Departamento de F´ısica e Matem´atica Instituto Superior de Engenharia de Coimbra
An´alise Matem´atica I Engenharia Mecˆanica
T´opicos de resolu¸c˜ao da Parte II do exame de ´ep oca especial, dia 1 de setembro de 2014
5. Considere a fun¸c˜ao f(x) = (x−1)2cosh(x).
(a) Comente a afirma¸c˜ao:
“Existe um ponto de abcissa c∈[0,1], em que o declive da reta tangente ao gr´afico de f´e igual a −1 ”.
Resolu¸c˜ao:
Uma vez que a derivada f0(x) = 2(x−1)cosh(x) + (x−1)2sinh(x) existe e ´e finita em IR, a fun¸c˜ao f
´e cont´ınua e diferenci´avel em IR de forma que f´e regular no intervalo [0,1]. Assim, pelo Teorema de
Lagrange existe c∈]0,1[, tal que, f0(c) = f(1)−f(0)
1−0=−1, ou seja, o declive da reta tangente ao gr´afico
de fno ponto de abcissa c´e igual a −1. Portanto, a afirma¸c˜ao ´e verdadeira.
(b) Aproxime o valor de f(0.25) usando o polin´omio de Taylor de grau 2 de f, em torno de x0= 0.
Resolu¸c˜ao:
A segunda derivada ´e dada por f00(x) = 2 cosh(x) + 4(x−1) sinh(x)+(x−1)2cosh(x), de modo que
f00(0) = 3. Al´em disso, f(0) = 1 e f0(0) = −2. Assim, o polin´omio de Taylor da fun¸c˜ao fem torno de
x0= 0 ´e dado por
P(x) = f(0) + f0(0)x+f00(0)
2! x2= 1 −2x+3
2x2.
Portanto, f(0.25) ≈P(0.25) = 1 −2×0.25 + 1.5×(0.25)2= 0.59375.
6. Identifique a t´ecnica que permite resolver cada uma das primitivas e calcule apenas duas das primitivas.
i. Zx+ 1
√1−x2dx ii. Z(x+ 1) ln(√x+ 1) dx iii. Zx2+ 1
x3−xdx
Resolu¸c˜ao: Considere C∈IR.
i Primitiva¸c˜ao imediata ap´os decomposi¸c˜ao:
Zx+ 1
√1−x2dx =Zx
√1−x2dx +Z1
√1−x2dx =Zx(1 −x2)−1/2dx + arcsin(x)
=−1
2Z−2x(1 −x2)−1/2dx + arcsin(x) = −1
2
√1−x2
1/2+ arcsin(x) + C
=−p1−x2+ arcsin(x) + C.
(a) Primitiva¸c˜ao por partes:
Z(x+ 1) ln(√x+ 1) dx =1
2Z(x+ 1) ln(x+ 1) dx =1
2
(x+ 1)2
2ln(x+ 1) −Z1
2
(x+ 1)2
2
1
x+ 1 dx
=(x+ 1)2
4ln(x+ 1) −1
4Zx+ 1 dx =(x+ 1)2
4ln(x+ 1) −(x+ 1)2
8+C.
(b) Primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes racionais pr´oprias - decomposi¸c˜ao em elementos simples:
Para primitivar a fra¸c˜ao temos de decompˆo-la em elementos simples de acordo com as ra´ızes do deno-
minador: x= 0, x=−1 e x= 1 todas de multiplicidade 1. Assim,
x2+ 1
x3−x=A
x+B
x+ 1 +C
x−1.
1
