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Introdução à Probabilidade
O estudo da probabilidade vem da necessidade de em certas situações, prevermos a possibilidade de ocorrência de determinados fatos. Para iniciarmos o estudo da probabilidade, vamos a seguir definir alguns conceitos importantes sobre a matéria.
Experimento Aleatório
Se lançarmos uma moeda ao chão para observarmos a face que ficou para cima, o resultado é imprevisível, pois tanto pode dar cara , quanto pode dar coroa. Se ao invés de uma moeda, o objeto a ser lançado for um dado, o resultado será mais imprevisível ainda, pois aumentamos o número de possibilidades de resultado.
A experimentos como estes, ocorrendo nas mesmas condições ou em condições semelhantes, que podem apresentar resultados diferentes a cada ocorrência, damos o nome de experimentos aleatórios.
Espaço Amostral
É o conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer neste experimento. Ao lançarmos uma moeda não sabemos qual será a face que ficará para cima, no entanto podemos afirmar com toda certeza que ou será cara , ou será coroa , pois uma moeda só possui estas duas faces. Neste exemplo, ao conjunto { cara, coroa } damos o nome de espaço amostral , pois ele é o conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer neste experimento. Representamos um espaço amostral , ou espaço amostral universal como também é chamado, pela letra S. No caso da moeda representamos o seu espaço amostral por: S = { cara, coroa } Se novamente ao invés de uma moeda, o objeto a ser lançado for um dado, o espaço amostral será: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Evento
Quando lançamos um dado ou uma moeda, chamamos a ocorrência deste fato de evento.
Qualquer subconjunto de um espaço amostral é um evento.
Em relação ao espaço amostral do lançamento de um dado, veja o conjunto a seguir: A = { 2, 3, 5 } Note que ( A está contido em S, A é um subconjunto de S ). O conjunto A é a representação do evento do lançamento de um dado, quando temos a face para cima igual a um número primo.
Classificação de Eventos
Podemos classificar os eventos por vários tipos. Vejamos alguns deles:
Evento Simples
Classificamos assim os eventos que são formados por um único elemento do espaço amostral. A = { 5 } é a representação de um evento simples do lançamento de um dado cuja face para cima é divisível por 5. Nenhuma das outras possibilidades são divisíveis por 5.
Evento Certo
Ao lançarmos um dado é certo que a face que ficará para cima, terá um número divisor de 720. Este é um evento certo , pois 720 = 6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1 , obviamente qualquer um dos números da face de um dado é um divisor de 720 , pois 720 é o produto de todos eles. O conjunto A = { 2, 3, 5, 6, 4, 1 } representa um evento certo pois ele possui todos os elementos do espaço amostral S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.
Evento Impossível
No lançamento conjunto de dois dados qual é a possibilidade de a soma dos números contidos nas duas faces para cima, ser igual a 15? Este é um evento impossível , pois o valor máximo que podemos obter é igual a doze. Podemos representá-lo por , ou ainda por A = {}.
Evento União
Seja A = { 1, 3 } o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado, ímpar e menor ou igual a 3 e B = { 3, 5 } , o evento de ocorrência da face superior, ímpar e maior ou igual a 3 , então C = { 1, 3, 5 } representa o evento de ocorrência da face superior ímpar, que é a união dos conjuntos A e B , ou
seja,. Note que o evento C contém todos os elementos de A e B.
Evento Intersecção
Seja A = { 2, 4 } o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado, par e menor ou igual a 4 e B = { 4, 6 } , o evento de ocorrência da face superior, par e maior ou igual a 4 , então C = { 4 } representa
o evento de ocorrência da face superior par, que é a intersecção dos conjuntos A e B , ou seja,. Veja que o evento C contém apenas os elementos comuns a A e B.
Eventos Mutuamente exclusivos
Seja A = { 1, 2, 3, 6 } o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado, um número divisor de 6 e B = { 5 } , o evento de ocorrência da face superior, um divisor de 5 , os eventos A e B são mutuamente
exclusivos , pois , isto é, os eventos não possuem elementos em comum.
