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Escola Naval
Concurso Público de Admissão à Escola Naval/CPAEN- 2016
Matemática
1) O par ordenado (𝑥, 𝑦) de números reais, 𝑥 ≠ 0 e 𝑦 ≠ 0 , satisfaz o sistema
2
2
em que 𝑥 é o menor elemento do par. Se 𝑝 = 3 𝑥 + 𝑦 encontre o termo de ordem 𝑝 + 1
do binômio
2
5
2
15
e assinale a opção correta.
a) − 21 𝑥
10
5
20
b) 21 𝑥
5
10
20
c) − 21 𝑥
10
5
10
d) 21 𝑥
32
10
20
e) 21 𝑥
10
5
20
Solução
2
2
2
2
2
2
2
∴ 𝑥 = min
2
5
2
2
5
15 −𝑖
2
𝑖
15
𝑖= 1
Para 𝑖 = 10 , temos:
11
2
5
5
2
10
10
5
20
Resposta correta: e.
2) A curva plana C é representada pelo gráfico da função real 𝑓(𝑥) = 𝑥
cos 𝑥
e tem uma
reta tangente no ponto de abscissa 𝑥 = 𝜋. Essa reta tangente, o eixo y e o arco da curva
2
2
− 2 𝜋𝑥 = 0 situado abaixo do eixo x , determinam uma região R, cuja área vale:
a) 𝜋(𝜋 + 1 )
b)
𝜋
2
2
4
𝜋
c)
𝜋
2
2
4
𝜋
d)
𝜋
2
2
4
𝜋
2
e) 𝜋(𝜋 + 2 )
Solução
cos 𝑥
(cos 𝑥) ln 𝑥
′
( cos 𝑥
) ln 𝑥
(cos 𝑥 ln 𝑥)𝑥
cos 𝑥
′
(𝑥) = (sin 𝑥 ln 𝑥 +
cos 𝑥
cos 𝑥
′
− 1
2
A equação da reta tangente é:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
3
2
4
2
2
2
5
2
4
5
2
5
5
2
4
2
2
5
5
4
4
4
4
2
4
3
4
A área será:
2
3
2
2
Resposta correta: d.
3) A área da região limitada pelas curvas 𝑦 = √ 9 − 𝑥
2
e 𝑦 =
3 √ 2 + 2 𝑥
4
é igual a:
2
Resposta correta: d.
4) Um cilindro circular reto tem área total 𝐴, raio de base 𝑅 e altura h. Se o volume
máximo desse cilindro é expresso por um número real m e a função 𝑓 de variável real é
definida por 𝑓
2
1
3
vale:
a)
1
3
b) 𝐴 + 3.
c)
1
3
d)
1
3
e) 𝐴
√ 2
3
Solução
Temos que:
2
2
2
2
2
3
3
′
2
2
O volume máximo será,
3
Finalmente, temos que:
2
1
3
3
1
3
3
1
3
Resposta correta: c.
5) Calcule
3 𝑥
6 𝑥
3 𝑥
e assinale a opção correta.
a) −
3 𝑥
− 1
b)
3 𝑥
− 1
c) −(𝑒
3 𝑥
− 1
d)
3 𝑥
− 1
e) − 3
3 𝑥
− 1
Solução
3 𝑥
6 𝑥
3 𝑥
3 𝑥
3 𝑥
2
3 𝑥
3 𝑥
3 𝑥
2
3 𝑥
2
− 1
3 𝑥
6 𝑥
3 𝑥
3 𝑥
− 1
a resposta correta é a letra a.
6) Sendo 𝑘 = lim
𝑥→+∞
𝑥
2
𝑥
2
− 3 𝑥+ 7
𝑥
, então ln
a) ( 1 −
1
ln 10
) ln 2 + 9
b) ( 1 +
1
ln 10
) ln 2 + 7
c) ( 1 −
1
ln 10
) ln 2 − 9
d) ( 1 +
1
ln 10
) ln 2 + 9
e) ( 1 +
1
ln 10
) ln 2 − 7
Solução
𝑘 = lim
𝑥→+∞
2
2
𝑥
= lim
𝑥→+∞
exp {𝑥 ln (
2
2
𝑘 = exp { lim
𝑥→+∞
ln(𝑥
2
2
veja que podemos aplicar a regra de L’Hospital, pois há uma indeterminação do tipo 0/0;
Assim,
𝑘 = exp { lim
𝑥→+∞
[
2
2
2
]}
Assim, a equação geral do plano que é paralelo ao eixo y e possui a intersecção de 𝜋 2
e
3
é 4 𝑥 − 𝑧 + 𝑑 = 0. Como esse plano passa por (− 11 , 0 , 3 ), segue que:
Logo,
1
Assim, temos que o ângulo entre os planos 𝜋 1
e 𝜋
4
é:
𝜃 = arccos (
1
2
1
2
sendo 𝑛⃗⃗
1
o vetor perpendicular ao plano 𝜋
1
- no caso ( 4 , 0 , − 1 ) – e 𝑛⃗⃗
2
o vetor
perpendicular ao plano 𝜋 2
-. Logo,
𝜃 = arccos (
) = arccos (−
Resposta correta: c.
