Equações de Maxwell

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m maio de 2008 os pesquisadores da

HP nos Estados Unidos fizeram um re-

lato na revista

Nature

sobre uma descober-

ta que surpreendeu a comunidade científica

mundial e foi considerada por muitos a mais

importante invenção no campo da eletrôni-

ca dos últimos 25 anos [ IEEE Spectrum, vol.

45, nº12 (INT), dezembro 2008, p.25]. Trata-

se do desenvolvimento do “Memristor” ou

Resistor com Memória, já antecipado nos

estudos de um brilhante e desconhecido

professor de engenharia elétrica da Uni-

versidade da Califórnia, Leon Chua, que em

1971 ao estudar as interrelações das gran-

dezas fundamentais da eletricidade e do

magnetismo – carga elétrica, corrente, vol-

tagem e fluxo magnético, representadas nas

equações de Maxwell –, previu a existência

desse quarto dispositivo essencial dos cir-

cuitos eletromagnéticos, além do capacitor

(descoberto em 1745), o resistor (1827) e o

indutor (1831). Como é sabido, os resistores

(resistências) conectam voltagem e corren-

te elétrica, os indutores (bobinas), fluxo e

corrente, os capacitores (condensadores),

voltagem e carga, ao passo que o memris-

tor – segundo Chua – preencheria a lacuna

existente, conectando a carga que se deslo-

ca num circuito com o fluxo magnético que

o envolve, ou seja, a resistência do mesmo

varia com o volume, sentido e tempo de

aplicação da carga que o percorre, emulan-

do o comportamento das sinapses que in-

terligam os neurônios no cérebro humano.

Mais surpreendente ainda – segundo diz o

coordenador do grupo de pesquisadores

R.Stanley Williams, no artigo citado –, é o

fato de que o memristor guarda a memória

do seu último estado antes de ser desligado.

Imagine o resistor como uma tubulação ou

adutora no qual a água é a carga elétrica. A

resistência à passagem da corrente é com-

parável ao diâmetro da tubulação: quanto

menor, maior a resistência. Historicamente,

Sobre aS

os resistores usados no projeto de circuitos

integrados sempre tiveram um diâmetro

constante. Mas o memristor é uma tubula-

ção que altera o seu diâmetro em função do

volume e sentido da água que passa por ela.

Além disso, o memristor mantém a lembran-

ça do seu diâmetro na última passagem da

água conservando-a inalterada até o próxi-

mo fluxo. Esta propriedade de “congelar” os

dados é ideal para ser usada como memó-

ria não volátil nos computadores e vai além

disso, podendo, eventualmente, emular (em

lugar de simplesmente simular) as redes de

neurônios e sinapses do cérebro humano.

Dessas propriedades pode-se inferir a

importância que o memristor poderá ter

para o futuro da eletrônica que desde a des-

coberta do transistor (1947), dos circuitos

integrados (1958) e dos microprocessadores

(1970), vem sendo pressionada para a mi-

niaturização dos dispositivos e aumento das

velocidades de processamento, exigindo um

adensamento crescente dos transistores nos

chips de memória, com as consequentes re-

duções de tamanho, aumento de frequência,

incremento de consumo de energia e de dis-

sipação de calor. Essa busca constante pelo

infinitamente pequeno passando da escala

milimétrica para a micrométrica e agora na-

nométrica (1 nanômetro = 1 milionésimo de

milímetro = 10-6mm) poderá decretar o fim

da lei de Moore (de Gordon E.Moore – co-

fundador e ex-presidente da Intel) que em

1965 “profetizou” que o número de transis-

tores em um processador dobraria a cada 18

a 24 meses, tese comprovada pelo gráfico

da figura 1.

