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5. ENGRENAGENS – Conceitos Básicos
5.1 Tipos de Engrenagens Engrenagens Cilíndricas Retas: Possuem dentes paralelos ao eixo de rotação da engrenagem. Transmitem rotação entre eixos paralelos. Um exemplo é mostrado na Fig. 5.1.
Fig. 5.1: Engrenagens Cilíndricas Retas
Engrenagens Cilíndricas Helicoidais: Possuem dentes inclinados em relação ao eixo de rotação da engrenagem. Podem transmitir rotação entre eixos paralelos e eixos concorrentes (dentes hipoidais). Podem ser utilizadas nas mesmas aplicações das E.C.R.. Neste caso são mais silenciosas. A inclinação dos dentes induz o aparecimento de forças axiais. Um exemplo é mostrado na fig. 5.2.
(a) (b) Fig. 5.2: Engrenagens Cilíndricas Helicioidais – a: Eixos paralelos; b: Eixos concorrentes
Engrenagens Cônicas: Possuem a forma de tronco de cones. São utilizadas principalmente em aplicações que exigem eixos que se cruzam (concorrentes). Os dentes podem ser retos ou inclinados em relação ao eixo de rotação da engrenagem. Exemplos deste tipo de engrenagens estão mostrados na Fig. 5.3.
Fig. 5.3: Engrenagens Cilíndricas Cônicas
Parafuso sem fim – Engrenagem coroa (Sem fim-coroa): O sem fim é um parafuso acoplado com uma engrenagem coroa, geralmente do tipo helicoidal. Este tipo de engrenagem é bastante usado quando a relação de transmissão de velocidades é bastante elevada (Fig. 5.4).
Fig. 5.4: Parafuso Sem fim - Coroa
Pinhão-Cremalheira: Neste sistema, a coroa tem um diâmetro infinito, tornando-se reta. Os dentes podem ser retos ou inclinados. O dimensionamento é semelhante às engrenagens cilíndricas retas ou helicoidais. Na Fig. 5.5 está mostrado um exemplo
Passo frontal (p): É a distância entre dois pontos homólogos medida ao longo da circunferência primitiva. Módulo (m): É a relação entre o diâmetro primitivo e o número de dentes de uma engrenagem. O módulo é a base do dimensionamento de engrenagens no sistema internacional. Duas engrenagens acopladas possuem o mesmo módulo. A figura 5. mostra a relação entre o módulo e o tamanho do dente. O módulo deve ser expresso em milímetros. Passo Diametral (P): É a grandeza correspondente ao módulo no sistema inglês. É o número de dentes por polegada.
Fig. 5.7: Relação entre Módulo (mm) e tamanho de dente
Altura da Cabeça do Dente ou Saliência (a): É a distância radial entre a circunferência primitiva e a circunferência da cabeça. Altura do pé ou Profundidade (b): É a distância radial entre a circunferência primitiva e a circunferência do pé.
Altura total do dente (ht): É a soma da altura do pé com a altura da cabeça, ou seja,
ht=a+ b.
Ângulo de ação ou de pressão (φ): É o ângulo que define a direção da força que a
engrenagem motora exerce sobre a engrenagem movida. A figura 5.8 mostra que o
pinhão exerce uma força na coroa, formando um ângulo (φ) com a tangente comum
às circunferências primitivas (tracejadas na figura).
Circunferência de Base do Pinhão
Circunferência de Base da Coroa
Fig. 5.8: Ângulo de ação de duas engrenagens acopladas
Circunferência de base: É a circunferência em torno da qual são gerados os dentes.
Equações Básicas:
N
d
m = (5.1)
N é o número de dentes da engrenagem.
m
N
d
p π
d m
N
P
O diâmetro da circunferência de base ( db) é calculado pela Equação:
d b = d cos φ (5.4)
Um par de engrenagens onde o pinhão gira com rotação de np rpm e a coroa com
rotação de nc rpm apresenta a seguinte relação cinemática:
5.3.1 Engrenagens Cilíndricas Retas
As forças atuantes em um par de engrenagens cilíndricas retas estão mostradas na Fig. 5.9. As engrenagens transmitem força ao longo da linha de ação, que forma o
ângulo (φ) mostrado.
Ta
F 32
F 23
Fa
Tb
Fb
n 3
n 2
a
b
Pinhão
Coroa
Fig 5.9: Forças em Engrenagens Cilíndricas Retas
As forças atuantes nas engrenagens podem ser decompostas nas direções radiais (Fr 32 ) e tangenciais (Ft 32 ), como mostrado na Fig. 5.9a.