8) Considere a o menor arco no sentido trigonométrico positivo, para o qual a função real
f , definida por
tan 𝑥 √ 1 + cos 𝑥
sin 2 𝑥
, se 𝑥 ≠ 0
cos 𝑎 , se 𝑥 = 0
seja contínua em 𝑥 = 0. Assim, pode-se dizer que 𝑎 vale:
a) 3 𝜋/ 4
b) 𝜋/ 12
c) 5 𝜋/ 4
d) 𝜋/ 8
e) 𝜋/ 4
Solução
lim
𝑥→ 0
= lim
𝑥→ 0
tan 𝑥 √ 1 + cos 𝑥
sin 2 𝑥
= lim
𝑥→ 0
sin 𝑥
cos 𝑥
1 + cos 𝑥
2 sin 𝑥 cos 𝑥
lim
𝑥→ 0
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→ 0
1 + cos 𝑥
2 cos
2
= 𝑓(𝑎) = cos 𝑎 ∴ 𝑎 =
Resposta correta: e.
9) Analise as afirmativas abaixo:
I. A função 𝑓
ln 𝑥
𝑥
possui um valor mínimo no ponto de abscissa 𝑥 = 𝑒.
II. As assíntotas horizontais ao gráfico de 𝑦 =
𝑥
√𝑥
2
são 𝑦 = − 1 e 𝑦 = 1.
III. A função 𝑓
1
𝑥
1
2 𝑥
1
3 𝑥
1
2016 𝑥
) 𝑑𝑥 é tal que 𝑓
0 , para
qualquer constante de integração.
IV. O valor de lim
𝑥→+∞
𝑥 sin (
1
𝑥
) é 1.
Assinale a opção correta.
a) Apenas as afirmativas I, II e III estão corretas.
b) Apenas as afirmativas II, III e IV estão corretas.
c) Apenas as afirmativas II e IV estão corretas.
d) Apenas as afirmativas III e IV estão corretas.
e) Apenas as afirmativas I, II e IV estão corretas.
Solução
I. Seja,
ln 𝑥
′
⋅ 𝑥 − ln 𝑥
2
1 − ln 𝑥
2
= 0 ∴ 1 − ln 𝑥 = 0 ∴ 𝑥 = 𝑒
Como, para 𝑥 < 𝑒, 𝑦
′
0 e para 𝑥 > 𝑒, 𝑦
′
< 0 , segue que 𝑥 = 𝑒 é um ponto de
máximo.
II. Temos que,
lim
𝑥→+∞
2
= 1 lim
𝑥→−∞
2
de modo que 𝑦 = ± 1 são as assíntotas horizontais.
III. Temos,
) ln 𝑥 + 𝑐 ∴ 𝑓
de modo que 𝑓( 1 ) > 0 apenas se 𝑐 > 0.
IV. Temos,
lim
𝑥→+∞
𝑥 sin (
) = lim
𝑢→ 0
sin 𝑢
onde fizemos a troca de variável 𝑥 = 1 /𝑢, de modo que quando 𝑥 → +∞, 𝑢 → 0. O
último limite é o limite fundamental.
Resposta correta: c.
10) Seja 𝑞 =
cos 5°
cos 20°
cos 40°
cos 85°
a razão de uma progressão
geométrica infinita com termo inicial 𝑎 0
= 1 / 4. Sendo assim, é correto afirmar que a
soma dos termos dessa progressão vale:
a) 1/
sin
2
𝑥 cos
2
sin 𝑥 cos 𝑥
2
∴ sin 𝑥 cos 𝑥 =
sin 2 𝑥 =
Assim,
2
2
Resposta correta: b.
12) Considere que uma urna possui cinco bolas brancas, duas pretas e três verdes.
Suponha que as três bolas sejam retiradas da urna de forma aleatória e sem reposição.
