende diretamente do n´umero de vari´aveis somadas. Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia El´MACSIN etrica Universidade Federal de Minas Gerais 17 / 40emmendes
P (X ≥ cE (X )) = P (R ≥ (c − 1)E (X )) = P
cR^ ≥ c(c−1)E^ (X^ )
E (cR^ ) c(c−1)E^ (X^ )^ Usando o Teorema de Markov Sabemos E (cR^ ) = E
cR^1 +R^2 +···+RN^
= E ∏^ N
j= cRj
∏^ N
j=
(
cRj^
independˆencia Eduardo Mendes (DELT - UFMG Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia El´MACSIN etrica Universidade Federal de Minas Gerais 19 / 40emmendes
Precisamos