O limite da lei de Moore seria dado pelo

fato de que o transistor não pode ser me-

nor que um átomo de silício. Hoje os fabri-

cantes de pastilhas de silício (chips) estão

trabalhando com transistores com tama-

nhos entre 45nm (Nehalen da Intel) e 32

nanômetros (nm), (Westmere e Gesher da

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engenharia /2009^592 m maio de 2008 os pesquisadores da HP nos Estados Unidos fizeram um re- lato na revista Nature sobre uma descober- ta que surpreendeu a comunidade científica mundial e foi considerada por muitos a mais importante invenção no campo da eletrôni- ca dos últimos 25 anos [IEEE Spectrum, vol. 45, nº12 (INT), dezembro 2008, p.25]. Trata- se do desenvolvimento do “Memristor” ou Resistor com Memória, já antecipado nos estudos de um brilhante e desconhecido professor de engenharia elétrica da Uni- versidade da Califórnia, Leon Chua, que em 1971 ao estudar as interrelações das gran- dezas fundamentais da eletricidade e do magnetismo – carga elétrica, corrente, vol- tagem e fluxo magnético, representadas nas equações de Maxwell –, previu a existência desse quarto dispositivo essencial dos cir- cuitos eletromagnéticos, além do capacitor (descoberto em 1745), o resistor (1827) e o indutor (1831). Como é sabido, os resistores (resistências) conectam voltagem e corren- te elétrica, os indutores (bobinas), fluxo e corrente, os capacitores (condensadores), voltagem e carga, ao passo que o memris- tor – segundo Chua – preencheria a lacuna existente, conectando a carga que se deslo- ca num circuito com o fluxo magnético que o envolve, ou seja, a resistência do mesmo varia com o volume, sentido e tempo de aplicação da carga que o percorre, emulan- do o comportamento das sinapses que in- terligam os neurônios no cérebro humano. Mais surpreendente ainda – segundo diz o coordenador do grupo de pesquisadores R.Stanley Williams, no artigo citado –, é o fato de que o memristor guarda a memória do seu último estado antes de ser desligado. Imagine o resistor como uma tubulação ou adutora no qual a água é a carga elétrica. A resistência à passagem da corrente é com- parável ao diâmetro da tubulação: quanto menor, maior a resistência. Historicamente,

Sobre aS

E

os resistores usados no projeto de circuitos integrados sempre tiveram um diâmetro constante. Mas o memristor é uma tubula- ção que altera o seu diâmetro em função do volume e sentido da água que passa por ela. Além disso, o memristor mantém a lembran- ça do seu diâmetro na última passagem da água conservando-a inalterada até o próxi- mo fluxo. Esta propriedade de “congelar” os dados é ideal para ser usada como memó- ria não volátil nos computadores e vai além disso, podendo, eventualmente, emular (em lugar de simplesmente simular) as redes de neurônios e sinapses do cérebro humano. Dessas propriedades pode-se inferir a importância que o memristor poderá ter para o futuro da eletrônica que desde a des- coberta do transistor (1947), dos circuitos integrados (1958) e dos microprocessadores (1970), vem sendo pressionada para a mi- niaturização dos dispositivos e aumento das velocidades de processamento, exigindo um adensamento crescente dos transistores nos chips de memória, com as consequentes re- duções de tamanho, aumento de frequência, incremento de consumo de energia e de dis- sipação de calor. Essa busca constante pelo infinitamente pequeno passando da escala milimétrica para a micrométrica e agora na- nométrica (1 nanômetro = 1 milionésimo de milímetro = 10-6mm) poderá decretar o fim da lei de Moore (de Gordon E.Moore – co- fundador e ex-presidente da Intel) que em 1965 “profetizou” que o número de transis- tores em um processador dobraria a cada 18 a 24 meses, tese comprovada pelo gráfico da figura 1. O limite da lei de Moore seria dado pelo fato de que o transistor não pode ser me- nor que um átomo de silício. Hoje os fabri- cantes de pastilhas de silício (chips) estão trabalhando com transistores com tama- nhos entre 45nm (Nehalen da Intel) e 32 nanômetros (nm), (Westmere e Gesher da MIRACYR ASSIS MARCATO*

