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Classificaçã dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especificaçõe do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado
Aula 8
Cristiano Quevedo Andrea^1
(^1) UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná DAELT - Departamento Acadêmico de Eletrotécnica
Curitiba, Abril de 2012.
Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado
Resumo
1 Introdução: Erros Estacionários
2 Classif cação dos Sistemas de Controle
3 Erros Estacionários
Erro Estacionário em Termos de T ( s )
Erro Estacionário em Termos de G ( s )
4 Especif cações do Estado Estacionário de Erro
5 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio
6 Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária
7 Sensibilidade
8 Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado
Classif cação dos Sistemas de Controle Erros Estacionários Especif cações do Estado Estacionário de Erro Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Distúrbio Erro para Sistema com Realimentação Não-Unitária Sensibilidade Erro de Estado Estacionário de Sistemas em Espaço de Estado
Os sistemas de controle podem ser classificados de acordo com a habilidade em seguir os sinais de entrada em degrau, em rampa, em parábola, etc. Considere o sistema com realimentação unitária, com a seguinte função de transferência de malha aberta G ( s ):
G ( s ) =
K ( Tas + 1 )( Tb s + 1 ) · · · ( Tm s + 1 ) SN^ ( T 1 s + 1 )( T 2 s + 1 ) · · · ( Tp s + 1 )
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A função de transferência da equação (1) contém o termo sN^ no denominador, A classif cação será realizada com base no número de integrações indicadas pela função de transferência de malha aberta, Um sistema é denominado de Tipo 0, Tipo 1, Tipo 2,· · · ,se N = 0, N = 1, N = 2, · · · , respectivamente, Note que a classif cação é diferente da que ser refere à ordem do sistema, Conforme N aumenta, a precisão aumenta, mas por outro lado agrava a estabilidade do sistema, É sempre necessária uma conciliação entre precisão em regime permanente e estabilidade.
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Erro Estacionário em Termos de T ( s ) Erro Estacionário em Termos de G ( s )
Considere a f gura abaixo:
Então, temos: E ( s ) = R ( s ) − C ( s ), (2) mas, C ( s ) = R ( s ) T ( s ). (3) Logo, E ( s ) = R ( s )[ 1 − T ( s )]. (4)
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Erro Estacionário em Termos de T ( s ) Erro Estacionário em Termos de G ( s )
Aplicando-se o teorema do valor f nal em (4), tem-se:
e (∞) = lim t →∞
e ( t ) = lim s → 0
sE ( s ), (5)
= lim s → 0
sR ( s )[ 1 − T ( s )]. (6)
Exemplo 1: Determinar o erro de estado estacionário para o sistema ilustrado anteriormente se T ( s ) = 5 /( s^2 + 7 s + 10 ) e se a entrada for um degrau unitário. Neste exercício temos que: R ( s ) = 1 / s e T ( s ) = 5 /( s^2 + 7 s + 10 ). Então, podemos obter o valor do sinal de erro utilizando-se a equação (6), portanto,
e (∞) = lim s → 0
s
s^2 + 7 s + 5 s ( s^2 + 7 s + 10 )
= 0 , 5. (7)
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Erro Estacionário em Termos de T ( s ) Erro Estacionário em Termos de G ( s )
Considere o sistema ilustrado abaixo da equação (1). A função de transferência de malha fechada é: C ( s ) R ( s )
= G ( s ) 1 + G ( s )
A função de transferência entre o sinal de erro e ( t ) e o sinal de entrada r ( t ) é: E ( s ) R ( s )
C ( s ) R ( s )
1 + G ( s )
sendo o erro e ( t ) a diferença entre o sinal de entrada e o sinal de saída. O teorema do valor f nal oferece um modo conveniente de determinar o desempenho em regime permanente de um sistema estável. Assim, E ( s ) é:
E ( s ) = 1 1 + G ( s )
R ( s ). (10)
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Erro Estacionário em Termos de T ( s ) Erro Estacionário em Termos de G ( s )
O erro estacionário será:
ess = lim t →∞
e ( t ) = lim s → 0
sE ( s ) = lim s → 0
sR ( s ) 1 + G ( s )
Deste modo, o erro depende do tipo de sinal de entrada aplicado no sistema, A seguir serão def nidas algumas constantes de erro estático relacionado ao tipo de erro devido a um tipo de entrada, Quanto mais alta as constantes, menor o erro estacionário, As constantes de erro estáticos abordadas neste estudo serão: Kp constante de posição, Kv constante de velocidade e Ka constante de aceleração. As expressões deduzidas para o cálculo do erro estacionário podem ser aplicadas erroneamente aos sistemas instáveis. Assim, deve-se verif car a estabilidade do sistema.
