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Notas de Aula - Prof Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho 16
II.2.3 – Resposta a um carregamento súbito
Solução particular:
k
p x t
0 ⇒ (^) p = (a resposta da estrutura consiste na deflexão estática)
Solução homogênea (vibração livre amortecida):
t xh t A cos Dt B sen Dt e
−ξω ⇒ = ⋅ ω + ⋅ ω ⋅
Solução geral:
t D D
0 p h A cos t B sen t e k
p x t x t x t
−ξω = + = + ⋅ ω + ⋅ ω ⋅
Considerando que o sistema parte do repouso:
x ( ) 0 = x &( ) 0 = 0
ω
ω
ξω ⇒ = − ω +
−ξω t D D
D
0 1 cos t sen t e k
p xt
- Pelo fato do carregamento ser subitamente aplicado, há uma amplificação da resposta, e o sistema tende para a posição de equilíbrio estático após um
número de ciclos de oscilação amortecida;
- A taxa de amortecimento determina a magnitude da amplificação e a taxa de
decaimento em torno da posição de equilíbrio estático.
Curso de Dinâmica das Estruturas 17
Considerando o sistema sem amortecimento:
( ) ( 1 cos t )
k
p x t
0 ⇒ = − ω
- A partir da equação acima, pode-se perceber que o máximo deslocamento possível, para o caso de carregamento súbito, é duas vezes o deslocamento
estático.
Curso de Dinâmica das Estruturas 19
t
0
Iretângulo ptdt p t
1
⇒ = = ⋅
t
0
1
0
t
0
meio seno p t^0 ,^64 p t
t dt t
I ptdt p sen
1 1
⋅ = ⋅ ⋅ π
π ⇒ = =
t
0
triângulo p t 2
I ptdt
1
⇒ = = ⋅
- Logo, para I (^) retângulo = 1 , 2 ⇒ I (^) meio − sen o = 0 , 76 e I (^) triângulo = 0 , 6 , o que, analisado o
gráfico, confirma que para carregamentos de curta duração ( t 1 T < 0 , 25 ) o
deslocamento máximo depende apenas da magnitude total do impulso aplicado,
não importando sua forma (trecho retilíneo das curvas).
Notas de Aula - Prof Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho 20
II.2.5 – Resposta a um carregamento dinâmico qualquer: Integral de Duhamel
- Carregamento periódico:
- Modelagem segundo série de Fourier;
- Combinação linear de carregamentos harmônicos;
- Análise do carregamento em frequências;
- Domínio da frequência: não pertence ao escopo deste curso.
Contribuição dos até 3 primeiros termos da série de Fourier para a
representação do carregamento de onda retangular (“square wave”)
Notas de Aula - Prof Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho 22
- Geralmente faz-se uso de métodos numéricos para a resolução desta integral;
- Pode-se entendê-la também como uma integral de convolução:
+∞
−∞
ut = p τ⋅ ht −τ ⋅ d τ
• A partir de sen ω( t −τ) = sen ω t ⋅ cos ωτ− cos ω t ⋅ sen ωτ, temos, para fins de
implementação numérica:
x ( ) t = A ( ) t ⋅ sen ω t − B ( ) t ⋅ cos ω t
τ ωτ τ ⋅ω
t
0
p cos d m
At
τ ωτ τ ⋅ω
t
0
p sen d m
B t t ≥ 0 , x ( ) 0 = x &^ ( ) 0 = 0 , ξ= 0
- Para o caso de vibrações amortecidas:
τ ⋅ ω −τ ⋅ ⋅ τ ⋅ω
−ξω −τ
t
0
t D D
p sen t e d m
x t t ≥ 0 , x ( ) 0 = x &( ) 0 = 0
ou ainda:
x ( ) t = A ( ) t ⋅ sen ω D t − B ( ) t ⋅ cos ω Dt
τ ⋅ ω τ τ ⋅ω ⋅
ξωτ ξω
t
0
e e
p cos d m
A t D t D
τ ⋅ ω τ τ ⋅ω ⋅
ξωτ ξω
t
0
e e
p sen d m
B t D t D
t ≥ 0 , x ( ) 0 = x &^ ( ) 0 = 0 , ξ= 0
Curso de Dinâmica das Estruturas 23
Obter a força elástica resultante (no tempo) em uma caixa d’água elevada, pesando
43,8 toneladas, com rigidez igual a 39.400 kN/m, submetida à uma explosão com
intensidade igual ao seu peso, com tempo total de duração de 0,05 segundos,
apresentando um diagrama de intensidade triangular:
Solução numérica, realizada no aplicativo MathCad
® :