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Intel), ou seja, o equivalente a cerca de 156 átomos de si- lício. Entre outros desenvolvimentos e pesquisas em curso para aumento da capacidade e velocidade dos processado- res, como a “spintrônica” que trabalha manipulando uma propriedade quântica e mecânica dos elétrons conhecida como spin (imagine o elétron como um pião girando), o memristor poderá ter seu lugar na eletrônica no futuro próximo, combinado com o uso mais eficiente dos transis- tores, em configurações híbridas para melhorar significati- vamente o desempenho dos circuitos digitais, sem recorrer a uma custosa e difícil duplicação da densidade nos chips e permitindo a sobrevida da lei de Moore por pelo menos mais uma década, segundo informa R.S.Williams.

Pela importância e atualidade dos temas, reprodu- zimos, a seguir, a título de esclarecimento e curiosidade científica, a tradução de um artigo sobre as equações de Maxwell, publicado no NoticIEEEro – Ed. 55 – Ano 19, fe- vereiro 2008, da Revista bimestral do Institute of Electri- cal and Electronics Engineers (IEEE) – Região 9 – América Latina e Caribe que transcreve um texto de Carl Sagan (1934-1996), famoso cientista e astrônomo americano, colaborador importante do programa espacial da Nasa e crítico ferrenho das pseudo-ciências, conhecido pelos seus esforços de popularização do conhecimento científico. “Alguns anos atrás, a Associação de Físicos dos Estados Unidos (APS), em sua revista oficial Physical Review, pro- pôs a seus leitores uma enquete para identificar a fórmula físico-matemática que mais havia influenciado a humani- dade e fosse também a mais simples e elegante. A escolha recaiu sobre as denominadas Equações de Maxwell, segui- Figura 1 - Progressão do número de transistores em um processador

CYANCYAN AMARELOAMARELO MAGENTAMAGENTA PRETOPRETO www.brasilengenharia.com.br engenharia /2009^592 quantitativamente (2). Maxwell se fez então uma estranha pergunta: como seriam essas equações no vácuo, onde não existissem nem cargas e nem correntes elétricas? Talvez se pudesse pensar que no vácuo não haveria nem cam- pos elétricos nem magnéticos. Ao contrário, ele sugeriu que a forma correta de escrever as equações de Maxwell, no vácuo, seria a seguinte: Fixou r igual a zero, indicando que não existem cargas elétricas. Também fixou j igual a zero, indicando que não existem cor- rentes elétricas. Mas não descartou o último termo na quarta equação, μo eo d E /dt, que é a corrente fraca de indução no isolante – ou fluxo dielétrico (3). E por que não? Como se pode ver nas equações, a in- tuição de Maxwell manteve a simetria entre os campos: elétrico e magnético. Mesmo no vácuo, na ausência total de eletricida- de e até de matéria, ele estabeleceu que um campo magnético variável provoca um campo elétrico e vice versa. As equações iriam representar a natureza e Maxwell achava a natureza bela e elegante (também havia outro motivo, mais técnico, para man- ter a corrente de deslocamento no vácuo, que aqui passamos por alto). Essa valoração estética, por parte de um físico tipo “bicho grilo”, totalmente des- conhecido, exceto para alguns cientistas do meio acadêmico, contribuiu mais para o desenvolvimento de nossa civilização do que o fariam dez presidentes e primeiros- ministros juntos”. Notas do Editor do NoticIEEEro (1) Maxwell formulou suas equações median- te o uso de quaterniões,iii^ números com ca- racterísticas algébricas muito especiais con- tendo quatro componentes, desenvolvidos *** Miracyr Assis Marcato** é engenheiro eletricista consultor, diretor do Departamento de Engenharia Elétrica e membro do Conselho Deliberativo do Instituto de Engenharia E-mail: [email protected] espaço tri-dimensional.ii