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Erro Estacionário em Termos de T ( s ) Erro Estacionário em Termos de G ( s )
Para um sistema do Tipo 0,
Kp = lim s → 0
K ( Tas + 1 )( Tb s + 1 ) · · · ( T 1 s + 1 )( T 2 s + 1 ) · · ·
= K. (15)
Para um sistema do tipo 1 ou maior,
Kp = lim s → 0
K ( Tas + 1 )( Tb s + 1 ) · · · sN^ ( T 1 s + 1 )( T 2 s + 1 ) · · ·
= ∞, para N ≥ 1. (16)
Conclusão Para um sistema do Tipo 0, a constante de erro estático de posição Kp é f nita, enquanto para um sistema do Tipo 1 ou maior Kp é inf nita, então:
ess = 1 1 + K
, para sistema do Tipo 0,
ess = 0 , para sistema do Tipo 1 ou maior. (17)
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Erro Estacionário em Termos de T ( s ) Erro Estacionário em Termos de G ( s )
Constante de Erro Estático de Velocidade Kv O erro de estado estacionário do sistema com uma entrada em rampa unitária é:
ess = lim s → 0
s 1 + G ( s )
s^2
= lim s → 0
sG ( s )
A constante de erro estático de velocidade Kv é def nida como:
Kv = lim s → 0
sG ( s ). (19)
Assim, o erro de estado estacionário em termos da constante de erro estático de velocidade Kv é dado por:
ess =
Kv
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Erro Estacionário em Termos de T ( s ) Erro Estacionário em Termos de G ( s )
Em resumo, o erro estacionário ess para uma entrada rampa unitária pode ser descrito da seguinte maneira:
ess = 1 Kv
= ∞, para sistemas Tipo 0, (24)
ess =
Kv
K
, para sistemas Tipo 1, (25)
ess =
Kv
= 0 , para sistemas Tipo 2 ou ordem maior. (26)
(27)
Constante de Erro Estático de Aceleração O erro de estado estacionário para um sistema considerando uma entrada do tipo parábola, o qual é def nido por:
r ( t ) =
t^2 2
, para t ≥ 0,
r ( t ) = 0 , para t < 0. (28)
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Erro Estacionário em Termos de T ( s ) Erro Estacionário em Termos de G ( s )
é dado por:
ess = lim s → 0
s 1 + G ( s )
s^3
lim s → 0 s^2 G ( s )
A constante de erro estático de aceleração Ka é def nida pela seguinte equação: Ka = (^) s lim→ 0 s^2 G ( s ). (30)
Então o erro de estado estacionário é dado por:
ess =
Ka
Os valores de Ka podem ser obtidos da seguinte maneira: Para um sistema do Tipo 0,
Ka = (^) s lim→ 0
s^2 K ( Tas + 1 )( Tb s + 1 ) · · · ( T 1 s + 1 )( T 2 s + 2 ) · · ·
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Erro Estacionário em Termos de T ( s ) Erro Estacionário em Termos de G ( s )
ess = 1 Ka
= ∞, para sistemas Tipo 0, (36)
ess =
Ka
= ∞, para sistemas Tipo 1, (37)
ess =
Ka
K
, para sistemas Tipo 2, (38)
ess = 1 Ka
= 0 , para sistemas Tipo 3 ou ordem maior. (39)
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A constante de erro estático pode ser utilizada como especif cações em projeto de sistemas de controle, Então, Kp , Kv e Ka são especif cações para desempenho de sistema de controle em malha fechada, Por exemplo, se considerarmos Kv = 100 nós podemos realizar várias conclusões:
1 O sistema é estável,
2 O sistema é do Tipo 1, pois somente estes sistemas
possuem Kv como constantes f nitas,
3 A entrada rampa é o sinal de teste. Desde que Kv é
especif cado como uma constante f nita, e o erro de estado
estacionário é inversamente proporcional a Kv , nós
podemos concluir que a entrada de teste é uma rampa,
4 O erro estacionário para esta entrada rampa é 1/ Kv.
