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ELECTROMAGNETISMO
Curso de Electrotecnia e de Computadores
1º Ano – 2º Semestre 2010-
Capítulo IX
Equações de Maxwell.
Propagação de ondas electromagnéticas
9.1 Equações de Maxwell e as descobertas de Hertz
9.1.1 As equações de Maxwell
As equações mais gerais de Maxwell , no sentido em que são válidas quer no vácuo (vazio), quer nos meios materiais, são escritas na seguinte forma:
∇ ⋅ E =ρ ε
r r [1ª] (9.1a)
t
B
E
∇× =−
r r r [2ª] (9.1b)
∇ ⋅ B = 0
r r [3ª] (9.1c)
t
E
c
B J
∇× = +
r r r r
μ [4ª] (9.1d)
ε – permeabilidade eléctrica, μ – permitividade magnética, c – velocidade da radiação electromagnética
com as equações de ligação:
D = ε E (9.2a)
J = σ E (9.2b)
B = μ H (9.2c)
9.1.2 Campos Eléctrico e Magnético em conjunto
O facto fundamental de termos um campo eléctrico variável e este produzir efeitos magnéticos, e de esses efeitos magnéticos variáveis se manifestarem como efeitos eléctricos
- mesmo no espaço vazio (interior do condensador, por exemplo) onde não existem nem
distribuições de carga (fonte de E ) nem de corrente (fonte de B ) – levou Maxwell a prever a existência de uma onda eléctrica e magnética a propagar-se no espaço.
Por exemplo, se num condensador colocado no vazio, tivermos um campo eléctrico E que varia sinusoidalmente (normal às suas armaduras), com uma intensidade;
E = E 0 sen ( ω t )
e teremos a ele associado o campo de indução magnética B, também sinusoidal com a mesma frequência, dado por;
cos( ) 2
2 0 0
rE t c
B ω
A forma relativa do campo eléctrico e magnético mantêm-se, mas no decorrer do tempo – estes propagam-se no espaço, com uma determinada velocidade de propagação, relacionada com as constantes ε 0 e μ 0 , da seguinte forma;
2 0
0 0
c
Verificamos que o produto das constantes ε 0 e μ 0 representam também uma constante da natureza – o inverso do quadrado da velocidade de propagação da onda electromagnética no vazio – c 0_._ Este valor é igual à velocidade de propagação da luz.
9.1.3 Onda Electromagnética no vazio
Pensemos que temos fontes dos campos E e B , cargas eléctricas e correntes livres, respectivamente. Na ausência de meios materiais (vazio), quais as soluções das equações de Maxwell para esses campos, devido a essas fontes (figura 9.1)?
Fora das regiões onde se localizam as fontes, teremos então:
ρ = 0 e J = 0
Figura 9.1 – Propagação de onda electromagnética no vazio.
9.1.4 Onda plana electromagnética
Um caso muito importante e particular é o de considerarmos ondas planas que se propagam (por exemplo) na direcção do eixo z , Φ( x,y,z,t ) = Φ( z,t ). É o caso das ondas que recebemos das longínquas fontes luminosas das estrelas.
2
2 2 0
2
z c ∂ t
a solução será da forma:
Φ( z , t )= f −( z − ct )+ f +( z + ct )
onde f- e f+ são funções arbitrárias dos respectivos argumentos. A função f- representa uma onda progressiva que se propaga no sentido positivo do eixo z e a função f+ uma onda que se propaga no sentido negativo do eixo z , onda regressiva. Qualquer combinação linear destas soluções ainda é uma solução.
9.1.4.1 Onda electromagnética plana e linearmente polarizada
Se fixarmos a direcção ( z ) de propagação, e verificarmos que a direcção do campo eléctrico
E é sempre constante (digamos no eixo x );
E Ex ztu x
r = ( , )
Estamos perante um campo (eléctrico) que só tem variação ao longo dessa direcção (sendo nulo nas outras direcções). Quando isto ocorre, dizemos que temos uma onda plana linearmente polarizada (na direcção de eixo x ).
Figura 9.2 – Onda electromagnética plana linearmente polarizada.
2
2 2 0
2
t
E
z c
E
e (^2)
2 2 0
2
t
B
z c
B
e verificamos que B By ztuy
r = ( , ) é também linearmente polarizado.
O campo eléctrico E e o campo de indução magnética B são perpendiculares entre si e perpendiculares à direcção de propagação (z), figura 9.2.
A onda electromagnética é transversal
Se considerarmos que a onda linearmente polarizada, tem uma dependência espaço-temporal bem definida, do tipo sinusoidal;
E x = E 0 x cos( kz − ω t )
e
0 0
(^0) cos( ) c
E
kz t c
E
B y = x − ω = x
c
E
μ 0 H y = By = x (9.8)
2 /^0
f c
f k
Figura 9.3 – Representação dos campos E e B de uma onda electromagnética plana, linearmente polarizada e sinusoidal.
