UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
CENTRO UNIVERSITÁRIO NORTE DO ESPÍRITO SANTO
Departamento de Matemática Aplicada
Algoritmos Numéricos
Prof. Santina Arantes
CURSO: Bacharelado em Engenharia Química.
CÓDIGO: DMA06100
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Erros em algoritmos numericos, Slides de Matemática
Analise de erros em algoritmos numericos
Tipologia: Slides
2020
1 / 40
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO UNIVERSITÁRIO NORTE DO ESPÍRITO SANTO Departamento de Matemática Aplicada
Algoritmos Numéricos
Prof. Santina Arantes [email protected] CURSO: Bacharelado em Engenharia Química.CÓDIGO: DMA
EMENTA
- Erros.
- Aproximação.
- Integração numérica.
- Equações não-lineares.
- Sistemas de equações Lineares.
- Equações diferenciais ordinárias.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
- Integração numérica: Regra do trapézio e regras de Simpson simples e compostas, estimativas de erro. Quadratura de Gauss-Legendre.
- Raízes de equações: Método da bisseção, método da secante, método de Newton, método de Brent, métodos de Schroder, convergência. Aplicações.
- Equações diferenciais ordinárias: Método de Euler.
OBJETIVOS Preparar o aluno para resolver problemas de matemática aplicada utilizando técnicas numéricas.
CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO Serão aplicadas duas ou três avaliações. O aluno que obtiver média parcial (MP) maior ou igual a sete estará aprovado. Caso contrário, ele fará uma prova final (PF). A média final (MF) é calculada como MF=(MP+PF)/2. Se a média final for maior ou igual a cinco ele estará aprovado. Caso contrário, ele estará reprovado por nota.
OBS: O aluno que obtiver frequência inferior a 75 % das aulas previstas estará reprovado por falta, independente de suas avaliações.
COMPUTAÇÃO NUMÉRICA
Metodologia para resolver problemas matemáticos por intermédio de um computador usado por engenheiros e cientistas.
Uma solução numérica muitas vezes é uma aproximação que pode ser obtida em grau crescente.
Uma solução numérica é calculada mesmo quando o problema não tem solução analítica, fato comum nas equações diferenciais.
COMPUTAÇÃO NUMÉRICA
Com grande aplicação na estatística, esta integral não pode ser representada
explicitamente por funções elementares.
A área sob a curva descrita por de a até b pode ser determinada por meio
de algoritmos numéricos que são aplicáveis a qualquer outro integrando.
DEFINIÇÃO DO PROBLEMA
Nesta etapa define-se qual o problema real a ser resolvido.
Como por exemplo calcular √a , a>0 usando apenas as quatro operações aritméticas.
MODELAGEM MATEMÁTICA
O problema real é transformado no problema original através de uma formulação matemática.
x = √a ---> x 2 = a ---> f(x) = x 2 - a = 0
O problema real √a, a>0, foi transformado no problema original, que é determinar uma raiz de uma equação algébrica de grau 2.
ELABORAÇÃO DO ALGORITMO
Um algoritmo é a descrição de um conjunto de comandos, que ativados, resultam em uma sucessão finita de acontecimentos.
Abstração de detalhes das linguagens usando notação algoritmica.
Facilidade de implementação em qualquer linguagem.
Para Casa ler seção 1.2 Notação algoritmica do livro do Frederico F. C., Filho.
CODIFICAÇÃO DO PROGRAMA
Os aspectos matemáticos do método já foram pensados na fase de elaboraçãodo algoritmo.
Nesta fase o algoritmo é implementado na linguagem de programação escolhida.
C, C++, Java, FORTRAN, Pascal, MATLAB, etc.
ANÁLISE DE RESULTADOS
Adequação da solução numérica ao problema real é verificada nesta última etapa.
Se a solução não se mostrar satisfatória deve se obter um novo problema original por intermédio de uma nova formulação matemática e determinar uma nova solução numérica.
ERROS
É a diferença entre o valor obtido através de métodos numéricos e o valor real. Os erros são oriundos de várias fontes durante o processo de solução.
Erros de modelagem
Erros de arredondamento
Erros de truncamento
Propagação de Erros
ERROS DE ARREDONDAMENTO
Erro causado pelo fato do computador ter um número finito de bits.
A conversão de números decimais em binários causam esse tipo de erro, dado que alguns números com uma quantidade de digitos muito grandes podem não ser representados em uma estrutura de dados no computador.
ERROS DE TRUNCAMENTO
Erros gerados a partir de cálculos de expressões muito grandes e que precisam ser truncadas em determinado momento.
Neste caso deve-se executar o algoritmo até um que seja satisfatório, porém não será a solução exata.