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A U L A
Eureca!
A U L A
Ao subir a serra, de volta para casa, Gaspar avistou o mar! Aquela imensidão azul! Como estavam próximos a uma região portuária, viu vários navios aguardando para entrar no porto. “Alberta, olhe quantos navios! A maioria deles carrega grandes e pesadas cargas, veja só como são enormes! Devem pesar toneladas!” “É verdade! Eu sempre me pergunto: como é que eles conseguem boiar? Por que não afundam?” “Eu não sei explicar” disse Gaspar. E você? Também já teve essa dúvida? Sabe como é que os navios, que pesam várias toneladas, conseguem boiar?
Nesta aula, vamos investigar a Física que existe por trás desse fenômeno e, então, seremos capazes de explicá-lo. Para isso, vamos utilizar alguns conheci- mentos adquiridos nas últimas aulas.
Para realizar esta atividade, você vai precisar de: l um recipiente com água; l uma rolha de garrafa. Coloque a rolha no recipiente com água. O que você observa? Agora, com o dedo, tente empurrá-la para baixo, isto é, tente afundá-la. O que você observa?
Você deve ter sentido uma resistência, uma dificuldade, ao tentar afundar a rolha, como se algo empurrasse a rolha para cima. Se você levar a rolha até o fundo e depois soltá-la, verá que sobe imediata- mente. De fato, para que a rolha suba, é preciso que haja uma força que a empurre para cima. Mas que força é essa? E como ela surge? Na aula passada, vimos o que é pressão e como ela se relaciona com força (p = F/A). Além disso, vimos como ela se comporta no interior dos líquidos: a pressão aumenta com a profundidadea pressão aumenta com a profundidadea pressão aumenta com a profundidadea pressão aumenta com a profundidadea pressão aumenta com a profundidade. Observe a Figura 1: uma rolha mergulhada num líquido. Note que a rolha se estende por uma certa região do líquido.
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Podemos pensar nela como se fosse formada por vários A U L A pedaços: cada um mergulhado numa profundidade diferente. Lembre-se de que a pressão é o resultado da aplicação de uma força sobre uma superfíciesuperfíciesuperfíciesuperfíciesuperfície. Vamos estudar as forças que atuam nas diferentes partes do corpo. Sabemos que a força é diretamente proporcional à pressão: logo, aaaaa força é maior onde a pressão é maiorforça é maior onde a pressão é maiorforça é maior onde a pressão é maiorforça é maior onde a pressão é maiorforça é maior onde a pressão é maior. Na Figura 1 as setas indicam as forças que atuam nas diferentes partes do corpo. Note que o tamanho da seta indica a intensidade da força naquele ponto. Observe que as forças que atuam na parte de baixo do objeto, isto é, aquelas que tendem a empurrar o objeto para cima, são maiores do que as que tendem a empurrar o objeto para baixo. Somando todas essas forças, vemos que existe uma força resultanteforça resultanteforça resultanteforça resultanteforça resultante que tem a direção verticaldireção verticaldireção verticaldireção verticaldireção vertical e o sentido para cimasentido para cimasentido para cimasentido para cimasentido para cima. Essa força é o empuxoempuxoempuxoempuxo e é ele que empurra para cima os corpos mergulhados nos líquidos,empuxo inclusive a nossa rolha. Se a pressão não variasse com a profundidade, todas as forças seriam iguais e se anulariam, portanto, a resultante seria zero e não haveria empuxo. Então, um corpo pode boiar graças ao empuxo. Mas não são todos os corpos que bóiam, quando colocados num líquido. Por exemplo: um tijolo bóia na água? E um pedaço de madeira? Veremos adiante como calcular o empuxo recebido por um corpo e em que condições um corpo bóia ou afunda.
Como calcular o empuxo?