Existe uma relação constante entre as componentes E e B. Além de serem ortogonais , essas componentes estão também em fase entre si.
9.1.5 Propriedades da onda electromagnética
Podemos em seguida sumarizar as suas propriedades:
1. as equações de Maxwell têm solução ondulatória, obedecendo ambos os campos, E e B a essa mesma equação de onda, 2. as ondas electromagnéticas propagam-se no vazio com a velocidade da luz, c 0 = 299.792.458 ± 1,2 ms- 3. os campos E e B são perpendiculares entre si e perpendiculares à direcção de propagação – onda transversal , 4. os módulo de E e B no vazio, estão relacionados por; E/B = c 0 , 5. as ondas electromagnéticas obedecem ao princípio da sobreposição.
Exercício 9.
Considere uma onda electromagnética plana e sinusoidal no vazio, com as seguintes características: f = 40 MHz, E 0 = 750 NC-1. Calcule o comprimento de onda (λ) , período (T) e B 0?
9.2 Radiação electromagnética e matéria
9.2.1 Vector de Poynting
Para caracterizar matemática e fisicamente a onda electromagnética, podemos definir a seguinte grandeza, chamada vector de Poynting , como;
S = E × H = E × B
0
Este vector tem a direcção e o sentido da propagação da onda electromagnética e dimensões de energia por unidade de tempo e por unidade de área, ou seja, potência por unidade de área, (no Sistema Internacional, Js-1m-2^ ou Wm-2), figura 9.5.
Figura 9.5 – Vector de Poynting.
9.2.2 Energia da onda electromagnética
O seu módulo representa a intensidade instantânea da energia electromagnética. Valor instantâneo de S ;
0
2
0
2
cB c
EB E
S = = = (9.10)
atendendo à expressão (9.8).
Consideremos agora um meio material de comportamento linear, homogéneo e isotrópico, onde se verifica então que;
D = ε E e B = μ H
com ε e μ propriedades electromagnéticas caracterizadoras do material.
Figura 9.6 – Onda incidente num volume material.
Aplicando o operador divergência ( ∇ ⋅) ao vector de Poynting , temos;
∇ ⋅ S =∇⋅( E × H )= H ⋅(∇× E )− E ⋅(∇× H ) (9.11)
e sabemos que no meio material; t
H
E
∇× =− μ e Jc
t
E
H +
∇× = ε da
aplicação das equações de Maxwell (9.1b e 9.1d).
Substituindo estas ultimas em (9.11), temos;
t E J^ c
E
E
t
H
S H − ⋅
Se integrando agora a expressão anterior (9.12) num volume v (figura 9.6), onde a onda poderá estar a entrar ou a sair, temos;
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ − ∫∫∫ ⋅
v
c v v v
H dv E dv E J dv dt
d S dv ( ) 2
( ) μ 2 ε^2 (9.13)
Aplicando o teorema de Gauss ao primeiro membro, e sabendo que as energias armazenadas
nos campos E e H , são;
= ∫∫∫ v
U (^) E Edv 2 2
ε (9.14a)
= ∫∫∫ v
U (^) H H dv 2 2
μ (9.14b)
temos na forma integral e diferencial;
( + ) +∫∫ ⋅ =−∫∫∫ ⋅ v
c Sup
UE UH S ds E J dv dt
d ( ) (9.15a)
EM (^) S E J c t
U
(9.15b)
Significado físico: o fluxo do vector de Poynting representa a energia que entra, por unidade de tempo, no volume v. Essa energia corresponde à variação temporal de energia armazenada no campo electromagnético no volume v , mais a energia dissipada por efeito de Joule , por unidade de tempo, no mesmo volume.
A densidade de energia eléctrica é igual à densidade de energia magnética,
2 2 0
uE = ε E e 0 2 0 2
uM = μ H = ε E atendendo à expressão (9.8)
2
uEM = ε 0 E (9.16)
Figura 9.7 – Emissão e recepção de ondas electromagnéticas; TX: grande potência emissora, RX: amplificador da fraca potência recebida
Associado à frequência de oscilação ( f ) está obviamente ligado o comprimento de onda da emissão (λ), pela expressão (9.22). Por questões práticas de rendimento, as antenas emissoras têm habitualmente um comprimento que é ½ ou ¼ do comprimento de onda da emissão. Os circuitos receptores são construídos de forma a seleccionar apenas determinadas frequências electromagnéticos.
λ f = c (9.22)
A velocidade de propagação das ondas electromagnéticas (velocidade da luz), é a maior velocidade de propagação de um sinal na natureza.