O “produto ponto”(. ) e o “produto x”( x ), depois dos nablas, denotam os diferentes tipos de variação espacial.
d B /dt e d E /dt representam a variação tem- poral, o ritmo de mudança em função do tempo, dos campos elétrico e magnético.
j representa uma corrente elétrica.
a letra grega r (rho) minúscula representa a densidade das cargas elétricas.
eo (épsilon zero) e μo (mu zero) não são variáveis, mas propriedades da substân- cia em que se medem E e B , determinadas experimentalmente. No vácuo, eo e μo são constantes da natureza. Considerando a quantidade de grande- zas diversas reunidas nessas equações, é surpreendente que elas sejam tão simples. Poderiam ter ocupado várias páginas, mas não é o caso. I. A primeira das quatro equações de Maxwell expressa a maneira pela qual um campo elétrico, devido às cargas elétricas (elétrons, por exemplo) varia em função da distância (enfraquece a medida que se afasta). Por outro lado, quanto maior for a densidade da carga (maior quantidade de elétrons num determinado espaço, por exemplo), mais forte será o campo. II. A segunda equação nos diz que não se pode fazer uma afirmação similar em re- lação ao magnetismo porque as “cargas” magnéticas (ou “monopolos” magnéticos) de Mesmer não existem: se cortarmos um ímã pela metade não haverá um polo “nor- te” isolado e um polo “sul” isolado; cada parte terá agora seus polos “norte” e “sul”, respectivamente. III. A terceira equação nos mostra como um campo magnético variável induz um campo elétrico. IV. A quarta descreve o contrário: como um campo elétrico variável (ou uma corrente elétrica) induz um campo magnético. As quatro equações são essencialmente o resultado de uma inumerável quantidade de experiências de laboratório realizadas principalmente por cientistas franceses e ingleses. O que se descreve aqui de forma vaga e qualitativa, as equações representam esse resultado de modo exato e também por W.Rowlan Hamilton em 1843. O cálculo vetorial foi aplicado às equações, posterior- mente, por Oliver Heaviside. Os vetores são quantidades matemáticas que possuem três características: grandeza, direção e sentido. (2) As equações de Maxwell não são o resulta- do de uma dedução rigorosamente matemáti- ca, segundo um modelo axiomático, mas cor- respondem a um raciocínio indutivo e físico, muito semelhante a uma dedução empírica. (3) As equações de Maxwell podem ser rees- critas para representar: a) o caso da variação harmônica; b) o caso estacionário, quando os campos são estáticos, mas as correntes de condução estacionárias; e c) para o caso estático – campos estáticos sem correntes. O conjunto de todas as equações, tanto para sistemas em repouso como em movimento, constitui a Teoria do Eletromagnetismo. Notas do Tradutor (Miracyr Assis Marcato) i (^) Título original “The demon-haunted world”- Copyright 1995, 1996 by Carl Sagan - Versão brasileira com o título de “O mundo assombrado pelos demônios – A ciência vista como uma vela no escuro”, tradução de Rosaura Eichemberg - 1ª edição - Companhia das Letras (1996). ii Nabla é palavra de origem grega. Palavras se- melhantes existem também em aramaico e he- braico. Outro nome, menos usado, para o sím- bolo é atled (delta invertido). O nabla é usado em matemática para denominar um operador diferencial em cálculo vetorial. Foi introduzido pelo cientista irlandês William Rowan Hamilton. As expressões ∇. (^) E e ∇x B escrevem-se também x E e ∇∇ B ou, segundo a notação atual, ∇. E e ∇ x B , respectivamente. iii (^) Considerando que os números reais R podem ser interpretados como pontos de uma reta e os números complexos C como pontos de um plano, os quaterniões de Hamilton são expres- sões H de números hipercomplexos quaternos da forma a+bi+cj+dk onde i^2 = j^2 = k^2 = -1, que representam pontos do espaço tridimensional e obedecem a todas as propriedades formais do cálculo, exceto a propriedade comutativa da multiplicação. . (^) E = 0 . (^) B = 0 x E = dB/dt x B = moeodE/dt

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