Evento Complementar
Seja A = { 1, 3, 5 } o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado, um número ímpar, o seu evento complementar é A = { 2, 4, 6 } o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado, um número par. Os elementos de A são todos os elementos do espaço amostral S que não estão contidos em A , então temos que A = S - A e ainda que S = A + A.
Probabilidade de Ocorrência de um Evento
Os três irmãos Pedro , João e Luís foram brincar na rua. Supondo-se que as condições de retorno para casa são as mesmas para cada um deles, qual é a probabilidade de Luís voltar para casa primeiro? Como 3 é o número total de irmãos, então Luís tem 1 chance em 3 de voltar para casa primeiro, por isto a probabilidade de Luís voltar para casa antes dos seus irmãos é igual a^1 / 3.
Definição
A probabilidade de um evento ocorrer (Luís voltar para casa primeiro) considerando-se um espaço amostral (Pedro, João e Luís) é igual a razão do número de elementos do evento (1, apenas Luís) para o número de elementos do espaço amostral (3, o número de irmãos que foram brincar na rua), desde que espaço o amostral seja um conjunto equiprovável , ou seja, todos os seus elementos tenham a mesma possibilidade de ocorrer (as condições de retorno para casa são as mesmas para os três irmãos).
Sendo E um evento, n(E) o seu número de elementos, S o espaço amostral não vazio e n(S) a quantidade de elementos do mesmo, temos que a probabilidade de E ocorrer é igual a:
, sendo n(S)≠. A probabilidade é um número entre zero e um, inclusive, o que significa que no mínimo não a nenhuma hipótese do evento acontecer e no máximo o evento sempre ocorrerá: 0 ≤ P(E) ≤ 1
Normalmente representamos probabilidades através de frações, mas também podemos representá-las por números decimais, ou até mesmo por porcentagens.
Exemplos
Um dado é lançado. Qual é a probabilidade de obtermos um número divisor de 6? Como vimos acima, o espaço amostral do lançamento de um dado é: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Como estamos interessados apenas nos resultados divisores de 6 , o evento E é representado por: E = { 1, 2, 3, 6 } Então n(E) = 4 e n(S) = 6 , portanto:
Já que estamos levando em consideração apenas a existência de dois sexos, sem levarmos em conta fatores biológicos, por exemplo, este resultado já era de se esperar, pois obviamente a probabilidade de que venham a ter
mais meninos que meninas deve ser a mesma, pois 1/2 + 1/2 = 1. Este 1 representa o número de elementos do
espaço amostral e como a soma deve ser igual a 1 , obviamente as duas probabilidades iguais devem ser iguais
a 1/2.
A probabilidade de venham a ter mais meninas que meninos é 1/2.
No lançamento de um dados qual é a probabilidade de obtermos um 3 ou um 5?
No início deste tópico vimos que a probabilidade de ocorrer um 5 no lançamento de um dado é 1/6. Assim como
acontece com o 5 , também só há um 3 no dado, então a probabilidade de ocorrer um 3 também é 1/6. Como a
ocorrência de um 3 inibe a ocorrência de um 5 e vice-versa, pois em um único lançamento se acontecer um, não
pode acontecer o outro, dizemos que eles são eventos mutuamente exclusivos.
Quando utilizamos a conjunção "OU", neste exemplo desejamos obter 3 ou 5, estamos tratando da união de
probabilidades. Quando, assim como neste exemplo, os eventos são mutuamente exclusivos, devemos somar as
probabilidades individuais. Então temos que 1/6 + 1/6 = 1/3, que é a probabilidade procurada.
Se os eventos não fossem mutuamente exclusivos, a soma ainda valeria, mas precisaríamos subtrair deste total a probabilidade da ocorrência dos elementos na intersecção destes eventos. Isto é estudado em maiores detalhes na
página sobre união de dois eventos.
A probabilidade de obtermos um 3 ou um 5 é 1/3.
Em lançamentos sucessivos de um dado qual é a probabilidade de obtermos um 3 e depois um 5?