Foi o filósofo e matemático grego Arquimedes, que viveu no século III a.C., quem descobriu, a partir de experiências cuidadosas, como calcular o empuxo. Arquimedes expressou as conclusões de suas observações num princípio que conhecemos como o princípio de Arquimedesprincípio de Arquimedesprincípio de Arquimedesprincípio de Arquimedesprincípio de Arquimedes, e que diz o seguinte:
Todo corpo mergulhado num líquido recebe um empuxo vertical, paraTodo corpo mergulhado num líquido recebe um empuxo vertical, paraTodo corpo mergulhado num líquido recebe um empuxo vertical, paraTodo corpo mergulhado num líquido recebe um empuxo vertical, paraTodo corpo mergulhado num líquido recebe um empuxo vertical, para cima, cujo valor é igual ao peso do líquido deslocado pelo corpo.cima, cujo valor é igual ao peso do líquido deslocado pelo corpo.cima, cujo valor é igual ao peso do líquido deslocado pelo corpo.cima, cujo valor é igual ao peso do líquido deslocado pelo corpo.cima, cujo valor é igual ao peso do líquido deslocado pelo corpo.
Então, para calcular o valor do empuxo exercido sobre um corpo, basta calcular o peso do líquido deslocado pelo corpo. Portanto, quanto mais líquido o objeto deslocar, maior será o empuxo. Podemos obter a expressão matemática para calcular o empuxo sobre um corpo. Dissemos que o empuxo (E) é igual ao peso do líquido deslocado (Plíq):
E = P (^) líq
O peso é igual ao produto da sua massa, pela aceleração da gravidade. Portanto: P (^) líq = mlíq · g ; assim: E = m (^) líq · g
Não é muito conveniente medir a massa do líquido deslocado pelo corpo. Um jeito seria encher o recipiente até a borda, mergulhar o corpo, recolher a água que transborda e colocá-la numa balança. Pouco prático, não é mesmo? Existe uma maneira indireta de saber qual foi a massa deslocada. Na aula passada, discutimos o conceito de massa específicamassa específicamassa específicamassa específicamassa específica. Vimos que massa específi- ca, também chamada de densidade,densidade,densidade,densidade,densidade, é uma grandeza que relaciona a massa de um corpo e o seu volume:
d = m/V ou m = d · V Assim, no lugar da massa do líquido deslocado, podemos utilizar o produto da densidade do líquido (obtida numa tabela) pelo volume deslocado (Vd).
Figura 1
Arquimedes: filÛsofo e matem·tico grego
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Prevendo situaÁıes A U L A
Existe uma maneira de saber se um objeto vai afundar ou não num determi- nado líquido. Como vimos, o empuxo depende de três grandezas: l do volume de líquido deslocado; l da densidade do líquido; l da aceleração da gravidade.
Isto é: E = dE = dE = dE = dE = d (^) líqlíqlíqlíqlíq · V· V· V· V· V (^) ddddd · g· g· g· g· g
Por outro lado, o peso do objeto (Po = m (^) o · g) pode ser escrito em função: l do seu volume; l da sua densidade; l da aceleração da gravidade.
Isto é: P = dP = dP = dP = dP = d (^) ooooo · V· V· V· V· V (^) ooooo · g· g· g· g· g
onde a massa foi escrita como: m (^) o = do · V (^) o Podemos comparar essas duas expressões, tal como fizemos na seção ante- rior (Tabela 1). Teremos novamente três situações:
P > E P = E P < E Vamos supor que o objeto está totalmente imerso no líquido e, que, portanto:
V (^) líq = V (^) O
Então, as duas expressões: E = d (^) líq · V (^) d · g e P = d (^) o · Vo · g só diferem quanto às densidades, isto é, quanto aos valores de dlíq e d (^) o.
Vamos analisar os três casos. P > EP > EP > EP > EP > E 11111 ∫ − Vimos que o objeto afunda. Nesse caso, do > dlíq, isto é, o objeto é mais denso que o líquido. É o exemplo do tijolo e da pedra.
P = EP = EP = EP = EP = E 22222 ∫ − Vimos que o objeto permanece parado, em equilíbrio, na posição onde foi deixado, totalmente imerso no líquido. Nesse caso, temos do = dlíq, isto é, a densidade do objeto é igual à densidade do líquido. É o exemplo do submarino.
