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Eletromag, Notas de estudo de Economia Agroindustrial

Universidade do Estado de Mato Grosso (Unemat)Economia Agroindustrial

Teoria e prática na disciplina de eletromagnetismo

Tipologia: Notas de estudo

Antes de 2010

Compartilhado em 29/12/2009

ilso-de-castilho-venega-7
ilso-de-castilho-venega-7 🇧🇷

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Não perca as partes importantes!

bg1
2.5-)(a)
Um diso de raio
~
R
possui uma densidade superial de arga uniforme
σ
. Calule
o ampo elétrio em um ponto sobre o eixo de simetria a uma distânia
z
do plano desse diso.
Resolução:
r
r,
R
dr
r
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P
θ
θ
Z
X
Y
Z
0
Figura 1: Diso arregado uniformente om densidade de arga
σ
(a)
Primeiramente temos que ter em mente qual a pergunta que o exeríio soliita. Que-
remos saber o ampo elétrio na direção do eixo
~z
(o eixo de simetria do anel) a uma distânia
variável
z
da origem do sistema de oordenadas até o ponto arbitrário
P
. Sabido disso, devemos
organizar as onstantes forneidas pelo problema, nesse aso
σ
e
~
R
, e por último, nomear as
variáveis para as grandezas que não possuem valores xos.
Comeemos tomando um pedainho innitesimal
da
do diso. Esse pedainho está arregado
om uma arga também innitesimal,
dq
, a qual produzirá um ampo elétrio innitesimal
d~
E
no p onto
P
, a uma altura arbitrária
z
do entro desse mesmo diso. No entanto, esse p edainho
innitesimal é apenas uma réplia do restante do diso, um forma miniaturizada de representá-
lo. Então, para obtermos o ampo elétrio resultante em
P
deveremos somar (integrar) os
efeitos de todos esses elementos innitesimais de forma que obtenhamos a ontribuição total
do ampo gerado pelo anel. Ou seja:
~
E=Z~
dE
(1)
Por hora deixaremos nossa integral indenida, pois a seguir faremos uma mudança de oor-
denadas e assim, deniremos a região de integração. Partindo da denição de ampo elétrio:
~
E=1
4πǫ0Zdq
~r2
(2)
Não podemos esqueer que
dq
fornee o ampo elétrio
d~
E
na direção de
~r
, omo po demos
ver na gura 1. Logo, devemos estabeleer um vínulo (uma projeção) entre o vetor
~
dE
e dire-
ção
~
Z
. Este vínulo será feito através do ângulo
θ
(vide gura 1). Efetuando a deomposição
1
pf3

Pré-visualização parcial do texto

Baixe Eletromag e outras Notas de estudo em PDF para Economia Agroindustrial, somente na Docsity!

2.5-)(a) Um dis o de raio R~ p ossui uma densidade sup er ial de arga uniforme σ. Cal ule

o amp o elétri o em um p onto sobre o eixo de simetria a uma distân ia z do plano desse dis o.

Resolução:

r

r,

R

rdr

dθ

P

θ

θ

Z

X

Y

Z

0

Figura 1: Dis o arregado uniformente om densidade de arga σ

(a) Primeiramente temos que ter em mente qual a p ergunta que o exer í io soli ita. Que-

remos sab er o amp o elétri o na direção do eixo ~z (o eixo de simetria do anel) a uma distân ia

variável z da origem do sistema de o ordenadas até o p onto arbitrário P. Sabido disso, devemos

organizar as onstantes forne idas p elo problema, nesse aso σ e R~, e p or último, nomear as

variáveis para as grandezas que não p ossuem valores xos.

Come emos tomando um p eda inho innitesimal da do dis o. Esse p eda inho está arregado

om uma arga tamb ém innitesimal, dq, a qual pro duzirá um amp o elétri o innitesimal d E~

no p onto P , a uma altura arbitrária z do entro desse mesmo dis o. No entanto, esse p eda inho

innitesimal é ap enas uma répli a do restante do dis o, um forma miniaturizada de representá-

lo. Então, para obtermos o amp o elétri o resultante em P deveremos somar (integrar) os

efeitos de to dos esses elementos innitesimais de forma que obtenhamos a ontribuição total do amp o gerado p elo anel. Ou seja:

E^ ~ =

dE^ ~ (1)

Por hora deixaremos nossa integral indenida, p ois a seguir faremos uma mudança de o or- denadas e assim, deniremos a região de integração. Partindo da denição de amp o elétri o:

E^ ~ = 1

dq

~r^2

Não p o demos esque er que dq forne e o amp o elétri o d E~ na direção de ~r, omo p o demos

ver na gura 1. Logo, devemos estab ele er um vín ulo (uma pro jeção) entre o vetor dE~ e dire-

ção Z~. Este vín ulo será feito através do ângulo θ (vide gura 1). Efetuando a de omp osição

vetorial:

dE^ ~ = |dEx|x + |dEy|y + |dEz |z (3)

Onde, x, y e z são os vetores unitários asso iados na direçõ es dos eixos artesianos. Devido

a simetria do dis o, os amp os gerados na direção x e y se anularão, restando ap enas a direção

z. Então nossa integral do amp o elétri o p ermane e:

dE^ ~z =

[ ∫

dE · cosθ

]

z (4)

Substituindo a equação (2) em (4), temos:

Ez^ ~ =

[ 1

dq · cosθ

r^2

]

z (5)

Po demos olo ar a arga em função da densidade sup er ial, uma das onstantes do pro- blema, através da seguinte relação:

dq

da

Agora p o demos es olher que tip o de o ordenada queremos integrar o sistema. Devido a

geometria do problema, resolvemos integrá-lo em o ordenas p olares (r, θ). Logo, o elemento

innitesimal de área da, será:

da = r′dr′dθ (7)

Através do triângulo retângulo formado na gura 1 e o teorema de pitágoras, obtemos a

relação geométri a entre ~r′, ~r e z, ou seja:

r =

r′^2 + z^2 =⇒ cosθ =

z

z^2 + r′^2

Substituíndo a equação (7) em (6), obtemos:

dq = σda = σr′dr′dθ (9)

Substituíndo os resultados de (7), (8) e (9) em (5), obtemos:

E^ ~z =

[ 1

∫ R

0

0

r′dr′dθ

( z~^2 + r′^2 )

( z

(z^2 + r′^2 )

)]

z (10)

E^ ~z =

[ σz

∫ R

0

r′dr′

(z^2 + r′^2 )^3 /^2

0

dθ =

σz

∫ R

0

r′dr′

(z^2 + r′^2 )^3 /^2

]

z (11)

Para resolver a integral p o demos substituir u = z^2 + r′^2 → du = 2r′dr′, logo:

E^ ~z =

[ σz

du

2 u^3 /^2

]

z (12)