Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Prepare-se para as provas com trabalhos de outros alunos como você, aqui na Docsity
Encontra documentos específicos para os exames da tua universidade
Prepare-se com as videoaulas e exercícios resolvidos criados a partir da grade da sua Universidade
Responda perguntas de provas passadas e avalie sua preparação.
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Contem passo a passo para determinação do controlador para o aeropêdulo.
Tipologia: Trabalhos
1 / 24
Esta página não é visível na pré-visualização
Não perca as partes importantes!
Alisson Carvalho Vasconcelos – 11511EMT
José Augusto Machado de Sá - 11811EMT
Saint Clair Alves Naves - 11821EMT
Uberlândia, 19 de janeiro de 2023
linearizado: 5
Anexo A .................................................................................................. I
Anexos B ............................................................................................... V
2. Linearização
Com o modelo não linearizado é possível determinar a velocidade
angular do projeto. Assim, para o ponto de equilíbrio nosso sistema deve
permanecer inercialmente com rotação constante, ou seja, as derivadas para
variações pequenas são nulas. Portanto, aplicando 𝜃
(𝑡) = 0 na equação
ℎ
ℎ
2
ℎ
2
ℎ
ℎ
ℎ
(
)
ℎ
𝑠𝑖𝑛(𝜃(𝑡)) Eq. 02
Substituindo 𝜃 = 0 , 4363 𝑟𝑎𝑑, 𝑘 = 2 , 12829 × 10
− 9
e 𝑚 = 0 , 3182 𝑘𝑔 na
equação 02:
− 9
De fato, agora pode-se dar início ao processo de linearização onde para
a determinação de cada um dos valores que serão encontrados posteriormente
necessita-se do ômega anteriormente encontrado. Assim, utiliza-se da Série de
Taylor (Equação 03) para determinação das constantes 𝐶
1
2
e 𝐶
3
.
𝑛
𝑛
𝑥=𝑥 0
0
𝑛
Eq. 03
Onde:
𝜔(𝑡)=𝜔̅
𝜃
̇
( 𝑡
) =𝜃
̇
Substituindo os valores obtidos na equação 03, temos:
(𝑡) Eq. 04
Observando a equação 04, percebemos que a equação não está
linearizada. Aplicando mudança de variável, temos:
Sendo:
1
2
3
Visto isso, observa-se que a equação acima apresenta uma dada
entrada u(t) e uma saída y(t), a fim de obter a função transferência do nosso
sistema deve ser aplicada a Transformada de Laplace passando a equação do
domínio do tempo para o domínio dos complexos.
De forma geral, a Transformada de Laplace de uma derivada é dada pela
equação abaixo:
( 𝑛
)
𝑛
( 𝑛
)
𝑛− 1
𝑛− 2
′
( 𝑛− 1
)
Então, aplicando Transformada de Laplace na equação 05 , temos:
2
(𝑠)
3
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
Como o sistema partira de condições iniciais nulas (𝑦̇ ( 0 ) = 𝑦( 0 ) = 0 ), e
dividindo a equação 07 pela entrada da planta U(s), resulta-se na função
transferência (FTMA) do modelo linearizado:
𝟑
𝟐
𝟏
𝟐
2
Como os polos da planta estão situados na parte real negativa, podemos
concluir que em malha aberta o sistema é estável.
O respectivo diagrama de Bode sem atraso da nossa FTMA, está
representado na figura 3.3, Como a função em malha aberta não corta o eixo de
magnitude em zero, a frequência de corte “𝜔 𝑐
” não pode ser obtida com exatidão,
somente aproximando ela da frequência natural “𝜔
𝑛
= 6 , 04 𝑟𝑎𝑑/𝑠”. A margem de
ganho e a margem de fase são infinitas, uma vez que tais valores são obtidos
com base no corte em zero do gráfico da magnitude.
Figura 3. 3 : Bode sem o atraso.
Já o Bode com atraso de 𝑇. 𝑑. = 0 , 005 𝑠 na figura 3.4, para a função
transferência com atraso, percebe-se que existe uma frequência de fase que é
decorrente do atraso, o que ocasiona em uma margem de ganho para a
frequência 5. 85 𝑟𝑎𝑑/𝑠: 𝐺𝑀 = 52. 1 𝑑𝐵.
Figura 3. 4 : Bode com o atraso.
5. Projeto de Controlador
O controlador adotado para o projeto foi o controlador compensador de
segunda ordem. Diagrama de bloco do controlador e planta se encontra no
Anexo B.
Como a planta 𝐺(𝑠) é estável, o controlador para atender os requisitos
determinados no capítulo anterior (𝑀𝑆 < 20%, 𝑡
𝑝
< 2 𝑠 e 𝑒
𝑠𝑠
= 0 ) devemos:
1º Passo. Matar os polos da planta; (𝑀𝑆 < 20% e 𝑡
𝑝
Para eliminar a dominância dos polos da planta, podemos posicionar os
zeros do controlador próximo aos polos da planta.
