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Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de Matem´atica - Area II´
Gabarito 3 o^ Exerc´ıcio Escolar de Algebra´ Linear
1 o^ semestre de 2004
“A verdadeira guerra deve ocorrer dentro do seu cora¸c˜ao. ”(Sun Tzu)
1a. quest˜ao. Seja T : R^4 → R^4 uma transforma¸c˜ao linear dada por:
T (x, y, z, w) =
(5x − 4 y + 6w), 0 ,
(5z − y − w), 0
Pede-se:
(a) Seja B = {(1, 0 , 1 , 0), (1, 0 , 0 , 0), (0, − 1 , 0 , 0), (0, 1 , 0 , −1)} base de R^4 e C base canˆonica de R^4. Encontre [T ]B C. (0,5 ponto) Solu¸c˜ao:
T (1, 0 , 1 , 0) = (2, 0 , 3 , 0) = 2 e 1 + 0 e 2 + 3 e 3 + 0 e 4
T (1, 0 , 0 , 0) = (2, 0 , 0 , 0) = 2 e 1 + 0 e 2 + 0 e 3 + 0 e 4
T (0, − 1 , 0 , 0) =
5 ,^0 ,^
3 5 ,^0
= 85 e 1 + 0e 2 + 35 e 3 + 0 e 4
T (0, 1 , 0 , −1) = (− 4 , 0 , 0 , 0) = -4e 1 + 0 e 2 − 0 e 3 + 0 e 4
onde {e 1 , e 2 , e 3 , e 4 } ´e a base canˆonica de R^4. Assim
[T ]B C =
(b) T ´e injetiva? Justifique. (0,5 ponto) Solu¸c˜ao:
T (x, y, z, w) = 0 ⇔
53 (5x^ −^4 y^ + 6w) = 0 5 (5y^ −^ z^ −^ w) = 0^
x = 15 (4y − 6 w) z = − 5 y + w
Ou seja,
ker(T ) =
(4y − 6 w), y, − 5 y + w, w
∈ R^4
Portanto T n˜ao ´e injetivo.
(c) T ´e sobrejetiva? Justifique. (0,5 ponto) Solu¸c˜ao: Como T ´e um operador linear n˜ao injetivo, pelo Teorema do N´ucleo e da Imagem, este n˜ao pode ser sobrejetivo.
(d) Encontre o polinˆomio caracter´ıstico de [T ]CC. (Aten¸c˜ao : bases canˆonicas.) (0,5 ponto)
Solu¸c˜ao:
[T ]CC = [T ] =
pT (λ) = det([T ] − λI) = det
2 − λ − 8 / 5 0 12 / 5 0 λ 0 0 0 − 3 / 5 3 − λ − 3 / 5 0 0 0 λ
= λ^2 (2 − λ)(3 − λ)
(e) Encontre os autovalores de [T ]CC. (0,5 ponto) Solu¸c˜ao: Os autovalores de T s˜ao as ra´ızes de pT (λ), ou seja, λ 1 = 0, λ 2 = 2 e λ 3 = 3. (f) Encontre os autovetores associados aos autovalores encontrados no item (e). (0,5 ponto) Solu¸c˜ao: Os autovetores associados a λ 1 = 0, que s˜ao os vetores do ker(T ), encontrados no item (b) s˜ao: ( 4 5
Para λ 2 = 2, como feito no item (d), T (1, 0 , 0 , 0) = (2, 0 , 0 , 0) = 2(1, 0 , 0 , 0), assim (1, 0 , 0 , 0) ´e autovetor associado a λ 2. Da mesma forma, para λ 3 = 3, T (0, 0 , 1 , 0) = (0, 0 , 3 , 0) = 3(0, 0 , 1 , 0), assim (0, 0 , 1 , 0) ´e autovetor associado a λ 3.
(g) [T ]CC ´e diagonaliz´avel? Justifique sua resposta e, se poss´ıvel, apresente tal matriz diagonal. (0,5 ponto) Solu¸c˜ao: Como existe uma base de autovetores:
A =
segue que T ´e diagonaliz´avel e:
[T ]AA =
(b) Ache uma base de autovetores. (1,5 ponto)
Solu¸c˜ao: Sejam v 1 = (x 1 , y 1 , z 1 ), v 2 = (x 2 , y 2 , z 2 ) e v 3 = (x 3 , y 3 , z 3 ) autovetores associados a a, b + c e b − c, respectivamente, ent˜ao
Av = av ⇒
a 0 0 0 b c 0 c b
x 1 y 1 z 1
(^) = a
x 1 y 1 z 1
ax = ax by + cz = ay cy + bz = az
Ou seja, os vetores (x, 0 , 0) ∈ R^3 s˜ao autovetores associados ao autovalor a da matriz A. Da mesma forma, (0, y, y) ∈ R^3 , e (0, y, −y) ∈ R^3 s˜ao autovetores associados a b + c e b − c, respectivamente.
4a. Quest˜ao Seja o operador linear T : R^2 → R^2 cuja matriz em rela¸c˜ao `as bases canˆonicas ´e
[T ] =
[
]
Considerando o produto interno canˆonico de R^2 , resolva:
(a) T ´e auto-adjunto? Justifique. (0,5 ponto) Solu¸c˜ao: T ´e auto-adjunto, pois a matriz que o representa numa base ortonor- mal ´e sim´etrica. (b) Exiba uma base ortonormal de autovetores. (1,5 ponto) Solu¸c˜ao: Note que com T ´e auto-adjunto, existe base ortonormal de autove- tores. O polinˆomio caracter´ıstico de [T ] ´e pT (λ) = λ^2 + 4λ − 21. Logo, os autovalores de [T ] s˜ao λ 1 = −7 e λ 2 = 3, cujos autovetores associados s˜ao, respectivamente (x, − 2 x) e (2y, y), para x, y ∈ R.
Logo, A =
√^1 5 ,^ −^ √^2 5
√^2 5 ,^ √^1 5
, ´e uma base ortonormal de autovetores do operador T.