Qual é, aproximadamente, a probabilidade de que as três bolas retiradas tenham a mesma
cor?
a) 9,17%
b) 27,51%
c) 7,44%
d) 15,95%
e) 8,33%
Solução
Como as bolas podem ser retiradas em qualquer ordem,
10 , 3
5 , 3
3 , 3
Resposta correta: b.
13) A integral
8
6
4
2
4
6
4
2
é igual a:
a) arctan 𝑥 + 𝑐.
b)
1
2
ln |
𝑥− 1
𝑥+ 1
c) ln
d) ln
e) arcsin 𝑥 + 𝑐.
Solução
Realizando a divisão do polinômio 𝑥
8
6
4
2
6
4
2
encontramos que 𝑥
8
6
4
2
2
6
4
2
Portanto, podemos reescrever a integral como,
2
4
2
2
2
2
𝑑𝑥 = arctan 𝑥 + 𝑐
Resposta correta: a.
14) Assinale a opção que apresenta o intervalo onde a função 𝑓, de variável real, definida
por 𝑓
2 𝑥
, é côncava para cima:
a) [− 2 , − 1 [.
b) ] − 1 , +∞[.
c) [− 1 , +∞[.
d) ] − ∞, − 1 [.
e) ] −
1
2
, +∞[.
Solução
′
2 𝑥
2 𝑥
2 𝑥
′′
2 𝑥
2 𝑥
2 𝑥
Assim, temos que a função é côncava para cima em ] − 1 , +∞[. O ponto 𝑥 = − 1 é um
ponto de inflexão.
Reposta correta: b.
15) O conjunto 𝑆 formado pelos números complexos 𝑧 que satisfazem a equação
|𝑧 − 1 | = 2 |𝑧 + 1 | é representado geometricamente por uma
a) reta vertical.
b) circunferência de centro (
5
3
, 0 ) e raio 4/3.
c) parábola com vértice na origem e eixo de simetria 0 𝑥.
d) elipse de centro (− 3 , 0 ) e eixo maior horizontal.
e) circunferência de centro (−
5
3
, 0 ) e raio 4/3.
Solução
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Resposta correta: b.
18) Considere os itens abaixo:
I. O intervalo fechado 𝐴 é o menor intervalo que contém todos os valores
possíveis para
, com
= 3 e
II. O conjunto 𝐵 representa o domínio da função 𝑦 = ln
2
III. O conjunto 𝐶 é dado pela imagem da função 𝑦 = arctan (
𝜋𝑥
2
De acordo com as informações acima, o conjunto correspondente a
∩ 𝐶 é:
a) { 3 }
b) [ 1 , 3 ]
c) ] 2 , 3 ]
d) ] 1 , +∞[
e) ] 1 , 3 [
Solução
I. Temos,
2
2
2
= 25 + 2 |𝑢⃗⃗ ||𝑣⃗ | cos 𝜃
onde 𝜃 é o ângulo entre os vetores. Assim, temos que:
máx
mín
Logo, 𝐴 =
[
]
II. Temos,
2
- 𝑥 − 12 > 0 ∴ (𝑥 − 3 )(𝑥 + 4 ) > 0 ∴ 𝑥 > 3 ou 𝑥 < − 4
Portanto, 𝐵 = (−∞, − 4 ) ∪ ( 3 , +∞).
III. Temos,
𝑦 = arctan (
− 𝜋) ⟹ Im 𝑦 = (−
Assim, 𝐶 = (
−𝜋
2
𝜋
2
). Finalmente,
Assim,
[
]
) = [ 1 ,
]
19. Seja 𝑓 a função da variável real definida por 𝑓
3
2
− 3 𝑥 + 4. O máximo
relativo de 𝑓 vale:
a)
4 + √
3
2
b)
4 − √
3
2
c)
3 √ 3 − 4
2
d)
3 √
3 + 4
2
e) 4 +
3 √
3
2
Solução
3
2
′
2
2
′′
′′
′′
é mínimo relativo
′′
é máximo relativo
3
2
máx
máx
máx
Resposta correta: d.
20) Um triângulo inscrito em um círculo possui um lado de medida 2 √
4
oposto ao ângulo
de 15°. O produto do apótema do hexágono regular pelo apótema do triângulo equilátero
inscrito nesse círculo é igual a:
a) 3 ( √
b) 4 ( 2 √
c)
d) √
e) 6 ( √
Solução
Pela lei dos senos, segue que o raio do círculo é:
sin 𝑎
4
sin 15°
4
sin 15°