P < EP < EP < EP < EP < E 33333 ∫ − Vimos que o corpo sobe até atingir o equilíbrio na superfície, ficando com uma parte para fora do líquido (emersa). Olhando as expressões, teremos d (^) o < d (^) líq. Portanto, se a densidade do objeto for menor do que a densidade do líquido, ele poderá boiar. É o caso do navio e da rolha. Assim, conhecendo a densidade do líquido e do objeto, podemos prever o que ocorrerá quando o objeto for mergulhado no líquido. Esta tabela resume as nossas conclusões:
O objeto afunda O objeto fica equilibrado totalmente imerso. O objeto bóia com uma parte emersa.
P > E P = E P < E
do > d (^) líq do = dlíq do < dlíq
Forças Densidade Situação
TABELA 2
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A U L A Você sabia?Você sabia?Você sabia?Você sabia?Você sabia?
EurecaEurecaEurecaEurecaEureca é uma palavra grega que significa: “achei”. Segundo consta, ela foi empregada por Arquimedes quando ele solucionou o problema da coroa do rei Hieron. O rei suspeitava que sua coroa não era de ouro puro, e Arquimedes foi incumbido de solucionar o caso. Arquimedes teria achado a solução do problema enquanto tomava banho, ao observar a elevação do nível da água, quando mergulhou seu corpo na banheira. Ele teria ficado tão entusiasmado que saiu correndo pelas ruas, gritando: “Eureca! Eureca!”. Só que se esqueceu de pegar a toalha!
Nesta aula, você aprendeu: l o que é empuxoempuxoempuxoempuxoempuxo (E): uma força vertical, dirigida para cima, que aparece sempre que um corpo está mergulhado num fluido qualquer; l que o empuxo surge em conseqüência do fato de a pressão variar com avariar com avariar com avariar com avariar com a profundidadeprofundidadeprofundidadeprofundidadeprofundidade no interior de um líquido; l o Princípio de ArquimedesPrincípio de ArquimedesPrincípio de ArquimedesPrincípio de ArquimedesPrincípio de Arquimedes, que nos diz: “Todo corpo mergulhado em um líquido recebe um empuxo vertical, para cima, igual ao peso do líquido deslocado pelo corpo”; l que, matematicamentematematicamentematematicamentematematicamentematematicamente, o empuxo se escreve como E = dlíq · g · V (^) deslocado; l que é possível preverpreverpreverpreverprever o que ocorrerá com um corpo quando ele for mergulhado num certo líquido, apenas analisando as suas densidades.
Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1 Uma pedra está mergulhada num rio, apoiada sobre o seu leito. Você se abaixa e levanta, mas sem tirá-la da água. a)a)a)a)a) Faça um esquema mostrando as forças que agem sobre a pedra. b)b)b)b)b) Ela lhe parecerá mais leve ou mais pesada do que se estivesse fora da água? Explique.
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2 Um tronco está boiando na superfície de um lago. Metade do tronco fica para fora da água, e a outra metade fica imersa. O volume do tronco é 1 m^3. Considere a densidade da água do lago como sendo de 1.000 kg/m^3. a)a)a)a)a) Faça um esquema indicando as forças que agem sobre o tronco. b)b)b)b)b) Calcule o valor do empuxo recebido pelo tronco. c)c)c)c)c) Qual o seu peso? E qual a sua massa? d)d)d)d)d) Calcule a densidade do material que compõe o tronco.
Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3 A massa de um objeto é 80 g e o seu volume 100 cm^3. a)a)a)a)a) Calcule a sua densidade. b)b)b)b)b) Sabendo que a densidade da gasolina é 0,70 g/cm^3 , e a densidade da água 1,00 g/cm 3 , verifique o que acontece quando o objeto é mergulhado em cada um desses líquidos.
Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4 Por que um navio pode boiar? O que podemos dizer sobre a densidade média do navio, quando comparada com a densidade da água do mar?