2
2º Passo. Um polo na origem (Tipo 1); (𝑒
𝑠𝑠
2
3º Passo. Determinar o segundo polo; (𝑀𝑆 < 20% e 𝑡
𝑝
Como a implementação do controlador foi feita para eliminar o
denominador da planta. Temos um sistema de segunda ordem para análise no
Regra 1. Determinação do número de zeros no infinito;
𝑧 ∞
𝑝
𝑧
𝑧
∞
Regra 2. Desenho dos polos e zeros de MA e ramos do LGR;
Inicialmente podemos determinar somente o ramo no eixo real do
sistema.
Figura 5. 1 : Polos, zeros e ramo na parte real.
Regra 3. Determinação dos ângulos das assíntotas;
𝑖
𝑧
∞
0
1
Regra 4. Determinação do ponto de saída das assíntotas;
𝐴
𝑧
∞
𝜎
𝐴
=
−𝑐 + (− 0 , 1298 + 5 , 8545 𝑗) + (− 0 , 1298 − 5 , 8545 𝑗) + 0 − [(− 0 , 1298 + 5 , 8545 𝑗) + (− 0 , 1298 − 5 , 8545 𝑗)]
2
𝐴
Figura 5. 2 : Angulo e ponto de saída da Assíntota.
Para atender ao ponto desejado, a assíntota deve ser uma reta que
passa por 𝜔 𝑛
. Ou seja, a posição onde a assíntota parte do eixo real, é o valor
real do ponto 𝜔
𝑛
. Então, 𝑐 = 2 𝜔
𝑛
6. Simulação com o modelo não linear
Após a obtenção do controlador nosso grupo realizou o seguinte teste
da planta (figura 6.1).
1º Caso. Impulso na Planta de − 0 , 0873 𝑟𝑎𝑑 (−5°);
2º Caso. Degrau na Planta de 0 , 1745 𝑟𝑎𝑑 (10°);
3º Caso. Degrau na Planta de − 0. 3491 𝑟𝑎𝑑 (−20°).
Figura 6. 1 : Entrada ou perturbação da planta.
Para as entradas indicada na imagem acima, foi possível verificar a
estabilidade do sistema para o controlador definido (Figura 6.2).
Figura 6. 2 : Simulação da entrada corrigida pelo controlador compensador.
Verificando o comportamento da planta com o controlador, podemos
observar que o controlador atendeu os requisitos de projeto, porém após várias
simulações percebemos que o controlador possui limitações de mudança de
entrada ou perturbações na planta. Para o controlador especificado no projeto
temos que a variação angular ficou entre −20° ≤ 𝜑 ≤ 10° (5° ≤ 𝜃 ≤ 35°).
7. Projeto de Controlador PID (Proporcional, Integrativo e Derivativo)
Diagrama de bloco PID e planta se encontra no Anexo B.
𝑃𝐼𝐷
𝑝
𝑖
𝑑
A implementação do controlador PID foi feita pelo método de Ziegler-
Nichols para ganho crítico e período crítico.
1º Passo. Realimentar a planta e com um proporcional. (𝑘
𝑝
𝑖
∞ e 𝑇
𝑑
2º Passo. Variar o 𝑘
𝑝
até o ganho crítico (𝐾
𝑐𝑟
𝑝
), ponto onde a
planta oscila.
Figura 7. 1 : Ganho crítico para o sistema oscilar (Ziegler-Nichols).
𝑐𝑟
3º Passo. Através do gráfico medição do período de oscilação (𝑃
𝑐𝑟
8. Simulação com o modelo não linear
Após a obtenção do controlador nosso grupo realizou o seguinte teste
do sistema figura 8.1.
1º Caso. Impulso na Planta de − 0 , 0873 𝑟𝑎𝑑 (−5°);
2º Caso. Degrau na Planta de 0 , 1745 𝑟𝑎𝑑 (10°);
3º Caso. Degrau na Planta de 0. 3491 𝑟𝑎𝑑 (20°).
4º Caso. Degrau na Planta de 0. 6981 𝑟𝑎𝑑 (40°).
5º Caso. Degrau na Planta de 1. 0472 𝑟𝑎𝑑 (60°).
6º Caso. Degrau na Planta de − 0. 3491 𝑟𝑎𝑑 (−20°).
Figura 8. 1 : Entrada ou perturbação da planta.
Para as entradas indicada na imagem acima, foi possível verificar a
estabilidade do sistema para o controlador PID (Figura 8.2).
Figura 8. 2 : Simulação da entrada corrigida pelo controlador PID.
Verificando o comportamento da planta com o controlador, podemos
observar que o controlador atendeu os requisitos de projeto, com limitações de
mudança de entrada ou perturbações na planta entre −20° ≤ 𝜑 ≤ 60° ( 5 ≤ 𝜃 ≤
Anexo A
