Baixe Aplicações de EDO's de primeira ordem: Determinação de trajetórias ortogonais e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity!
EDO’s – 1
Ordem
Por equilíbrioσ( t)=σ 0 (t)=σ 1 (t )
É necessário prescrever a tensão ou a deformação em função do tempo
σ( t),ε(t )
η
E
E 0
Das relações constitutivasσ 0 ( t)=E 0 ε 0 (t) e σ 1 (t)=Eε 1 (t)+ηε& 1 (t ) Da equação de compatibilidade ε(t )=ε 0 (t)+ε 1 (t )
η
σ
σ ε = η
ε + 0 E 0
E 1
(t) E
(t) (t)
E ( t)
& &
No ensaio de fluência σ (t)= σ
η
σ ε = η
ε + E 0
E (t) 1
E &(t) E 0
( 0 )
σ
−
σ
σ ε = η
− Et
0
1 e E E
(t)
Aplicação 3: Modelo do sólido linear padrão
n Aplicações das EDO’s de primeira ordem (continuação):
EDO’s – 1
Ordem
No ensaio de relaxação ε (t)= ε
σ ( 0 )=E 0 ε
Condição inicial
η
σ
σ ε= η 0 E 0
E 1
(t) E
E &(t)
ou
ε η
σ = η
σ +
E E (t)
E E &(t )^00
ε σ =
η
− E+E t 0 0
0
0 E E e E E
E (t)
Aplicação 3: Modelo do sólido linear padrão (continuação)
EDO’s – 1
Ordem
Aplicação 4: Determinação de trajetórias ortogonais (continuação)
Linhas de corrente
xy = c
x
y
y ′=−
Derivada implícita
campo de direções
linhas de corrente
EDO’s – 1
Ordem
Aplicação 4: Determinação de trajetórias ortogonais (continuação)
Linhas equipotenciais
y
x
EDO y ′=
Solução geral
Variáveis separáveis
2
y = C+ x
campo de direções
linhas de corrente
linhas equipotenciais
EDO’s – 1
Ordem
n Programas comerciais de matemática simbólica (continuação):
Maple
EDO’s – 1
Ordem
n Programas comerciais de matemática simbólica (continuação):
Maple
EDO’s – 1
Ordem
n Métodos numéricos:
Motivação: É possível empregar os conhecimentos do Cálculo Diferencial para a determinação da solução particular aproximada do problema de valor inicial (PVI) dado por
y ′(^ x) =f(x,y(x )) y( a) = y 0
EDO (^) Condição inicial
Métodos a serem discutidos:
ÿÿ Método de TaylorMétodo de Taylor
ÿÿ Método de EulerMétodo de Euler
ÿÿ Método do Ponto MédioMétodo do Ponto Médio
Outros métodos:
ÿÿ Método de Euler MelhoradoMétodo de Euler Melhorado
ÿÿ Método de Euler ModificadoMétodo de Euler Modificado
ÿÿ Método de RungeMétodo de Runge--KuttaKutta
EDO’s – 1
Ordem
n Métodos numéricos (continuação):
Método de Taylor:
Do Cálculo Diferencial, sabe-se que uma função y(x) pode ser representada, a partir de um ponto x=a, através da seguinte série polinomial:
( − ) + ( − ) +K
′′′
− +
′′ = + ′ − +
4
( 4 ) 3
2
x a 4!
y (a) x a 3!
y (a)
x a 2!
y (a) y(x) y(a) y(a) x a
∑^ (^ )
∞
=
= − i 0
i
(i) x a i!
y (a) y(x)
ou
A série em pauta é encontrada forçando-se que esta possui o mesmo valor da função y(x) e de suas infinitas derivadas em x=a.
Baseia-se na representação da solução particular da equação diferencial em série polinomial (série de Taylor).
EDO’s – 1
Ordem
Método de Taylor (continuação):
Exemplo (continuação):
Grau 1 Grau 1
Grau 5Grau 5
Grau 3Grau 3
sin(x)sin(x)
EDO’s – 1
Ordem
Método de Taylor (continuação):
Como gerar a série de Taylor da solução particular do PVI dado por y’(x)=f(x,y(x)) com y(a)=y 0?
y( a) =y 0
y ′(a)=f(a,y(a))=f(a,y 0 )
y ′′(a)=?
y ′′′(a)=?
y ′′′(x)
EDO’s – 1
Ordem
Método de Taylor (continuação): Como gerar a série de Taylor da solução particular do PVI dado por y’(x)=f(x,y(x)) com y(a)=y 0? (continuação)
y ′′′(a)=?
(f ,x ff,y)
dx
d
= y′′(x)
[ ]
2 0 ,xy 0 0 ,yy 0 ,y 0
,xx 0 ,x 0 ,y 0
f(a,y ) 2 f (a,y ) f(a,y )f (a,y ) f (a,y )
y (a) f (a,y ) f (a,y )f (a,y )
2 ,yy ,y
2 f, (^) xx + 2 ff,xy +f,xf,y +f f +ff
dx
dy f ff y
f ff x
, x ,y ,x + ,y ∂
EDO’s – 1
Ordem
Método de Taylor (continuação):
Exemplo:
y ′(x)=−y(x) com y(0)= 1
A solução analítica da EDO pode ser determinada considerando-a com variáveis separáveis, de onde se conclui que (^) -x
y(x) = e
De acordo com o Método de Taylor, as derivadas da solução em x=0 necessárias para a construção da respectiva série são dadas por
y(0) = 1 , y′( 0 )=− 1 , y′′( 0 )= −y′( 0 )= 1 , etc
chegando-se a
= − + − + K
x
2!
x y(x) 1 x
2 3
Considere o PVI dado por
EDO’s – 1
Ordem
n Métodos numéricos (continuação):
Método de Euler:
Se for empregado intervalos uniformes de passo h , este método resulta na seguinte equação de recorrência: ~y (^) (xn + 1 )=~y(xn)+y′(xn) h
Baseia-se na representação da solução particular da equação diferencial em série polinomial truncada (série de Taylor) até o termo linear, não sendo exigida com isso nenhuma dedução extra, porém o intervalo de interesse é subdividido em vários subintervalos.
~y (xn + 1 )=y~(xn)+f [x n,y~(xn)]h
ou
etc
EDO’s – 1
Ordem
n Métodos numéricos (continuação):
Método de Euler (continuação):
x
y
x 0 x 1 x 2
y 0
~ y 1
~ y 2 y(x): solução particular
h (^) h
Supondo que y’’(x) seja contínua e |f,y(x,y)| = L dentro do domínio de interesse, tendo ainda |y’’(x)| = M, é possível mostrar que
onde Dn representa o erro absoluto, ou seja,
( )
[e 1 ]
2 L
hM D
x x L n ≤ n^ −^0 −
n (^ n)^ y(^ xn)
D =y x −
D 2
D 1