Repare que agora estamos utilizando a conjunção "E". Quando temos a ocorrência de vários eventos
independentes e sucessivos, estamos tratando do produto de probabilidades. A probabilidade de que os eventos ocorram nesta ordem é obtida através do produto das probabilidades individuais.
Neste exemplo temos que 1/6. 1/6 = 1/36.
A probabilidade de obtermos um 3 e depois um 5 é 1/36.
PRINCÍPIOS DE CONTAGEM
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes matérias, empilhados de cima para baixo nesta exata ordem: Português , matemática , história e geografia. Incluindo a ordem atual, de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros nesta carteira? Na escolha do primeiro livro a ser colocado na carteira temos 4 possibilidades, pois ainda não colocamos nenhum livro nela, temos então quatro livros a escolher: Português , matemática , história e geografia.
Se começarmos a pilha com o livro de português , na escolha do próximo livro a ser colocado sobre ele, temos 3 possibilidades: matemática , história e geografia.
Se escolhermos o livro de história como o segundo livro da pilha, para o terceiro livro temos 2 possibilidades apenas: matemática e geografia.
Se colocarmos na pilha o livro de geografia , para o último livro temos obviamente 1 possibilidade: matemática.
Matematicamente o número total de possibilidades seria: 4. 3. 2. 1 = 24 Neste cálculo utilizamos o princípio fundamental da contagem.
Princípio Fundamental da Contagem
O princípio fundamental da contagem diz que um evento que ocorre em n situações independentes e sucessivas, tendo a primeira situação ocorrendo de m 1 maneiras, a segunda situação ocorrendo de m 2 maneiras e assim sucessivamente até a n-ésima situação ocorrendo de mn maneiras, temos que o número total de ocorrências será dado pelo produto:
Exemplos
Quantos são os números naturais de dois algarismos que são múltiplos de 5? Como o zero à esquerda de um número não é significativo, para que tenhamos um número natural com dois algarismos ele deve começar com um dígito de 1 a 9 , temos portanto 9 possibilidades.
Para que o número seja um múltiplo de 5, o mesmo deve terminar em 0 ou 5 , portanto temos apenas 2 possibilidades. A multiplicação de 9 por 2 nos dará o resultado desejado. Logo: São 18 os números naturais de dois algarismos que são múltiplos de 5.
Eu possuo 4 pares de sapatos e 10 pares de meias. De quantas maneiras poderei me calçar utilizando um par de meias e um de sapatos? Pelo princípio fundamental da contagem temos que multiplicar 4 , que é o número de elementos do primeiro conjunto, por 10 que corresponde ao número de elementos do segundo conjunto. Portanto: Poderei me calçar de 40 maneiras diferentes.
De quantas formas podemos dispor as letras da palavra FLUOR de maneira que que a última letra seja sempre a letra R? Para a última letra, segundo o enunciado temos apenas uma possibilidade que é a letra R. Para a primeira, segunda, terceira e quarta letras temos respectivamente 4 , 3 , 2 e 1 possibilidades. Assim temos:
Note que este exemplo é semelhante ao caso dos livros, explicado no início da página, só que neste caso teríamos mais um livro, digamos de ciências , que sempre seria colocado na pilha por último. Podemos dispor as letras da palavra FLUOR de 24 formas diferentes, tal que a última letra seja sempre a letra R.
Quantas placas de veículos existem, sendo a primeira letra um “A” (placa de Curitiba/PR), com dígito inicial “1” e sem nenhuma letra ou algarismo repetido? As placas de veículos são compostas por 3 letras e 4 algarismos, exemplo ABC 1234. Como neste caso na primeira posição temos um “A” e o primeiro algarismo um “1” e sem que haja repetição de letras e de números, na 2ª posição de letra podemos ter 25 letras e na 3ª posição 24; No caso dos algarismos, na 2ª. posição podemos ter 9 algarismos diferentes, na 3ª 8 algarismos e na última posição 7 algarismos. Então, o número de possibilidades para essa placa é de 25.24.9.8.7 = 302400 placas distintas !!
