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DIAGRAMA DE BODE
Consta de dos trazados:
- Diagrama del logaritmo del módulo de una función de transferencia
sinusoidal.
- Diagrama del ángulo de fase.
Ambos representados en función de la frecuencia en escala logarítmica.
Representación de la amplitud logarítmica de G(jω) o logaritmo de la
magnitud de G(jω)
Lm = 20 log 10 |G(jω)| < dB >
Ventajas de usar diagrama logarítmico:
- Multiplicación de amplitudes → adición
- Se dispone de un método simple para trazar una curva aproximada del log
de la amplitud
Forma general de una función de transferencia:
ω
ω
ω+ ω
ζ ω ω+ +
ω+ ω+ ω =
−ω
2 2 n n
1
n
j t a b
(j )
j
(j ) (Tj 1 ) 1
K(T j 1 )(T j 1 )...e G(j )
Magnitud
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ ω
ω
ω+ ω
ζ − ω − ω+ − +
ω = + ω+ + ω+ +
2 2 n n
1
10 a b
(j )
1 j
2 ... 20 nlog(j ) 20 logT j 1 20 log 1
20 log G(j ) 20 logK 20 logT j 1 20 logT j 1 ...
Angulo de fase
(j ) T
1 j
2 1
G(j ) K (T j 1 ) (T j 1 )... n j (T j 1 )
2 2 n n
a b 1
+∠− ω ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ ω ω
ω+ ω
ζ −∠ +
∠ ω =∠ +∠ ω+ +∠ ω+ − ∠ω−∠ ω+ −
b) Factores integral y derivativo (j ω )
± 1
Factor integral ⎟
jω
Magnitud = 20 log dB
j
Lm( j ) 20 log 10
1 =− ω ω
ω =
−
Para ω = 0.1 -20 log 0.1 = -20 log 10
Para ω = 1 -20 log 1 = 0 db
⇒ Línea recta de pendiente negativa de –20 dB/década o –6 dB/octava
Angulo de fase = φ = cte = -90º
tg 0
1 j tg
1 1 = − =−
ω ∠ ω= −
− −
0.1 0.5 1 2 5 10
20
0 dB
0.1 0.5 1 2 5 10
Frecuencia ( rad/seg )
0º
-90º
-180º
Factor derivativo ( jω)
Magnitud = Lm (jω) = 20 log |jω| = 20 log ω dB
⇒ Línea recta de pendiente positiva de 20 dB/década o 6 dB/octava
Angulo de fase = cte = 90º.
Frecuencia ( rad/seg ) 90ª
0.1 0.5 1 2 5 10
0
20
Lm
(dB)
0º
0.1 0.5 1 2 5 10
Frecuencia (rad/seg)
Error en la curva de amplitud producido por el uso de asíntotas:
- Error máximo en la frecuencia de transición (ω = 1/T)
20 log 1 (Asíntota )
20 log 1 T 20 log 2 (exacta)
2 2
− +ω =−
Error =− 20 log 2 + 20 log 1 =− 3 , 03 dB
En resumen
- Frecuencia de transición ωc = 1/T
- Asíntota de baja frecuencia → línea horizontal a 0 dB
- Asíntota en alta frecuencia → línea de pendiente +/- 20 dB/dec
- El error resultante de las expresiones asíntóticas es n veces el de (1+jωT)
± 1
en cada punto de frecuencia
Angulo de fase = φ = - tan
ω = 0 φ = 0
ω = ωc = 1/T φ = - tan
T
= - tan
ω = ∝ φ = - 90º
0 º
Frecuencia ( rad/seg )
d) Factores cuadráticos
Magnitud =
[ ]
2
n
2
2 n
2
2 n
2 2
n
20 log 1 2
j 1 2 j
Lm 20 log ⎥
⎦
ω
ω
⎥
ω
ω =− −
ω
ω
ω
ω
Cálculo de las asíntotas:
− 20 log 1 = 0 dB Para ω << ωn
⇒ curva de log amplitud a bajas frecuencias es una línea constante en 0 dB.
n
2 n
2
20 log 40 log ω
ω =− ω
ω −
Para ω >> ωn
ω = 1/ ωn Lm = 0 dB
ω = 10/ ωn Lm = -40 dB
⇒ curva de log Amplitud para frecuencias altas es una línea recta con
pendiente –40 dB/dec
0 dB
20
10
0.1 1 10
ω/ωn
Frecuencia (rad/seg)
ξ = -0.
