Introdução a Algoritmos Numéricos: Conceitos Básicos e Aplicação em Engenharia, Notas de aula de Engenharia Elétrica

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INTRODUÇÃO A

ALGORITMOS NUMÉRICOS

Jonathan Bastos

AGENDA 

Introdução



Detalhes da Disciplina:

 (^) Ementa  (^) Métodos de Avaliação  (^) Outros Detalhes

O QUE SÃO ALGORITMOS NUMÉRICOS? 

São programas de computador capazes de

solucionar problemas matemáticos,

fornecendo resultado numérico aproximado.



Apesar de aproximada, a solução pode ser

obtida em um grau crescente de exatidão.

1) Um problema de Matemática pode ser resolvido

analiticamente , mas esse método pode se tornar

impraticável com o aumento do tamanho do

problema.

Ex.: solução de sistemas de equações lineares.

5 POR QUE UTILIZAR? (1/2)

FUNÇÃO DE ALGORITMOS NUMÉRICOS NA ENGENHARIA

Solucionar problemas técnicos através

de métodos numéricos, usando um

modelo matemático

7



Calcular tensões dos nós do circuito elétrico

(pag. 117):

 No nó 1, pela lei de Kirchhoff:

EXEMPLO DE APLICAÇÃO (1/2) 1 2 3 4

V V V V

V V V V V V V

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Problema Real Levantar Dados Construir Modelo Matemático Escolher Método Numérico Implementar Método Computacionalmen te Solução Numérica Analisar Resultados Eventualmente Rever

NO EXEMPLO ANTERIOR  (^) Problema real: determinar tensões nos nós dos circuitos.  (^) Levantamento de dados: valores das resistências e tensões nos pontos A e B.  (^) Construir modelo matemático: montar equações e criar as matrizes a partir delas.  (^) Escolher método numérico: Decomposição LU, Decomposição de Cholesky, Fatoração LDLT, Método de Jacobi etc.  (^) Implementar Método Computacionalmente: criar e processar programa.  (^) Analisar resultados e verificar se o modelo matemático ou o método numérico precisam ser alterados.

TIPOS DE ERROS (2/6) -

TRUNCAMENTO



Erro de Truncamento:

 (^) Devido à aproximação de uma fórmula. expansão da função exponencial em séries de potência Exercício: Calcular o valor de e^1 por meio de uma série truncada de segunda ordem. Verificar o erro sabendo-se que o valor com 4 algarismos significativos é 2,718.

TIPOS DE ERROS (3/6) -

ARREDONDAMENTO



Erro de Arredondamento:

 (^) Devido à forma de representação de números no computador.

 Conversão de base (decimal→binário)

 (^) Problema com o número de bits que são usados para representar os números (números fracionários).  (^) Nem sempre um número decimal exato tem representação exata em binário. Ex. 0,1 10 → 0,000100110011001 2 = 0,099990844 10 (erro de 0,000009155 ≈ 9.10-6).  (^) Exercícios

TIPOS DE ERROS (5/6) -

ARREDONDAMENTO

ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE



Suponha uma mantissa de tamanho 2:

 (^) Represente 35,  (^) Some 4,32 e 0,  (^) Subtraia 372 e 371  (^) Multiplique 1234 por 0,

TIPOS DE ERROS (4/6) -

ARREDONDAMENTO

ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE



Formato IEEE de ponto flutuante

DESASTRES CAUSADOS POR ERROS NAS SOLUÇÕES (1/3)

Exemplo 1: Falha no lançamento de mísseis

(25/02/1991 – Guerra do Golfo – míssil Patriot ) 19

Erro de 0,34 s no cálculo do

tempo de lançamento

Limitação na representação numérica (24 bits)

Exemplo 2: Explosão de foguetes

(04/06/1996 – Guiana Francesa – foguete Ariane 5 ) 20

Erro de trajetória 36,7 s

após o lançamento

Limitação na representação numérica (64 bits/ 16 bits) Prejuízo: U$ 7,5 bilhões DESASTRES CAUSADOS POR ERROS NAS SOLUÇÕES (2/3)