Departamento de F´ısica e Matem´atica Instituto Superior de Engenharia de Coimbra
Exame de An´alise Matem´atica I Engenharia Mecˆanica
Dura¸c˜ao: 1h 3 de julho de 2014
•Qualquer tentativa de fraude ser´a punida com a anula¸c˜ao imediata da prova.
•Os equipamentos m´oveis devem estar desligados durante a realiza¸c˜ao da prova.
•Pode trocar a ordem das quest˜oes, desde que as identifique devidamente.
•As respostas devem ser apresentadas com caneta de tinta azul ou preta e N˜
AO pode utilizar corretor.
•Justifique convenientemente todas as respostas, indicando no fim de cada exerc´ıcio a resposta simplificada. Se nada for dito
em contr´ario, na resposta deve apresentar o valor exato da solu¸c˜ao ou o valor aproximado com 4 casas decimais, utilizando nos
c´alculos interm´edios pelo menos 6 casas decimais.
Parte I
1. Num determinado circuito el´etrico, uma corrente oscilat´oria I(t) ´e descrita pela equa¸c˜ao I(t) = 10e−tsin(2π t),
onde trepresenta o tempo em segundos. Verifique que existe um instante t≤0.25, em que a corrente ´e igual
a 2 (amperes) e aproxime numericamente o valor desse instante de forma que o erro n˜ao exceda 0.03.
2. Considere a seguinte tabela de valores de uma certa fun¸c˜ao f.
x1 2 3 4
f(x) 4 15 40 75
(a) Construa a tabela das diferen¸cas divididas.
(b) Mostre que o polin´omio interpolador ´e p(x) = −2
3x3+ 11x2−52
3x+ 11 e estime o valor de f(3.5).
(c) Aproxime o valor do integral da fun¸c˜ao fno intervalo [1,4], utilizando a regra de trap´ezios composta.
Para a tabela de valores dada, podemos aplicar a regra de Simpson?
(d) Assumindo que a fun¸c˜ao fcoincide com o polin´omio interpolador p, determine um ma jorante para o
erro cometido na aproxima¸c˜ao do integral calculada na al´ınea anterior.
3. Considere o problema de valor inicial ty0−2py−ln(t) = 1, com y(1) = 0. determine uma aproxima¸c˜ao do
valor de y(1.4) pelo m´etodo de Euler, com h= 0.1.
Cota¸c˜ao das perguntas
1 2 (a) 2(b) 2(c) 2(d) 3
1.5 0.75 0.75 1.0 0.5 1.5