Ft 32
Fr 32 F^32
Fig 5.9a: Forças tangencial e radial em Engrenagens Cilíndricas Retas
Somente a componente tangencial transmite potência (Força útil). A componente
radial tende a separar as árvores. Fazendo Ft^ = Wt, o torque transmitido (T) pelas engrenagens pode ser calculado por:
2
d T = Wt. (5.6)
A potência transmitida (H) pode ser calculada pela equação:
H = Wt. V = T. ω (5.7) v = velocidade tangencial da engrenagem – v = πdn ω = Velocidade angular da engrenagem
Interferência entre engrenagens cilíndricas retas
Interferência entre duas engrenagens existe quando o contato entre os dentes ocorre fora do perfil gerado. A interferência deve ser evitada no dimensionamento de engrenagens. Para evitar interferência devem ser determinados os números mínimos de dentes:
O número mínimo de dentes que um pinhão pode ter (NP) para evitar interferência é:
( ) (^)
(^) + + +
= φ φ
1 2 2 1 2
(^2) sen ( )sen
G G G
G
p m m m m
N k (5.8)
k = 1 para engrenagens normais e k = 0,8 para engrenagens rebaixadas; mG = NC/NP = Relação do número de dentes do pinhão e da coroa.
Exemplo: mG = 4; k = 1; φ = 20^0_. O número mínimo de dentes NP = 15,4 = 16 dentes. Assim, um pinhão de 16 dentes poderá se acoplar com uma coroa de 64 dentes sem que haja interferência._
O número máximo de dentes (NC) que uma coroa pode se acoplar com um pinhão com número de dentes igual a NP sem que haja interferência é:
φ
φ
4 2
4 sen
sen
P
C P
k N
N k N −
− = (^) (5.9)
tg φ (^) n = cos ψ. tg φ (5.11)
φ
φn
Fig 5.11: Nomenclatura e definições em engrenagens cilíndricas helicoidais
Uma outra maneira de mostrar os cortes dos dentes de uma engrenagem helicoidal está mostrada na Fig. 5.12.
Fig 5.12: corte em engrenagens cilíndricas helicoidais
Interferência entre engrenagens helicoidais
Semelhante à equação (5.8), usada para E.C.R., o número mínimo de dentes que um pinhão com dentes helicoidais pode ter (NP) para evitar interferência é:
( ) (^)
(^) + + +
= φ φ
ψ (^22) 1 2 2 1 2
(^2) sen ( )sen
. cos
G G G
G
p m m m m
N k (5.12)
O número máximo de dentes (NC) que uma coroa pode se acoplar com um pinhão com número de dentes igual a NP sem que haja interferência é:
ψ φ
φ ψ
4 2
4 cos sen
sen cos
P
C P
k N
N k N −
− = (^) (5.13)
As forças atuantes em um par de engrenagens helicoidais estão mostradas na Fig. 5.13.
Cilindro Primitivo
Fig 5.13: Forças atuantes em engrenagens cilíndricas helicoidais
As forças radiais (Wr), tangenciais (Wt) e axiais (Wa) são calculadas através das
equações:
C
p
N
N tg γ =
p
C
N
tg Γ = N (5.15)
O número virtual de dentes de uma engrenagem cônica (N’) é:
p
r N b
2 π ' = (5.16)
rb é o raio do cone complementar.
As forças atuantes em uma engrenagem cônica estão mostradas na Fig. 5.15. Considera-se que as forças estão atuando no ponto central do dente.
Fig 5.15: Forças atuantes em engrenagens cônicas
As forças radiais (Wr), tangenciais (W (^) t ) e axiais (Wa) são calculadas através das
equações:
av
t (^) r
T W =
W (^) r = Wttg φ cos γ (5.17)
W (^) a = Wttg φ sen γ
rav é o raio primitivo (metade do diâmetro primitivo).
5.3.4 Parafuso Sem fim - Coroa
O par sem fim coroa consiste do acoplamento de um parafuso com uma engrenagem (a coroa). Consegue-se através deste par grandes reduções (i ≤≈ 100:1). Na Fig. 5. está mostrada uma representação esquemática de um sem fim – coroa.
d c
d S
p x
Px = Passo axial do sem fim dS = Diâmetro primitivo do sem fim dc = Diâmetro primitivo da coroa
Fig. 5.16: Representação esquemática de um par sem fim - coroa
Para que haja engrenamento, o passo axial do sem fim deve ser igual ao passo
normal da coroa (engrenagem helicoidal), ou seja: px = pN. O ângulo de avanço do
parafuso (λ) é dado por
d S
L tg π
λ = (^) e L = px NS (5.18)
L é o avanço do parafuso. NS é o número de entradas do parafuso.
As forças atuantes em um par sem fim coroa estão mostradas na Fig. 5.19.