Só lembrando que são possíveis 26.26.26.10.10.10.10 = 175.760.000 no Brasil (considerando repetições de letras e de algarismos)
São quantos os números ímpares com três algarismos, que não possuem dígitos repetidos e que de trás para frente também são ímpares? Os números devem ser ímpares, temos então 5 possibilidades para o último algarismo. A história do "de trás para frente", em outras palavras quer dizer que o primeiro algarismo também é ímpar. Como um dígito ímpar já foi utilizado na última posição, temos então apenas 4 disponíveis para a primeira posição. Para o dígito central temos apenas 8 possibilidades, pois dois dígitos ímpares já foram utilizados. Multiplicando 4 por 8 e por 5 obtemos 160. Assim sendo: São 160 os números ímpares que satisfazem a todas estas condições.
COMBINAÇÕES
Uma conceituada escola de idiomas está realizando uma promoção onde você escolhe três cursos, dos cinco disponíveis, e paga apenas 2 / 3 do valor da mensalidade de cada um dos cursos escolhidos. Podemos facilmente perceber que alguém que tenha escolhido os cursos de inglês , espanhol e alemão , fez as mesmas escolhas que outro alguém que tenha escolhido alemão , inglês e espanhol , por exemplo, pois a ordem dos cursos de idioma em si, não gera distinção entre uma escolha e outra. Se alguém escolheu inglês , espanhol e alemão e outra pessoa escolheu inglês , espanhol e francês , também claramente podemos perceber que se tratam de escolhas distintas, pois nem todos os cursos que uma pessoa escolheu, são os mesmos escolhidos pela outra pessoa.
Considerando-se os 5 idiomas disponíveis, qual o número total de possibilidades se
escolhermos três idiomas de cada vez?
Neste caso do curso de idiomas, podemos obter o número total de possibilidades, calculando inicialmente o arranjo simples A5, 3 :
Exemplos
Ao lançarmos um dado, qual é a probabilidade de obtermos um número menor que 3 ou maior que 4? Como sabemos, neste exemplo o espaço amostral é composto de seis elementos: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Chamemos de A o evento que representa a ocorrência de um menor que 3 : A = { 1, 2 } Vamos chamar de B o evento que representa a ocorrência de um número maior que 4 : B = { 5, 6 } Como o número de elementos de S é 6 , temos que n(S) = 6. Para A temos n(A) = 2 e para B temos também n(B) = 2. Podemos então calcular a probabilidade de A :
E também a probabilidade de B :
A probabilidade procurada pode ser obtida simplesmente somando P(A) com P(B) como na fórmula abaixo:
Então temos:
Portanto: A probabilidade de obtermos um número menor que 3 ou maior que 4 é igual a 2 / 3.
Ao lançarmos um dado, qual é a probabilidade de obtermos um número primo ou um número ímpar? Assim como no exemplo anterior, neste exemplo o espaço amostral também é: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Vamos chamar de A o evento que representa a ocorrência de um número primo : A = { 2, 3, 5 } Chamemos de B o evento que representa a ocorrência de um número ímpar: B = { 1, 3, 5 } Como o número de elementos de S é 6 , temos que n(S) = 6. Para A temos n(A) = 3 e para B temos n(B) = 3. Podemos então calcular a probabilidade de A :
E também a probabilidade de B :
Se simplesmente somarmos as probabilidades P(A) e P(B) como no exemplo anterior, a probabilidade da união será igual 1 , que facilmente podemos constatar não se tratar de um valor correto, pois isto significa uma probabilidade de 100% , mas o espaço amostral também possui os números 4 e 6 , que não são primos e muito menos ímpares. Agora observe que 3 e 5 pertencem tanto a A quanto a B , ou seja:
Como 3 e 5 estão na intersecção de A com B , eles estão sendo considerados tanto em P(A) , quanto em P(B) , por isto se simplesmente somarmos P(A) + P(B) , os estaremos considerando em dobro, por este motivo
devemos subtrair , para que eles sejam considerados uma única vez. Podemos então escrever a seguinte fórmula:
Para podermos utilizar esta fórmula, precisamos calcular a probabilidade de :
Finalmente temos:
A probabilidade de obtermos um número primo ou um número ímpar ao lançarmos um dado é igual a 2 / 3.
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