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DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
É baseada no desenvolvimento de (a+b)n^ que é o binômio de Newton. Lançamento de 1 moeda “honesta” duas vezes e colecionar os possíveis resultados: 2 ª^ Jogada (M2) 1 ª^ jogada (M1) C K C CC CK K KC KK Se organizarmos pelo número de caras, temos:
KC
KK CK CC
0 caras 1 caras 2 caras x (No. de
caras)
Temos, assim, a seguinte distribuição: Valores de X (no.caras) 0 1 2 Probab. 1/4 2/4 1/ Probabilidade = No. de eventos desejável No. eventos total Então: P(CC) = 0. P(CK ou KC) = 0. P(KK) = 0. Resultado de 1 moeda jogada três vezes: 1 ª^ e 2ª^ jogada Jogada 3 CC CK KC KK C CCC CCK CKC CKK K KCC KCK KKC KKK Montando o quadro de distribuição: X ( no. de caras)
P(x) 1/8 3/8 3/8 1/ P(x=0) P(x=1) P(x=2) P=(x=3) Agora o gráfico:
CKK CCK
KCK CKC
KKK KKC KCC CCC
(x=0) (x=1) (x=2) (x=3) x (no. de caras)
P(x=0) = 1/8 = 0.125 P(x=2) = 3/8 = 0. (1 caso favorável em (2 casos favoráveis em 8 possíveis) 8 possíveis) Lançamento de 4 moedas 1 ª^2 ª^3 ª^ Jogada s 4 ª^ jog. CCC KCC CKC CCK KKC KCK CKK KKK C CCCC CKCC CCKC CCCK CKKC CKCK CCKK CKKK K KCCC KKCC KCKC KCCK KKKC KKCK KCKK KKKK Agora o gráfico:
KCCK
CCKK
CKKK CKCK CCCK
KCKK CKKC CCKC
KKCK KCKC CKCC
KKKK KKKC KKCC KCCC CCCC
(X=0) (X=1) (X=2) (X=3) (X=4) X (no.
caras)
P(x=0) = 1/16 = 0.0625 P(x=3) = 4/16 = 0. Resumo dos valores de x e respectivas probabilidades: X 0 1 2 3 4 P(x) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/ Os exercícios que fizemos nas páginas anteriores mostram que numa Distribuição Binomial:
- Os valores de x são sempre inteiros (1 cara, 2 caras, não existe ½ cara);
- Os eventos (cara/coroa) são independentes e mutuamente excludentes (se sai “cara” não sai “coroa” e vice-versa);
- As probabilidades pressupõem reposição; (notar que em todas as colunas o no. de moedas não varia)
- A ordem em que aparecem os elementos num grupo não tem importância (CK = KC; CCK = CKC = KCC; etc..) Introduzindo a notação de potência, os resultados anteriores podem ser simplificados. 2 ª^ Jogada (M2) 1 ª^ jogada (M1) C K C CC = C^2 CK K KC KK = K^2
Assim temos: C^2 + 2CK + K^2 que é o desenvolvimento de: (C +
K)^2
Coeficientes Binomiais
Tabela de Coeficientes Binomiais
Valor de n
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Trata-se de um modelo que dá a probabilidade do número de sucessos quando são realizadas n provas do mesmo tipo – o experimento é repetido n vezes. Cada experimento admite dois resultados – sucesso ou fracasso – com probabilidade p de sucesso e 1- p = q de fracasso, constantes em cada uma das provas. São muitas as variáveis aleatórias que possuem tais características. A mais familiar, provavelmente, é o lançamento de uma moeda n vezes, por exemplo: n = 20. Cada prova, ou experimento, admite apenas dois resultados: cara ou coroa – sem prejuízo para o cálculo, pode-se admitir que sucesso, por exemplo é dar coroa, enquanto o fracasso é verificado quando o resultado for cara. Se a moeda é honesta, as probabilidades p = ½ de sucesso e q = 1 – ½ de fracasso são constantes em cada um dos lançamentos. O modelo de distribuição de probabilidade binomial possibilitará o cálculo das probabilidades da variável Y:número de sucesso. Experimentos com resultados múltiplos podem ser tratados como binomiais quando se consideram apenas dois resultados. Por exemplo: jogar um dado e verificar o resultado da face que se apóia na superfície não é uma prova binomial, porém se considerarmos sucesso sair o número 6, e fracasso qualquer outro resultado diferente do 6, teremos um experimento adequado ao modelo binomial. Para a utilizarmos a distribuição binomial, as seguintes hipóteses devem ser atendidas:
- São realizadas n provas do mesmo tipo (idênticas);
- Cada prova admite dois resultados possíveis, um chamado sucesso e o outro fracasso;
- As probabilidades p , de sucesso, e 1 – p = q , de fracasso, permanecem constantes em todas as provas;
- Os resultados das provas são independentes.
Fórmula para distribuição Binomial:
No. de eventos
P (x=k) = n pk^ q(n-k)
k Prob. Fracasso
Prob. Sucesso
No. eventos que nos interessa
No. de sucessos
n = n!
k (n-k)! k!
Exemplo:
1- Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas e independentes. Calcule a
probabilidade de serem obtidas 3 caras nessas 5 provas.
n = 5 x = 3 p = 1/2 q = 1 - (1/2) = 1/2 P(x=3) = 5/