Fig. 5.19a
Z
X
Y
W St
W Sr W Sa
W Ct W^ Cr W
Ca
WY
WX
WZ
W
φ n
: Forças atuantes no par sem fim – coroa
Fig. 5.19b: Forças atuantes no sem fim – coroa
rças atuantes em par sem fim – coroa podem ser determinadas pelas equações:
Desprezando-se o atrito, as fo
Sen λ
n
Wy^ = WSen φ
W x^ = WCos φ n
(5.20)
A forças nas direções X, Y e Z são:
(5.21)
Em um par sem fim – coroa existe uma força de atrito que NÃO
W z = WCos φ (^) nCos λ
x
WSt =− WCa = W
y
WSr =− WCr = W
W (^) Sa = − WCt = Wz pode ser desprezada. Considerando-se o atrito, com coeficiente atrito (f), as forças atuantes são:
(5.22)
A relação entre as forças tangenciais no parafuso (W (^) St ) e na coroa (W (^) Ct ) pode ser determinada pela equação:
de
W x^ = W ( Cos φ nSen λ + fCos λ)
n
Wy^ = WSen φ
W z^ = W ( Cos φ (^) nCos λ− fSen λ)
λ φ λ
φ λ λ fSen Cos Cos
Cos Sen fCos W
n
n
St Ct −
W = (5.23)
O rendimento do par sem fim – coroa (η ) é:
φ λ
η φ^ λ Cos fCotg
Cos f tg
n
n
.
.
= − (5.24)
O coeficiente de atrito (f) em um par sem fim – coroa depende da velocidade de
escorregamento (Vd) e do parafuso sem fim (VS ). A Fig. 20 mostra as velocidades
atuantes.
5.4 Considerações Finais
Razão de contato : Define o número de pares de dentes que estão simultaneamente em contato. Em geral as engrenagens possuem uma razão de contato maior que um. Uma razão de contato igual à unidade significa que haverá apenas um par de dentes em contato. Somente quando o contato deste par termina, inicia-se o seguinte. Isto provoca choques nas engrenagens. Para evitar estes choques utiliza-se um maior número de pares de engrenagens em contato simultâneo.
EXERCÍCIOS
- A engrenagem A, com 25 dentes, está acoplada a um motor que transmite 3 kW a 600 rpm no sentido horário. As engrenagens B e C têm 65 e 55 dentes, respectivamente. O módulo destas engrenagens é igual a 6 mm. Todas as engrenagens são cilíndricas retas. Determine: - O torque que cada árvore transmite. - As forças atuantes em cada engrenagem. Faça um desenho esquemático mostrando estas forças. - Qual a influência existente nos cálculos acima, se a engrenagem B fosse retirada? C
B
A
1.1) Determine o número mínimo de dentes que o pinhão A da figura acima poderá ter para que não haja interferência.
- Uma engrenagem cilíndrica helicoidal tem 85 dentes, ângulo de ação normal de 20^0 , ângulo de inclinação da hélice de 30^0 e módulo normal de 5 mm. Esta engrenagem deverá ser acoplada a um pinhão que transmite 5 kW a 1150 rpm. O número de dentes do pinhão é o mínimo necessário par que não haja interferência. Determine: - O número de dentes do pinhão. - As forças atuantes nas engrenagens. - Faça um desenho esquemático destas forças atuantes no dente. - Se esta engrenagem fosse transformada em uma engrenagem cilíndrica reta, com todas as características idênticas à engrenagem helicoidal anterior, exceto o ângulo da hélice, quais seriam as forças atuantes? Faça uma comparação entre estas engrenagens.
- Uma par de engrenagens cônicas tem relação de transmissão de 4/3. O diâmetro primitivo do pinhão é de 150 mm. O pinhão gira com 240 rpm. O módulo das engrenagens é de 5 mm, ângulo de ação de 20^0. Determine as forças atuantes nos dentes das engrenagens, se uma potência de 6 kW é transmitida.
- Um parafuso sem fim transmite 6 kW a 1200 rpm a uma engrenagem helicoidal de módulo normal igual a 20 mm. O diâmetro primitivo do parafuso sem fim é de 71,26 mm e tem três entradas. A engrenagem helicoidal tem 60 dentes e ângulo de ação normal de 20^0. O coeficiente de atrito f = 0,10. Determine as forças atuantes no sem fim e na engrenagem. Faça um desenho mostrando estas forças. nM = 1200 rpm
- A figura abaixo mostra um trem de engrenagens constituído por um par de engrenagens cônicas com 16 dentes cada uma, um parafuso sem fim com 4 entradas, coeficiente de atrito f = 0,12 e uma engrenagem helicoidal com 40 dentes. Um motor acoplado ao eixo da engrenagem 2 transmite 5,5 kW com 250 rpm (sentido horário). São conhecidos: ângulo de ação = 25^0. Ângulo de inclinação da hélice=30^0. Módulos=3,0 mm. Determine:
- As forças atuantes em todas as engrenagens.
- A velocidade de saída (na engrenagem 5).
- O sentido de rotação na engrenagem 5.
- A potência disponível na árvore da engrenagem 5