Figura 9.8 – Emissão de onda electromagnética, antena vertical (¼ λ).
9.2.5 Radiação electromagnética
Praticamente toda a “informação” que nos recebemos da natureza ocorre sobre a forma de ondas electromagnéticas. Detectamos a presença de um corpo ou fenómeno através da energia electromagnética que dele captamos. A interacção dos seres vivos com o meio envolvente também ocorre na sua maioria com recursos a “sensores” de radiação electromagnética, como sejam através dos órgãos da visão – os olhos.
A partir das descobertas de Maxwell , demonstrou-se que a radiação electromagnética tem exactamente o mesmo comportamento que a luz; sofre reflexão, refracção, difracção, interferência, polarização. A luz é apenas um tipo de radiação electromagnética, a que os nossos olhos humanos (e de grande parte dos seres do reino animal) são sensíveis.
Sabemos hoje que:
Todo e qualquer corpo com temperatura acima do 0 K (-273,15 °C) emite radiação electromagnética
- ••• Mas de que forma o faz? Depende da sua temperatura?
As primeiras descobertas no séc. XVII, mostraram e provaram que a emissão é independente do tipo de corpo (material, forma, etc), mas dependem efectivamente da temperatura. A cor e a emissão de luz (radiação) dependem da temperatura.
Consideremos um corpo em equilíbrio com a radiação. A energia que, por segundo, ele emite será descrita por K. Se seleccionarmos agora a energia num intervalo de frequências compreendidas entre f e f + df , a energia será reescrita por Kf , por unidade de intervalo de frequência. A densidade espectral de energia uf electromagnética (energia por unidade de volume, com frequências entre f e f + df , e por unidade de intervalo de frequência) é:
f K f c
u 0
Mas como determinar a função Kf ao longo de todo o domínio do espectro electromagnético?
Para obter a resposta, foi teoricamente necessário introduzir o conceito de Corpo Negro.
9.2.6 Corpo Negro
Um corpo negro é um corpo que transforma em calor (energia) toda a radiação electromagnética que nele incide. A melhor aproximação é uma cavidade negra , figura 9.9. É na pratica um corpo com uma cavidade interna, acessível apenas por um minúsculo orifício, por onde é emitida radiação para o seu interior.
Figura 9.9 – Cavidade negra.
As experiências realizadas por John Tyndall , em 1865, em fios de platina, a duas temperaturas distintas; 1200 °C e 525 °C, mostraram que a razão de emissão de radiação era 11,7 vezes superior na maior temperatura (comparativamente com a temperatura menor).
4
4
A relação que satisfaz esta observação é conhecida como lei de Stefan-Boltzmann.
9.2.9 Lei de Planck (1900)
Max Planck , introduz uma hipótese meramente matemática – a da energia não ser trocada em qualquer quantidade – mas sim em pacote múltiplos de uma quantidade elementar – quantificação da energia. Essa hipótese revelou-se ter uma realidade física e responde perfeitamente às nossas observações.
0
3
kT
f hf e
c
hf u f T
h = 6,6261× 10 -34^ J s (constante de Planck ) , k = 1,3807× 10 -23^ J K-1^ (constante de Boltzmann )
A lei de Planck quantifica a quantidade de energia, para qualquer temperatura, ao longo de todo o espectro electromagnético de radiação. Conseguimos assim saber, qual é a energia que um corpo emite numa dada frequência (ou comprimento de onda), quando se encontra a uma determinada temperatura. A expressão gráfica da lei de Planck (9.27), está retratada na figura 9.11 (para três temperaturas distintas) e na figura 9.12 (temperatura da fotosfera solar).
Figura 9.11 – Curvas de corpo negro (lei de Planck ) para três temperaturas, com indicação do espectro visível.
Na figura 9.11 o gráfico indica a potência P relativa ( versus comprimento de onda), e no gráfico da figura 9.12 a energia relativa ( versus comprimento de onda).
Figura 9.12 – Curvas de corpo negro (lei de Planck ) para o Sol.
9.2.10 Espectro de frequência da radiação electromagnética
O espectro electromagnético compreende as ondas electromagnéticas (radiação electromagnética), desde baixas frequências (grandes comprimentos de onda) até elevadas frequências (pequenos comprimentos de onda), e relacionados pela expressão (9.22), figura 9.13.
Figura 9.13 – Espectro de frequências electromagnéticas e suas denominações.
Um quanto de energia (fotão) tem uma quantidade de energia dada por;
u = hf = hc^0 (9.28)
Quanto maior for a frequência da radiação, maior é a energia transportada pelo quanto.
Exercício 9.
Calcule a energia de um fotão azul e de um fotão vermelho?
